Baixe Metodo de elementos finitos e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Método dos Elementos Finitos
Introdução
Diversos tipos de problemas físicos que são encontrados nas ciências e nas engenharias são descritos matematicamente na forma de equações diferenciais ordinárias e parciais. A solução exata usualmente é fruto de um método de solução analítica encontrado através de métodos algébricos e diferenciais aplicados a geometrias e condições de contorno particulares; a aplicação generalizada dos métodos analíticos para diferentes geometrias e condições de contorno torna impraticável ou até mesmo impossível a obtenção de soluções analíticas exatas. O chamado Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em diferentes métodos numéricos que aproximam a solução de problemas de valor de fronteira descritos tanto por equações diferenciais ordinárias quanto por equações diferenciais parciais através da subdivisão da geometria do problema em elementos menores, chamados elementos finitos , nos quais a aproximação da solução exata pode ser obtida por interpolação de uma solução aproximada. Atualmente o MEF encontra aplicação em praticamente todas as áreas de engenharia, como na análise de tensões e deformações, transferência de calor, mecânica dos fluidos e reologia, eletromagnetismo, etc, inclusive recebendo designações específicas como na mecânica dos fluidos computacionais (CFD) e no eletromagnetismo computacional (CEM). O MEF foi originalmente concebido pelo matemático Courant à época da 2ª guerra mundial através da publicação de um artigo em 1943. Como nessa época ainda não haviam sido desenvolvidos computadores capazes de realizar uma grande quantidade de cálculos matemáticos, o método matemático foi ignorado pela academia durante vários anos. Na década de 1950 engenheiros e pesquisadores envolvidos no desenvolvimento de aviões a jato na Boeing iniciaram os primeiros trabalhos práticos no estabelecimento do MEF aplicados à indústria aeronáutica. M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin e L. J. Topp publicaram em 1956, um dos primeiros artigos que delinearam as principais idéias do MEF, entre elas a formulação matemática dos elementos e a montagem da matriz de elementos. Mas, no artigo ainda não se fazia referência ao nome elementos finitos para designar os elementos de discretização da geometria do problema físico. O segundo co-autor do artigo, Ray Clough era a época professor em Berkeley que estava trabalhando na Boeing durante o período de férias escolares e que descreveu o método com o nome de método dos elementos finitos num artigo publicado subseqüentemente. Os seus trabalhos deram início à intensas pesquisas em Berkeley por outros professores, entre eles E. Wilson e R. L. Taylor, juntamente com os estudantes de pós-graduação T. J. R. Hughes, C. Felippa e K. J. Bathe. Durante muitos anos, Berkeley foi o principal centro de pesquisa em MEF. Essas pesquisas coincidiram com a rápida disseminação de computadores eletrônicos nas universidades e institutos de pesquisas, que levaram o método a se tornar amplamente utilizado em áreas estratégicas à segurança americana durante o período da Guerra Fria, tais como pesquisa nuclear, defesa, indústria automotiva e aeroespacial. E. Wilson desenvolveu um dos primeiros programas de computador de cálculo pelo MEF. A sua popularização foi possível pela disponibilização gratuita do software , fato bastante comum nos anos 1960, pois o valor comercial de programas de computadore ainda não eram reconhecidos nessa época. Em 1965, a agência espacial norte-americana NASA financiou um projeto liderado por Dick MacNeal para desenvolver um programa de cálculo pelo MEF de uso geral. Este programa, batizado NASTRAN, incluía uma grande capacidade de manipulação de dados e permitia análise de tensão e deformação, cálculo de vigas, de problemas de cascas e placas,
análise de estruturas complexas como asas de aviões e análise de vibrações em duas e três dimensões. O programa inicial foi colocado em domínio público, porém continha muito bugs de programação. Logo após o término do projeto, Dick MacNeal e Bruce McCormick criaram uma empresa de software que corrigiu a maioria dos bugs e comercializaram essa versão depurada com o nome MS-NASTRAN. Na mesma época, John Swanson estava desenvolvendo um programa de MEF na Westinghouse para a análise de reatores nucleares. Em 1969, Swanson deixou a Westinghouse para comercializar o programa ANSYS. O programa tinha capacidade de análise de problemas lineares e não-lineares e essas características tornariam o software ANSYS um dos programas de elementos finitos comerciais mais utilizados atualmente. Outros programas comerciais desenvolvidos desde então foram o LS-DYNA usado para análises não-lineares tais como teste de colisão, conformação de metais e simulação de protótipos; ALGOR, ABAQUS e COSMOS como programas de MEF de uso geral; sendo que todos os programas possuem versões para microcomputadores e alguns versões mais potentes para sistemas computacionais paralelos e “cluster”.
