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1 A Investigac¸ ˜ao Operacional
1.1 Introduc¸ ˜ao
A Investigac¸ ˜ao Operacional (IO) surgiu no final da II Guerra Mundial quando os Aliandos se viram confron- tados com problema (relativamente aos recursos e `as operac ˜oes das forc¸as armadas) de grande complexidade. Desenvolveram ent˜ao a ideia de criar modelos matem´aticos, apoiados em dados e fatos, que lhe permitissem perceber os problemas em estudo e ensaiar o resultado hipot´etico de estrat´egias ou decis ˜oes alternativas. Dos trabalhos realizados durante este per´ıodo, destacam-se os seguintes:
em 1939, em Inglaterra, um pequeno grupo de t´ecnico dedicados a IO comec¸ou a trabalhar nos m´etodos de emprego dos primeiros radares,
nas horas cruciais de 1940, o Estado Maior inglˆes recorreu a uma equipa de investigac¸ ˜ao (o grupo BLACKETT) para conseguir o aproveitamento ´optimo do sistema defensivo britˆanico,
dois anos depois do in´ıcio da guerra, os 3 ramos das forc¸as armadas britˆanicas estavam dotados com grupo de IO, cujo efectivo n˜ao parou de aumentar at´e ao final da guerra,
nos EUA, desde a sua entrada na guerra, grupos de IO foram incumbidos pelo ex´ercito, marinha e forc¸a a´erea de estudarem cientificamente os problemas de cada armada; a partir dos quais se destacam os seguintes resultados,
- melhoria na eficiˆencia dos ataques a´ereos aos submarinos,
- nova disposic¸ ˜ao dos comboios mar´ıtimos, de forma a minimizar as perdas,
- organizac¸ ˜ao dos bombardeamentos a´ereos sobre Alemanha.
Seduzida pelo ˆexito da IO no campo militar, a ind ´ustria, no seu desenvolvimento do p ´os-guerra foi buscar os cientistas, que entretanto tinham sido desmobilizados, aplicando aos seus problemas as t´ecnicas que t˜ao bom resultado tinham dado no campo militar. Por volta de 1951 j´a a IO era correntemente usada em Inglaterra e comec¸ava a ser introduzida nos Estados Unidos.
Muitos dos problemas atuais baseiam-se em escolher uma alternativa, a melhor, entre muitas - tomada de decis˜ao. A IO ´e um dos ramos que o utiliza processos de chegar `a melhor alternativa.
Investigac¸ ˜ao Operacional = investigac¸ ˜ao de operac¸ ˜oes.
Operac¸ ˜ao = conjunto de actos necess´arios para obter determinado resultado.
Investigac¸ ˜ao = pesquisa que conduz a resultados que s˜ao imediatamente utiliz´aveis do dom´ınio da ciˆencia (na vida real).
A IO ´e uma ciˆencia aplicada voltada para a resoluc¸ ˜ao de problemas reais, em que e procura trazer para o campo da tomada de decis ˜oes (sobre a concepc¸ ˜ao, o planeamento ou operac¸ ˜ao de sistema) a atitude e os m´etodos pr ´oprios de outras ´areas cient´ıficas.
A abordagem da IO aplicada aos modelos matem´aticos ´e pr ´opria de m´etodo cient´ıfico, o qual ´e composto pelas seguintes fases:
- formulac¸ ˜ao do problema,
- construc¸ ˜ao de um modelo matem´atico que tenta idealizar a essˆencia do problema real,
- obtenc¸ ˜ao de uma soluc¸ ˜ao a partir do modelo,
- teste do modelo e das soluc¸ ˜oes obtidas a partir dele,
- estabelecimento de controlos sobre a soluc¸ ˜ao,
- implementac¸ ˜ao.
Observac¸ ˜ao 1. a sequˆencia apresentada n˜ao ´e r´ıgida; fases, depois de iniciadas, sobrep˜oem-se no tempo; h´a interacc¸˜ao cont´ınua entre as v´arias fases; fases s˜ao mutuamente dependentes.
1.2 Formulac¸ ˜ao do problema
As carater´ısticas fundamentais da formulac¸ ˜ao de um qualquer problema s˜ao as que descrevem a seguir.
- Inicialmente Vagos e imprecisos
A maioria dos problemas pr´aticos, quando s˜ao comunicados `as equipas de IO, s˜ao vagos e imprecisos.
- Formulac¸ ˜ao bem definida
Deve-se determinar os objetivos adequados, as restric¸ ˜oes necess´arios, as inter-relac¸ ˜oes entre a ´area a estudar e as ouras ´areas da organizac¸ ˜ao, a poss´ıvel acc¸ ˜ao alternativa, o tempo limite para produzir uma decis˜ao, etc.
- Reexame cont´ınuo da formulac¸ ˜ao inicial
A formulac¸ ˜ao inicial deve ser continuamente reexaminada, `a luz de novos conhecimentos obtidos durante as ´ultimas fases.
