Aula sobre Programação Linear, Manuais, Projetos, Pesquisas de Ciências Biologicas

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Aula_06 Programação Linear Denilson C. Resende http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4761097J7&tipo=completo&idiomaExibicao= [email protected]

 Na aula de hoje vamos estudar

◦ Introdução à programação linear

◦ Problemas de programação linear Resolução gráfica

Sujeito a:

Onde























































m n^ m

n

n

b

b

b

g x x x

g x x x

g x x x

2

1

1 2

2 1 2

1 1 2

( , ,....., )

:

( , ,....., )

( , ,....., )

 

 

para i m

g x x x a x a x a x

f x x x c x c x c x

i n i i in n

n n n

1 , 2 ,....,

, ,........, ........

, ,........, ........

1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2



   

   

◦ n é o número de variáveis

◦ M é o número de restrições do problema

◦ I é o número de uma determinada restrição

(i=1,2,...,m)

◦ j é o índice de uma determinada variável

◦ ci é o coeficiente da variável xi da função objetivo

◦ aij é o coeficiente (constante) da variável xi da

j-ésima restrição.

Diremos que um problema de programação linear

está em sua forma padrão se tivermos uma

maximização da função-objetivo e se todas as

restrições forem do tipo menor ou igual, bem

como os termos constantes de decisão

não-negativos. Matematicamente podemos

representar um problema padrão por:

Maximizar Z  c 1 x 1  c 2 x 2 ........ cn xn

com:

Ou na forma reduzida

x x x o

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Sujeito

n

m m mn n n

n n

n n

a

1 2

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1



n

j

Maximizar cj xj

1

Z

Solução viável: Uma solução em que todas as

restrições são satisfeitas

Solução ótima: Uma solução viável que tem o valor

mais favorável da função-objetivo, isto é,

maximiza ou minimiza a função-objetivo em toda

a região viável, podendo ser única ou não

Todo o problema de programação linear parte de

algumas hipóteses que são assumidas quando

tratamos de resolvê-las

Proporcionalidade: O valor da função objetivo é

diretamente proporcional ao nível de atividade

de cada variável de decisão

Aditividade: Considere as atividades (variável de decisão) do modelo como entidades totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas , isto é, não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições.

Divisibilidade: Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nível fracionário, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor

Certeza: Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas. Em problemas reais, a certeza quase nunca é satisfeita, provocando a análise de sensibilidade dos resultados

Para resolvê-lo graficamente, o primeiro passo é estabelecer dois eixos que irão representar as

quantidades x 1 ,^ x 2

Solução Gráfica

Escolher os eixos

X 1 =eixo x

X 2 =eixo y

Encontrar o

conjunto solução

Para resolver um problemas temos as seguintes possibilidades

Um problema pode:

Não ter solução

Ter apenas uma solução

Ter mais de uma solução,

mas finita

Ter infinitas Soluções

A restrição (d) não tem sua representação imediata. Para podermos representá-la, devemos nos lembrar da representação da reta no espaço do R^2.

Se considerarmos x 1 como variável independente e x 2 como variável dependente (pois é uma função de x 1 ), a equação de uma reta é dada por x 2 =ax 1 +b, onde a é o coeficiente angular da reta e b é o coeficiente linear.

Como temos uma inequação do tipo menor ou igual. Todos os pontos abaixo e em cima da reta satisfazem a restrição. Portanto podemos analiticamente definir

Vamos inserir mais esta restrição na representação

1

1 2

1 2

x

x

x

x x

Com isso

C(3,3) = solução ótima leva a z= 21

D(1,4) z=

A(0,0) leva a Z=

Z  5 x 1 (^)  2 x 2

Neste caso, o máximo valor de z é igual 21, numa

solução ótima no ponto c(3,3)

Como exercício vamos fazer o segundo exemplo do livro. Minimizar Z  7 x 1  9 x 2

restrições

x x

x x

x x

x

x

x x

Sujeito

a

1 2

1 2

1 2

2

1

2 1