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Elementos Finitos
Tipologia: Notas de estudo
1 / 84
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ANIMACIÓN AVANZADAANIMACIÓN AVANZADAANIMACIÓN AVANZADAANIMACIÓN AVANZADA
El Método de los ElementosEl Método de los Elementos Finitos
Finitos
1/21/
José A. Fernández Merodo email: [email protected]
BibliografíaBibliografía •^
O.C. Zienkiewicz & R.L. TaylorThe Finite Element Method5th edition, Butterwoth Heinemann 2000
-^
S.S. RaoThe Finite Element Method In EngineeringPergamon Press, 1982
-^
K.H. Huebner, D.L. Dewhirst, D.E. Smith, T.G. ByromThe Finite Element for Engineers4th edition, John Wiley & Sons 2001
IntroducciónIntroducciónAplicaciones del MEF - ¿Qué podemos simular?
i^ í
té^
i
IntroducciónIntroducciónAplicaciones del MEF - ¿Qué podemos simular? SIMULADO
PAM-CRASHElementos finitos
ADINAElementos finitos
Ecuaciones de conservación
Perfeccionamientodel modelo matemático
Ecuaciones
de conservación+Hipótesis
del^
modelo matemático
en el espacio
Refinamiento:
discretización
en
el espacio
discretización en el tiempo
técnicas numéricas
malla, parámetros...
Precisión de la solución numéricaInterpretación de los resultados
Mundo Simulado
Geometría,Materiales
ELEMENTOS FINITOS ABAQUS
Materiales
,
Cargas aplicadas,Condiciones de contorno,Condiciones iniciales
ABAQUSANSYSCOSMOSADINANASTRAN (NASA)
NASTRAN
(NASA)
LS-DYNAPAM-CRASHFLOW3D
PROGRAMA^ PROGRAMA DE SIMULACIÓDE SIMULACI
ÓNN
DIFERENCIAS FINITAS FLAC
DE
SIMULACI DE SIMULACIÓ
ÓNN
ELEMENTOS DISCRETOS UDEC – PFCROCKFIELD
MÉTODOS SIN MALLA REALFLOW – XFLOW
IntroducciónIntroducción^ •^
¿Cómo aproxima el MEF la solución del sistema EDP?¿Cómo
aproxima el MEF la solución del sistema EDP?
1.^
Discretizando (dividiendo) el objeto deformable en elementos (de ahíel nombre del MEF) que se conectan a través de los nodosel nombre del MEF) que se conectan a través de los nodos^ ejemplo:Una esfera
Malla gruesa:Pocos elementos
Malla fina: Muchos elementos
IntroducciónIntroducción^ •^
¿Cómo aproxima el MEF la solución del sistema EDP?¿Cómo
aproxima el MEF la solución del sistema EDP?
2.^
Aproximando la incógnita (para el caso de deformación de objetos: losdesplazamientos) utilizando los valores en los nodos y unas funcionesdesplazamientos) utilizando los valores en los nodos y unas funcionesde forma. Por ejemplo
: el desplazamiento según x (que llamamos u) decualquier punto dentro de un tetraedro 3Dcualquier punto dentro de un tetraedro 3D
4
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
4 4 3 3 2 2 1 1 ,,
,,
,,
,,
), ,(
u zy x N u zy x N u zy x N u zy x N zy xu
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
u^3 3
u^4 4
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
) z yx Nz yx N zy x Nz yx Funciones de forma N
z^
u^2
u^1 1
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
) z yx Nz yx N zy x Nz yx N^
,, , ,, ,, , ,, ,^
4
3
2
(^1) Valores en los nodos:
4 3 2 1
, , ,^
u u u u
y^ x
Valores en los nodos:
4 3 2 1
, , ,^
u u u u
IntroducciónIntroducción
[^
]{^
}^
{ }F U K^
=
Matriz de rigidez globalse calcula a partir de las
matrices de rigidez elementales
(de cada
elemento) y
ensamblando
esas matrices (sumando la contribución de
cada una de ellas a nivel global) {U}:
Vector desplazamientos {^ }
p
Contiene las incógnitas que son los desplazamientos en los nodosSu dimensión es:grados de libertad por nodo (despla amiento en cada dirección
grados de libertad por nodo (desplazamiento en cada dirección u, v, w)* números de nodos (npoin)
3 * npoin (en 3D)
Vector fuerzasContiene las fuerzas aplicadas en los nodos(su dimensión también es 3* npoin en 3D)(su dimensión también es 3
npoin en 3D)
Para encontrar la solución {U} tenemos que resolver un sistema de ecuaciones
IndiceIndice1. Funciones de forma (o de interpolación)1. Funciones de forma (o de interpolación)2. Tensiones3 Deformaciones3. Deformaciones4. Ecuación constitutiva: Ley de Hook (comportamiento lineal)5 E
- problemas 1D- problemas 2D en tensiones planasproblemas 2D en tensiones planas- problemas 2D en deformaciones planas- problemas 2D en simetría axial- problemas 3D- problemas 3D
φ (x)
( )
,^
1...
N^ xi
i^
( ) i 1
n
i^
i
i
=
φ (x)
φ ( )
1. Funciones de forma1. Funciones de forma^ Mejor aproximación tal que la
distancia
sea mínima
(^
)^
(^
) ˆ k^
k
x^
x
φ^
φ=
¡La solución aproximada y la solución analítica coinciden en los nodos!
0
1
ˆ( )
...^
n n
x^
a^
a x
a x
φ^
=^
+^
+^
n: orden de interpolación
ˆ
n=1 interpolación lineal
Hay que determinar a
y a 0
1
se necesitan 2 nodos
0
1
( ) x^
a^
a x
φ^
=^
l^
ió
0
0
1
0
ˆ(^
)^
(^
)
ˆ
o
x^
a^
a x
x
φ
φ
⎧^
=^
+^
=
⎪ ⎨^
a^ y a
Resolucióndel sistema
1
0
1 1
1
ˆ(^
)^
(^
)
x^
a^
a x
x
φ
φ
⎨^
=^
+^
=
⎪⎩^
ay a^0
1
1. Funciones de forma1. Funciones de formaAproximación con polinomios deAproximación con polinomios de Lagrange
-^
(^
)^
(^
)
0
0
1
1
ˆ( )
( )
( )
x^
x^
L^
x^
x^
L^
x
φ^
φ
φ
=^
+^
[^
]^
0
0
1
ˆ( )
( )
( )
x^
L^
x^
L^
x
φ
φ
⎧^ ⎫ φ
=^
⎨^
⎬ ⎩^ φ⎭^1 ⎩^
⎭
0
0
(^10)
0
1
1
0
1. Funciones de forma1. Funciones de formaAproximación con polinomios de LagrangeAproximación con polinomios de Lagrange
⎧^
⎫
-^
[^
]^
0
0
1
1
ˆ( )
( )
( )
x^
L^
x^
L^
x
φ
φ
⎧^ ⎫ φ
=^
⎨^
⎬ ⎩^
⎭
ˆ( )
T x φ^
=^
⋅ N^
φ^
(^
) 0 ,^1 T^
L^
N^
Matriz de funciones de forma
( ) x φ
=^
⋅ N^
φ^
(^
) 0
T , 1 φ^
φ =φ
Vector de variables nodales
( ) x φ( ) x φ
ˆ( ) x φ ( ) x φ
φ^1
ˆ( )
x φ^
φ^1
φ^0
ˆ( )
x φ^
φ^1
φ^0
( ) x φ
φ^1
φ^0
x^0
x^1
φ^0 x^0
x^1
φ^0