Diferenças entre o MDF e o MEF
As diferenças entre o Método das Diferenças Finitas (MDF), visto anteriormente neste curso, e o MEF são que no MDF são aplicadas aproximações nas derivadas das equações diferenciais, reduzindo a um problema de sistemas de equações lineares que fornecem a solução em pontos (nós) discretos no interior do domínio do problema. No MEF, a solução das equações diferenciais governantes do problema físico pode ser resolvida por funções de aproximação que satisfazem condições descritas por equações integrais no domínio do problema. Essas funções de aproximação podem ser funções polinomiais com grau razoável de ajuste em elementos discretizados a partir da geometria do problema satisfazendo as equações integrais em cada elemento discreto ou elemento finito. Assim, como no MDF o MEF ocorre um processo de discretização do domínio, mas diferente daquele, o MEF resulta em soluções descritas por polinômios conhecidos todo o domínio e não apenas em nós da malha de diferenças finitas. Outra diferença marcante entre o MDF e o MEF é na topologia de discretização do domínio. No MDF 2D geralmente empregam-se malhas de topologia triangular ou retangular estruturada (Fig. 1). Na malha estruturada os intervalos entre nós adjacentes nas direções x e y são constantes, como pode ser observado na figura.
(a) (b) Fig. 1. (a) Exemplos de malha triangular estruturada e (b) malha estruturada retangular aplicadas a um polígono regular (retângulo).
métodos numéricos aproximados que são representações integrais das equações diferenciais que governam o problema físico. A forma forte em contraste com a forma fraca requer continuidade nas soluções das variáveis dependentes do potencial. Independentemente das funções que definem essas variáveis, elas devem ser diferenciáveis pelo menos até a ordem da equação diferencial que define o problema. A obtenção da solução exata pela forma forte é, em geral, difícil e limitada a casos especiais. O MDF pode ser aplicado na obtenção da solução aproximada de problemas pela forma forte; entretanto, o MDF funciona bem apenas para problemas com geometrias e condições de contorno regulares. A forma fraca permite a aplicação de um método único para resolver diferentes tipos de problemas físicos, na medida em que os métodos para transformação das equações diferenciais na forma integral são genéricos e podem ser usadas em diversos tipos de equações diferenciais. Os principais métodos usados na resolução pela forma fraca são o método variacional e os métodos dos resíduos ponderados.
Resolução pela forma forte da equação de difusão de calor 1D
A transferência de calor em regime permanente numa barra de comprimento L submetida ao aquecimento q é um problema de valor de fronteira 1D, descrito pela equação de difusão de calor:
− =^0
q dx
dT kA dx
d , 0 < x < L (1)
Considerando as condições de contorno homogêneas:
T (0) = T ( L ) = 0 (2)
A solução da equação (1) na forma forte pode ser obtida pela sua integração no intervalo 0 < x < L e atendendo as condições de contorno (2), resulta em:
( ) x ( x L ) kA
q T x = − 2
A solução analítica (3) representa a solução pela forma forte da equação de difusão de calor (1). A equação (3) tem forma gráfica de uma curva parabólica com ponto máximo em x = L /2.
Forma Fraca do MEF
Dentre os diversos métodos matemáticos de resolução de problemas de valor de fronteira podemos classificá-los em dois métodos principais:
- Método variacional ou de Rayleigh-Ritz;
- Método dos resíduos ponderados.
