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ISIG 2002
Funções Homogéneas – Teorema de Euler
1. Definição
Considere-se a função f ( x 1 ,... ,xn): R R
n a.
Diz-se que f é Homogénea de grau p se
( 1 ,..., ) ( 1 ,..., n )
p f λ x λ xn = λ f x x , ∀ λ ∈R
Por exemplo, a função (^) f ( x)= 3 x^2 é homogénea de grau 2, com efeito
2 2 2 2 2 f λ x = λ x = λ x = λ f x
e a função (^) f ( x,y,z)= 2 x^2 yzsin(y/z) é homogénea de grau 4. Já as funções f ( x,y)=sin(xy)
e (^) f ( x,y,z )= xyz+x^2 +y não são homogéneas.
Uma propriedade importante das funções homogéneas é o facto de que se conhecermos o
valor da função num ponto P, então conhecemos o valor da função em qualquer ponto P’ que tenha
coordenadas proporcionais ás coordenadas de P, isto é, se soubermos por exemplo que f ( x,y)é
homogénea de grau 3, e que f ( 2 , 3 )= 1 , então sabemos imediatamente o valor de f no ponto
(4,6), com efeito:
3 f = f ⋅ ⋅ = f = ⋅ =
2. Teorema de Euler para funções homogéneas
Outra propriedade importante das funções homogéneas é a que vamo s expor de seguida.
Seja então f R R
n : a homogénea de grau p. Então
( 1 ,..., ) ( 1 ,..., n )
p f λ x λ xn = λ f x x , ∀ λ ∈R
derivando esta equação em ordem a λ obtemos:
ISIG 2002
1
1
1
n
p
n
i
i i
x p f x x x
f (^) −
=
λ
e como esta relação deve ser válida para qualquer λ real, se λ = 1 fica
1 1
n
n
i
i i
x pf x x x
f
∂
=
Acabámos assim de demonstrar o chamado Teorema de Euler para funções homogéneas:
TEOREMA
Se f R R
n : a é homogénea de grau p, então ( 1 ,..., ) 1
n
n
i
i i
x pf x x x
f
∂
=
Podemos agora estudar a homogeneidade das derivadas de f.
Para tal vamos derivar em ordem a x^ ja expressão anterior:
1
n j
n
i
i j i
f x x x
x p x
f
x ∂
=
j
n
i j
i
i j i j
j j x
f x p x x
f
x
f x x
f
∂
≠
= 1
2
2
2
j
n
i j
i
i j i j
j x
f x p x x
f
x
f x ∂
≠
=
1
2
2
2
j
n
i j
i
i j j i j
j x
f x p x
f
x x
f
x
x ∂
≠
=
1
j
n
i
i j i x
f x p x
f
x ∂
=
1
que é a expressão do Teorema de Euler para a função x j
f
∂
, e portanto pode concluir-se que se f é
homogénea de grau p, as suas primeiras derivadas são homogéneas de grau p − 1.
ISIG 2002
2.2. Operadores
Chama-se Operador, a uma regra operatória. Por exemplo,
dx
d
é o
operador de derivação. Por si só não tem qualquer significado, mas quando
aplicado a uma função f ( x), transforma-a na sua derivada.
Outro exemplo de operador é o Gradiente
dy
f
x
f f x dy
f xy
O operador Gradiente, (^)
x dy
quando aplicado á função f transforma-a
num vector cujas componentes são as derivadas parciais de f, vector esse que se chama gradiente
de f.
Vamos então definir um novo Operador a que chamaremos Operador de Euler^1
n
i (^) i
i x
E x 1
Então, se f : R R
n a for homogénea de grau p, tem-se, pelo Teorema de Euler
E f =p f
Vejamos agora o que sucede se aplicarmos duas vezes o operador E.
E E f = E f =
2 f x
x x
x
n
i (^) i
i
n
i (^) i
i (^)
= 1 = 1
=
=
n
i (^) i
n
j (^) j
j
i
n
i (^) i
i
n
i (^) i
i x
x
f x
x x
f x x
x 1
1
1 1
1 Nota: esta designação não é universal.
ISIG 2002
= = = ≠
=
n
i
n
j
n
i
n
ji
j (^) i
i i j i
i j j
j i
i x
f x x
f
x x
f x x x
f x x
x 1 1 1 1
2
2 2
= ≠
=
n
i
n
ji
j (^) i
i i
i i j
i j x
f x x
f x x x
f xx 1 1
2
2 2
2
= ≠
= =
n
i
n
ji
j (^) i
i i j
i j
n
i (^) i
i x
f x x x
f xx x
f x 1 1
2
2 2
2
1
repare-se agora que o primeiro somatório é o operador de Euler aplicado á função f, e o segundo
somatório é o expoente simbólico (2) de E f, temos portanto que
2 (^2 ) E f =Ef + Ef
Vejamos o que sucede no caso f R aR
2 : , homogénea de grau p.
Tem-se
p f y
f y x
f E f x = ∂
e tornando a aplicar o operador E em ambos os membros fica:
E Ef =pE f
isto é:
E f Ef p f
( 2 ) 2 +( ) =
p f Ef p f
( 2 ) 2 +( ) =
( E f) p(p 1 ) f
( 2 ) = −
ou seja:
p p f y
f y x
f x y
f y x y
f xy x
f x 2 ( 1 )
( 2 )
2
2 2
2
2
2 2 = −
Poderíamos continuar a aplicar o operador E, e um raciocínio semelhante mas cada vez
mais trabalhoso levaria ao seguinte resultado