1.3 Construc¸ ˜ao do modelo matem´atico
E este processo de abstrac^ ´ ¸ ˜ao, acompanhados de uma generalizac¸ ˜ao, que conduz `a construc¸ ˜ao do modelo que vai permitir representar, com certo grau de aderˆencia, o fen ´omeno real. Esta fase envolve v´arios passos, que descrevem a seguir.
- Descric¸ ˜ao conveniente para a an´alise
O problema deve ser reformulado na forma mais conveniente para a an´alise.
Podemos ainda apresentar este problema segundo a notac¸ ˜ao matricial:
max(min) z = cTx s.a : Ax {≤, =, ≥} b x ≥ 0
onde:
- c ´e a matriz coluna formada pelos custos da func¸ ˜ao objectivo (f.o.).
- x e a matriz coluna formada pelas vari´´ aveis de decis˜ao.
- A e a matriz de´ m linha e n colunas formada pelos coeficientes tecnol ´ogicos.
- b e a matriz coluna formada pelos termos independentes ou segundo membros.´
- O e a matriz coluna formada por zeros.´
1.4.1 Exemplos de programas lineares
Seguem-se alguns exemplos de modelos de problemas de Programac¸ ˜ao Linear.
Exemplo 1. (Problema da dieta ´optima). Um nutricionista pretende pˆor em pr´atica um tipo de alimentac¸˜ao que satisfac¸a certas exisgˆencias em termos dos nutrientes que pode fornecer, como sejam, prote´ınas, c´alcio e vitaminas, com menor custo poss´ıvel. Assim, suponha que s˜ao necess´arias b 1 unidades de nutrientes do tipo N 1 , b 2 unidades de nutrientes N 2 , · · · , e bm unidades de nutrientes Nm. Suponha ainda que est˜ao dispon´ıveis n tipos diferentes de alimentos e que aij, para i = 1 , · · · , m e j = 1 , · · · , n, correspondem as n ´umero de unidades de nutrientes do tipo Ni contidos em cada unidade de alimento do tipo j. Sendo x 1 , x 2 , · · · , xn, respectivamente, a quantidade de alimento do tipo 1 , · · · , n e c 1 , cdots, cn os respectivos custos unit´ariosde cada um dos tipos de alimentos em causa, com a formulac¸˜ao que a seguir se indica
min z =
∑n j= 1 cjxj s.a.
∑n j= 1 aijxj^ ≥^ bi,^ para i^ =^1 ,^ · · ·^ ,^ m xj ≥ 0 para j = 1 , · · · , n
Exemplo 2. Uma pessoa deseja obter certas quantidades de nutrientes atrav´es de uma refeic¸˜ao de cereais. Tem a possibili- dade de escolher entre as marcas K e L. O quadro seguinte informa sobre os dados dispon´ıveis para cada marca de cereais, e indica tamb´em as quantidades m´ınimas a obter de cada nutriente.
Quantidade a obter Nutrientes K L 1 mg Vitamina A 0.1 mg 0.25 mg 5 mg Vitamina B 1 mg 1 mg 400 cal Calorias 110 cal. 120 cal. Custo/grama 38 u.m. 42 u.m.
Pretende conhecer-se como deve ser efectuada a refeic¸˜ao de modo a atingir, pelo menos as quantidades m´ınimas de nutri- entes e sendo esta a mais econ´omica poss´ıvel.
Considerando a formulac¸˜ao do exemplo 1 , vem:
Vari´aveis decis˜oes.
- x 1 - representa a quantidade (em grama) de cereal da marca K a utilizar na refeic¸˜ao.
- x 2 - representa a quantidade (em grama) de cereal da marca L a utilizar na refeic¸˜ao.
Formulac¸˜ao:
min z = 38 x 1 + 42 x 2 s.a. 0. 1 x 1 + 0. 25 x 2 ≥ 1 x 1 + x 2 ≥ 5 110 x 1 + 120 x 2 ≥ 400 x 1 , x 2 ≥ 0
Exemplo 3. (problema de optimizac¸˜ao da produc¸˜ao). Suponha que uma dada f´abrica ´e capaz de produzir n produtos distintos utilizando m recursos limitados, os quais podem ser horas de trabalho ou tempo de operac¸˜ao de v´arias m´aquinas por semana, mat´erias primas, etc. Sendo cj o lucro obtido por cada unidade do j-´esimo produto, bi a quantidade de recurso i dispon´ıvel e aij a quantidade de recurso i utilizada por unidade de produto j, a determinac¸˜ao do leque de produtos a produzir, bem como as suas diferentes quantidades com o m´aximo lucro, obt´em-se resolvendo o problema:
max z =
∑n j= 1 cjxj s.a.
∑n j= 1 aijxj^ ≤^ bi,^ para i^ =^1 ,^ · · ·^ ,^ m xj ≥ 0 para j = 1 , · · · , n
Exemplo 4. A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em trˆes secc¸˜oes de produc¸˜ao:
- Secc¸˜ao de Serralharia: para produzir as estruturas de alum´ınio
- Secc¸˜ao de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeira
- Sec¸˜ao de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas
Devido `a diminuic¸˜ao dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produc¸˜ao, e prop˜oe produzir s´o 2 produtos que tˆem uma melhor aceitac¸˜ao entre os clientes. Estes produtos s˜ao:
- Produto 1: uma porta de vidro com estrutura de alum´ınio
- Produto 2: uma janela grande com estrutura de madeira.