Método variacional ou método de Rayleigh-Ritz
O método variacional, desenvolvido independentemente por W. Ritz (1908) e por Lord Rayleigh, é um método analítico no qual a minimização de um funcional que descreve a
distância de um caminho limitado nas extremidades [ a, b ] por uma função y ( x ) que descreve o caminho (Fig. 4).
y
x
y ( a )
y ( b )
a b
y 1 ( x )
y 2 ( x )
y 3 ( x )
y 4 ( x )
Fig. 4. Diferentes funções que representam caminhos entre os limites [ a, b ]. O caminho mínimo será determinado pela minimização do funcional. I [ y ].
Para a equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem:
y" + Q ( x ) y = F ( x ) (4)
com as condições de contorno: y ( a ) = ya ,y ( b ) = yb. O funcional que descreve a equação
diferencial(4) é:
[ ]
b
a
Qu Fu dx dx
du I u^22
2 (5)
A relação entre o funcional (5) e a equação diferencial (4) é estabelecida pela condição de Euler-Lagrange:
( ) F ( x,y,y' ) y
F x,y,y' x y' ∂
no qual a equação diferencial de 2ª ordem (4) é expressa na forma da função F ( x,y,y' ).
A minimização do funcional [ ] ( )
b
a
I u F x,y,y' dx corresponde à condição que
minimiza a função (ou caminho) entre os valores de fronteira [ a ,b ] descrito pela solução da a equação diferencial (4).
Exemplo:
[ ] ( ) ( ax bx ) dx
kA
q IT a bx
L
0
Integrando a equação (9), resulta:
[ ]
L ax bx kA
q IT a x abx b x 0
2 3 2 2 2 3 2 3
Os coeficientes a e b serão determinados pela minimização do funcional I [ T ] em relação aos coeficientes, isto é, fazendo ∂ I / ∂ a = 0 e ∂ I/ ∂ b = 0 Aplicando as derivadas parciais de I [ T ] em função de a e b , vem que:
2 = +^2 + = ∂
kA
qL aL bL a
I
3 =^2 +^3 + = ∂
kA
qL aL bL a
I
Resolvendo o sistema de equações (11) e (12), obtém-se os coeficientes da solução tentativa (8), vem que:
( ) x ( x L ) kA
q T x = − 2
A solução descrita por (13) é idêntica à solução analítica (3) da EDO (1) e das condições de contorno (2). Desta forma, mostramos neste exemplo particular que a solução pela forma fraca obtida através do método variacional possui o mesmo resultado da solução analítica na forma forte da EDO.
Método dos Resíduos Ponderados
O funcional também satisfaz as condições de contorno naturais, du / dx = 0 numa extremidade na qual as condições de contorno essenciais, u = u 0 , não são aplicadas. O método dos resíduos ponderados inicia-se com uma equação diferencial genérica na forma:
Lu = f (14)
no qual L é um operador diferencial qualquer. Este método evita a procura por uma expressão variacional equivalente. Admite-se uma solução aproximada u *^ e substitui-se esta solução na equação diferencial. Como esta é uma solução aproximada, a operação define um erro residual na equação diferencial:
Lu *^ - f = r (15)
Não se pode forçar que o resíduo r desapareça diretamente da equação, mas pode-se forçar que, para uma integral ponderada sobre o domínio Ω da solução, o resíduo desapareça. Isto quer dizer que a solução em Ω da solução do produto do termo residual e de uma função peso w seja igual a zero:
I = rwd =
Ω
Substituindo funções de interpolação pela solução aproximada u *^ e pela função peso w , resulta num conjunto de equações algébricas que podem ser resolvidas para n coeficientes indeterminados da função de interpolação. Uma das formas empregadas para tornar o resíduo r = Lu *^ - f pequeno é o de se anular a integral (16), isto é, de anular pela média o resíduo. Considere que a função peso w é uma função que testa o resíduo, de modo que ela também é conhecida como função teste. A classe de funções teste é tal que a integral (16) possa ser escrita na forma:
( Lu* )wd Ω fwd Ω
Ω Ω
Geralmente, a formulação matemática original baseada na equação diferencial (14) denomina-se forma clássica ou forte e a formulação baseada no método dos resíduos ponderados por forma fraca. Pode-se demonstrar que para funções teste r pertencentes ao subespaço das funções aproximadas u *, as formulações clássica e fraca são equivalentes e que, portanto, conduzem às mesmas soluções.
