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NM8010 Introdução ao Método dos Elementos Finitos aula 3
Profs. Renato, William e Wallace
DEFINIÇÃO: ARRANJOS DE DADOS ID , IEN E LM
Os arranjos de dados (grafos) representam a digitalização da estrutura na forma de dados
numéricos. Todas as inter-relações presentes na estrutura estão contidas também nos
arranjos de dados ID, IEN e LM.
ID (GL LOCAL , NÓ) = GL GLOBAL
- ID liga um nó aos graus de liberdade (iniciar pelos GLS desconhecidos)
IEN (NÓ LOCAL , ELEMENTO ) = NÓ GLOBAL
- IEN liga um elemento a seus nós (define o sistema de coordenadas local)
LM (GL LOCAL, ELEMENTO) = GL GLOBAL
- LM relaciona um elemento a seus GL´s (fornece os endereços de [K]
e
2.5 EXEMPLO
Obter os arranjos de dados ID, IEN e LM para a estrutura abaixo. Números de elementos
estão circunscritos em azul. Verifique que, neste problema, n = 10 , α = 5 e β = 5.
2.6 EXEMPLO
Para a estrutura abaixo, considere K 1
= K 2
= 2 kN/mm e K 3
= K 4
= K 5
= 3 kN/mm. Determine:
a) os arranjos de dados ID, IEN e LM
b) a matriz de propriedades dos elementos PROP
c) as matrizes de rigidez dos elementos e a matriz de rigidez global por sobreposição
d) verifique que o sistema elástico é estável e possui apenas uma posição de equilíbrio
e) resolva para {X} α
e {F} β
e verifique a condição de equilíbrio
f) determine a energia armazenada no elemento 4, calculando nos sistemas local e global
g) determine a força de tração/compressão atuando no elemento 3
2,5kN
4,5kN
12mm
Solução:
Começamos por ID. A numeração dos GL´s deve-se iniciar pelos GL´s desconhecidos.
Observe que, neste problema, n = 8 , α = β = 4.
A matriz de propriedades contém todas as informações necessárias para se obter a matriz
de rigidez de cada elemento:
Em seguida calculamos as matrizes de rigidez de cada um dos elementos da estrutura
2 2
2 2
2 2
2 2
e
mn n mn n
m mn m mn
mn n mn n
m mn m mn
K K
mm
kN
K
1
mm
kN
K
2
mm
kN
K
3
mm
kN
K
4
mm
kN
K
5
A matriz de rigidez global é calculada através da sobreposição das diversas matrizes dos
elementos
mm
kN
K
Cálculo de {X} α
Cálculo de {F}
β
:
[ K ]
αα
{ X }
α
={ F }
α
− [ K ]
αβ
{ X }
β
[
4,25 − 1,3 0 0
− 1,3 3,75 0 − 3
0 0 1,99 − 0,
0 − 3 − 0,41 6,
]
.
{
x 1
x 2
x 3
x 4
}
=
{
0
− 4,
− 2,
0
}
−
[
− 2 0 − 2,25 1,
0 0 1,3 − 0,
− 1 − 1 − 0 , 99 1 , 41
− 1 − 1 1,41 − 2,
]
.
{
0
0
0
12
}
[
4,25 − 1,3 0 0
− 1,3 3,75 0 − 3
0 0 1,99 − 0,
0 − 3 − 0,41 6,
]
.
{
x
1
x 2
x 3
x 4
}
=
{
− 15,
4,
− 19 , 42
24,
}
→
{
x
1
x 2
x 3
x 4
}
=
{
− 2,
5,
− 8,
6,
}
mm
{ F } β
=[ K ] βα
{ X } α
{ X } β
{
F
5
F
6
F
7
F
8
}
[
]
{
}
[
]
{
}
}
{
}
{
}
{
}
kN
Para demonstrar a condição de equilíbrio devemos mostrar que:
Para o cálculo da energia armazenada no elemento 4, podemos utilizar tanto o sistema
de coordenadas global quanto o local. Assim:
∑
F
X
= F
5
1
3
7
=6,40+ 0 − 2,5 − 3,90= 0
∑
F
Y
= F
6
2
4
8
=2,36 − 4,5+ 0 +2,14 = 0
{ X }
2
=
{
x 7
x 8
x 1
x 2
}
=
{
0
12
− 2,
5,
}
mm
[ T ] 4
[
m n 0 0
− n m 0 0
0 0 m n
0 0 − n m
]
[
]
{
´ X } 4
=[ T ] 4
. { X }
4
=
[
− 0,57 0,82 0 0
− 0,82 − 0,57 0 0
0 0 − 0,57 0,
0 0 − 0,82 − 0,
]
.
{
0
12
− 2,
5,
}
=
{
9,
− 6,
5,
− 1,
}
=
{
u ´ 1
v^ ´ 1
u ´ 2
v^ ´ 2
}
Finalizando, podemos ainda plotar a geometria deformada da estrutura:
2,5kN
4,5kN
2 mm
8,5 mm
6,13 mm
5,4 mm
2.7 Exercício
Para a estrutura abaixo, considere K 1
= K 2
= 4 kN/mm e K 3
= K 4
= K 5
= 6 kN/mm. Determine:
a) os arranjos de dados ID, IEN e LM
b) a matriz de propriedades dos elementos PROP
c) as matrizes de rigidez dos elementos e a matriz de rigidez global por sobreposição
d) verifique que o sistema elástico é estável e possui apenas uma posição de equilíbrio
e) resolva para {X} α
e {F} β
e verifique a condição de equilíbrio
f) determine a energia armazenada no elemento 5
g) determine a força de tração/compressão atuando no elemento 3
h) calcule as reações de apoio pela estática e compare com os resultados de {F} β
Solução (parcial):
e