O Departamento de Marketing conclu´ıu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produc¸˜ao dispon´ıvel. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produc¸˜ao da secc¸˜ao 3, o gerente solicitou ao Departamento de Investigac¸˜ao Operacional da empresa a resoluc¸˜ao deste problema. O Departamento de IO para realizar a formulac¸˜ao do problema, procurou os seguintes dados:
- a capacidade de produc¸˜ao por minuto de cada secc¸˜ao a ser utilizada na produc¸˜ao de ambos os produtos.
- a capacidade de produc¸˜ao por minuto de cada secc¸˜ao, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto
- os lucros unit´arios para cada produto Estes dados est˜ao resumidos na seguinte tabela:
Secc¸˜ao Produto 1 Produto 2 Capacidade Dispon´ıvel 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Lucros Unit´ario 3 5
Considerando a formulac¸˜ao do exemplo 3, vem:
Vari´aveis decis˜oes:
- x 1 - quantidade de unidade de produto 1 produzido.
- x 2 - quantidade de unidade de produto 2 produzido.
min z = cx s.a : Ax ≥ b x ≥ 0
Observac¸ ˜ao 2.
- Quando todas as vari´aveis de decis˜ao s˜ao inteiras, temos Programac¸ ˜ao Inteira ou Programac¸ ˜ao Linear Inteira.
- Quando todas as vari´aveis s˜ao bin´arios 0 ou 1 , temos Programac¸ ˜ao Inteira Bin ´aria ou Programac¸ ˜ao Inteira 0-1.
As duas formas (can ´onicas ou padr˜ao) em que um programa linear ´e apresentado s˜ao completamente equivalentes, uma vez que ´e poss´ıvel passar de uma para outra sem que o conjunto de soluc¸ ˜oes 1 se altere. Com efeito, apartir de uma restric¸ ˜ao do tipo
∑^ n
j= 1
aijxj ≤ bi ⇔ bi −
∑^ n
j= 1
aijxj ≥ 0 ⇔ xn+i = bi −
∑^ n
j= 1
aijxj, com xn+i ≥ 0
, Acrescentando-se a vari´avel de desvio (ou folga) xn+i, obt´em-se a restric¸ ˜ao de igualdade
∑^ n
j= 1
aijxj + xn+i = bi
Com efeito, apartir de uma restric¸ ˜ao do tipo
∑^ n
j= 1
aijxj ≥ bi ⇔
∑^ n
j= 1
aijxj − bi ≥ 0 ⇔ xn+i =
∑^ n
j= 1
aijxj − bi, com xn+i ≥ 0
, Acrescentando-se a vari´avel de desvio (ou excedente) xn+i, obt´em-se a restric¸ ˜ao de igualdade
∑^ n
j= 1
aijxj − xn+i = bi
Observac¸ ˜ao 3. Deve-se observar-se ainda que a vari´avel de desvio pode, em geral, dar-se uma certa interpretac¸˜ao econ´omica ou f´ısica, consoante o problema. Com efeito, se no exemplo 3 passarmos o problema para a forma padr˜ao, o valor que a vari´avel de desvio xn+i toma, para uma dada soluc¸˜ao admiss´ıvel^2 corrente, correspondendea quantidade de i-´esimo recurso que n˜ao ´e utilizada na referida soluc¸˜ao.
No caso de se ter uma restric¸ ˜ao de igualdade, esta ´e facilmente convertida em duas restric¸ ˜oes de desigual- dade, uma vez que
∑^ n
j= 1
aijxj = bi ⇔
ai 1 x 1 + · · · + ainxn ≤ bi ai 1 x 1 + · · · + ainxn ≥ bi^ ⇔
ai 1 x 1 + · · · + ainxn ≤ bi −ai 1 x 1 − · · · − ainxn ≤ −bi
Qualquer vari´avel livre, i.e., qualquer vari´avel n˜ao restringida (aos reais n˜ao negativos), xj, pode converter- se num par de vari´aveis n˜ao negativas, x′ j ≥ 0 e x′′ j ≥ 0, escrevendo-se xj = x′ j − x′′ j.
Nota-se ainda que o facto de considerar um problema de maximizac¸ ˜ao ou minimizac¸ ˜ao ´e irrelevante uma vez que, relativamente `a soluc¸ ˜ao ou conjunto de soluc¸ ˜oes ´optimas a determinar, o problema de minimizac¸ ˜ao min{cx : x ∈ Rn, Ax = b e x ≥ 0 } e equivalente ao problema de maximizac´ ¸ ˜ao PL(A, b, −c).
(^1) conjunto de todas as soluc¸ ˜oes admiss´ıveis (^2) Qualquer n-uplo de reais que satisfac¸a o conjunto de restric¸ ˜oes do PL(A, b, c) diz-se uma soluc¸ ˜ao admiss´ıvel.