Funções de Aproximação
Diversas formas de aproximação da função u podem ser obtidas. Entretanto, as condições estabelecidas para que as formulações clássica e fraca sejam equivalentes restringem a forma e o número de aproximações que podem ser utilizadas para as funções u. O problema consiste em obter-se uma aproximação de uma função real no intervalo [ a , b ], na forma:
=
n
j
un x c x c x cn n x cj j x 1
1 φ 1 2 φ 2 K^ φ^ φ (18)
As funções φj( x ) são conhecidas e supostas linearmente independentes, os coeficientes
c j são parâmetros a determinar.
A equação diferencial pode ser escrita numa outra forma geral como:
D [ x,y ] = 0 , a < x < b (19)
∫ w^ ( ) ( ) x rx^ dx =^ ∫ N ( ) ( ) x rx^ dx =^0
b
a
i
b
a
i i^ = 1, 2, ..,^ n^ (24)
Veremos no exemplo seguinte a aplicação do método de Galerkin.
Exemplo: Resolver o problema de valor de fronteira descrito pela equação diferencial ordinária:
2
2 − x = dx
d y (25)
sujeita às condições de contorno homogêneas: y (0) = y (1) = 0.
Solução: A presença do termo quadrático na EDO sugere que funções tentativas polinomiais possam ser usadas. Para as condições de contorno homogêneas em x = a e x = b , a seguinte função tentativa será usada:
N ( ) x = ( x − a ) p^ ( x − b ) q (26)
na qual as constantes p e q são valores estritamente positivos e inteiros. Essa função tentativa satisfaz as condições de contorno e é contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. A função tentativa mais simples que pode ser escolhida é aquela fazendo p = q = 1:
N 1 ( x ) = x ( x − 1 ) (27)
Usando esta função tentativa na solução aproximada da EDO:
u ( x ) = c 1 x ( x − 1 ) (28)
de onde vem a primeira e a segunda derivadas:
= c 1 ( 2 x − 1 ) dx
du , (^1) 2
2 2 c dx
d u
Observamos neste ponto que a solução escolhida não corresponde à solução “física” do PVF, pois a derivada segunda acima é constante, enquanto que na EDO que descreve o problema, a derivada segunda é função da variável x^2. Entretanto, continuaremos com o cálculo do problema para ilustrar o método de Galerkin. Substituindo a derivada segunda de u ( x ) na equação para o cálculo do resíduo, resulta:
r ( ) x = 2 c 1 − 10 x^2 − 5 (29)
que, claramente, é não-nulo. Substituindo na integral (24):
( 1 )( 2 10 5 ) 0
1
0
2
∫ x^ x − c^1 − x − dx = (30)
Integrando a equação acima, vem que c 1 = 4, de modo que a solução aproximada resulta em:
u ( x ) = 4 x ( x − 1 ) (31)
Para este exemplo simples, podemos encontrar a solução analítica através da integração sucessiva da EDO:
= =^2 + =^3 + + 1
2
2 5 3
dx 10 x 5 dx x x C dx
d y dx
dy (32)
na qual C 1 é uma constante de integração.
1 2
4 2 1
3 2
dx x x C dx x x Cx C dx
dy y (^) = + + +
Aplicando a condição de contorno y (0) = 0, obtém-se C 2 = 0, ao passo que a condição de contorno y (1) = 0 faz com que C 1 = -10/3, de maneira que a solução exata seja:
y x x x 3
O gráfico da Fig. 5 mostra as curvas da solução aproximada pelo método de Galerkin e da solução analítica exata.
Fig. 5. Comparação entre a solução aproximada pelo método de Galerkin e pela solução analítica da EDO.
