Universidade Federal do Ceará
Centro de Ciências
Departamento de Física
Métodos Numéricos para Física
Método de Euler Simples.
Aluno: Emanuel Pinheiro Fontelles Matricula: 343913
Curso: Métodos Numéricos para Física
Professor: Humberto Carmona
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Método de Euler
Tipologia: Notas de estudo
2014
Compartilhado em 24/09/2014
usuário desconhecido 🇧🇷
4.6
(20)38 documentos
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Universidade Federal do Ceará Centro de Ciências Departamento de Física Métodos Numéricos para Física
Método de Euler Simples.
Aluno: Emanuel Pinheiro Fontelles Matricula: 343913 Curso: Métodos Numéricos para Física Professor: Humberto Carmona
Método de Euler Simples.
Aluno: Emanuel Pinheiro Fontelles Matrícula: 343913 Professor: Humberto Carmona
Fortaleza, Julho de 2013
1 Introdução 3
1 Introdução
Em ciências exatas ou naturais, grande parte dos problemas existentes são descritos por equações diferenciais, cujas soluções gerais devem ser particularizadas por condições iniciais e/ou condições de contorno. Quando ocorrem somente as primeiras, diz-se que o problema é de valor inicial.
As equações diferencias de primeira ordem descrevem uma pequena parte desses prob- lemas, sendo da forma: y′^ = f (x, y) (1)
Se f é uma função de x apenas, podemos facilmente resolve-lá para y:
y(x) =
∫ (^) x f (χ)dχ (2)
No entanto, assumindo que f é uma função de x e y, podemos expandir a função em Série de Taylor, desde que conheçamos todas as derivadas, em torno do ponto x = x 0 , assim temos:
y(x) = y(x 0 ) + (x − x 0 )
dy dx x 0
(x − x 0 )^2 2!
d^2 y dx x 0
(x − x 0 )n n!
dny dx ξ
Sabemos que calcular y, é uma tarefa trabalhosa, como também calcular as derivadas de ordem superior, no entanto, podemos aproximar a solução trucando a série em dois termos: y(x) ≈ y(x 0 ) + (x − x 0 )y′(x 0 ) (4) Uma técnica simples, mas não e ciente, que nos permite aproximar a solução exata por um ponto inicial y 0 = y(x 0 ) e sua derivada f 0 = f (x 0 , y 0 ). Esse método é conhecido como Método de Euler Simples, ele consiste em dividirmos a região de integração em tamanhos h = (x − x 0 ) e calcularmos a derivada, repetindo o procedimento ao longo de todo o intervalo.
A e ciência desse método é comprometida quando aumentamos o intervalo, pois ao longo do intervalo a primeira derivada não descreve perfeitamente o compartamento de uma curva, diminuindo a precisão do resultado.
2 Método de Euler Simples 4
2 Método de Euler Simples
Considerando a seguinte equação diferencial:
y′(x) = y^2 + 1 y(0) = 0 (5)
Cuja solução analítica é dada por:
y(x) = tan(x) (6)
A aplicação do Método de Euler, parte do conhecimento da derivada da função e um ponto inicial, com isso é possível estimar um ponto subsequente:
y(x 0 + h) = y(x 0 ) + hf (x 0 , y 0 ) = y 0 + hf 0 (7)
Observamos a facilidade de implementação do método, considerando em uma região 0 ≤ x ≤ 1 e y(0) = 0. O problema desse método é que a derivada no início do intervalo é considerada constante para todo passo h. Assim devemos ter um passo muito pequeno para obtermos uma boa precisão.
Resolvendo a Equação (05) pelo Método de Euler, obtemos grá cos que descrevem a função y em função de x. A Figura 01, mostra a solução numérica para o Método de Euler, usando h = 0.05, 0.10, 0.15, e 0.20, desse modo pode-se observar a variação quando aproximamos da curva, é nessa região que o método se torna impreciso, de modo geral para funções lineares o método se aplica com perfeição, no entanto, para funções diversas o método não é e ciente.
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Análise do Método de Euler
h = 0. h = 0. h = 0. h = 0. Solução Analítica, tan (x)
Figura 1: Resultados obtidos usando h = 0.05, 0.10, 0.15, e 0.20. Observa-se a variação do resultado ao longo do eixo x, percebe-se que diminuindo o tamanho do passo obtemos uma melhor precisão nos resultados.
2.1 O Algoritmo 6
2.1 O Algoritmo
Nosso algoritmo basea-se na aplicação do Método de Euler Simples, a ideia principal é calcular a derivada em cada ponto do eixo x estimando sua próxima imagem y(x), para esse caso pode-se determinar y(x) em um intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , usando y(0) = 0.
Usa-se uma função para calcular a inclinação da reta tangente para cada valor de tempo t, calculando, portanto, a inclinação da reta tangentes no ponto, após incrementa o valor no eixo x (x = x + h).
Uma função é utilizada para determinar a derivada no ponto x e a função principal aplica o método de integração numérica. A função que calcula a derivada pode ser vista aqui, em prévia,
double f ( double x , double y ) { r e t u r n ( y∗y )+1; }
A função f() é usada na função main(), para o cálculo das derivadas, após a função altera o intervalo.
f o r ( c =0; c<n p a s s o s ; c++) { cout << x << " " << y << e n d l ;
y = y + h∗ f ( x , y ) ; x = x + h ; }
O método de integração aplicado é resolve equações diferencias de primeira ordem, a pre- cisão do método depende do tamanho do passo, para funções lineares é bastante preciso, pois não há variações na curvatura da função.
3 Conclusão 7
3 Conclusão
Nós descrevemos em detalhes o algoritmo para estudar o Método de Euler Simples, apresentou-se grá cos mostrando os resultados obtidos numericamente, analisando o com- portamento com a evolução do eixo x.
Uma descrição em detalhes da implementação do algoritmo foi discutida na Seção 2.2, como também uma prévia do Método de Euler aplicado para resolução desse problema em uma linguagem de programação. O algoritmo completo é apresentado no Apêndice, todo o programa está escrito em Linguagem C++.
Nós comparamos diferentes resultados em nosso algoritmo: a variação da y(x) ao diminuirmos o passo, observou-se que ao diminuirmos o tamanho do passo melhoramos signi camente nossos resultados, Figura 02, no entanto o trabalho computacional aumenta signi camente.
Os dados coletados comparados com os dados previstos teoricamente mostram vari- ações, a curva é onde acumula-se mais erro, sendo os pontos de maior variação da incli- nação da reta tangente, causando maiores discrepâncias.
O Método de Euler, pode resolver diversas equações diferencias de primeira ordem, se tivessemos analisando um Movimento Harmônico Simples, e fôssemos analisar a energia mecânica do sistema, notariamos que a energia não se conserva, pois o método aplicado não nos fornece grande precisão, aumentando a energia do sistema.
4.2 Solução Analítica 9
4.2 Solução Analítica
y′^ = y^2 + 1 y′ y^2 + 1
y^2 + 1
dy =
dx
tan ^1 (y) = x y = tan(x) + C
5 Referências Bibliográ cas 10
5 Referências Bibliográ cas
- DEVRIES, Paul L., A First Course in Computational Physics. 1 a^ Edição - 1994. John Wiley & Sons, INC. Canada.
- LANDAU, Rubin H. PÁEZ, Manuel J. BORDEIANU, Cristian C., Computational Physics Problem Solving with Computers. 2a^ Edição - 2007. Editora WILEY-VHC Co.
- BUTCHER, J. C., Numerical Methods for Ordinary Dierential Equations. 2 a Edição - 2008. Editora WILEY-VHC Co.
- ANDI, Klein e GODUNOV, Alexander, Introductory Computational Physics. 1 a Edição - 2006. Cambridge University Press.
- CAMPOS FILHO, F. Ferreira, Algoritmos numéricos. 2a^ Edição - 2007. LTC Edi- tora.
- GAELZER, Rudi, Introdução à Física Computacional. 6a^ Edição - 2011. Instituto de Física e Matemática, Fundação Universidade Federal de Pelotas.