INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR
(Exercícios)
( Texto revisto para o ano lectivo 2001-2002 )
António Carlos Morais da Silva
Professor de I.O.
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PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (Exercícios), Provas de Cálculo
da função-objectivo é solução óptima do modelo de PNL? ... Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x1,x2).
Tipologia: Provas
2022
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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR
(Exercícios)
( Texto revisto para o ano lectivo 2001-2002 )
António Carlos Morais da Silva Professor de I.O.
Recomendações
1. Fazer dez exercícios ou o mesmo exercício 10 vezes?
Em regra obtém-se melhor rendimento executando várias vezes o mesmo
exercício, com critério e sentido da descoberta, do que resolvendo vários
exercícios com o objectivo enganador de “acertar na solução “.
2. Exercício feito, tarefa pronta?
Rever criticamente a “história” da execução de um exercício melhora
substancialmente a capacidade pessoal de identificação dos problemas e de
arquitectar o plano de aplicação do “ferramental” técnico necessário (o quê ;
quando ; como).
A Programação Matemática apela ao “engenho e arte” de quem quer mesmo
utilizá-la.
3. Sim ou não ao software da disciplina?
O “passado escolar” ensina que o recurso intensivo ao software académico,
desenhado especificamente para apoio do ensino desta disciplina, traduz-se
rapidamente na melhoria do rendimento porque além de permitir exercitar a
curiosidade intelectual (vertente fundamental) garante a obtenção rápida de
respostas rigorosas e detalhadas para exercícios propostos pelo professor ou
gizados pelo próprio aluno (aumento da produtividade).
Exercícios de PNL
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-
2. Método dos Multiplicadores de Lagrange
2.1. Descrever o Método dos Multiplicadores de Lagrange à luz do respectivo Teorema.
2.2. Se (X,λ) são soluções das condições de Lagrange para um problema de PNL (maximização) só com restrições de igualdade, pode concluir-se que são todos pontos onde a função atinge o máximo?
2.3. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Max f(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 + 2x (^1) s.a. 4x 1 + 2x 2 = 60
2.4. Deduza as condições de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. x ≥ 0
2.5. Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange deduza as condições de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. g(x) ≤ b
2.6. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Max f(x 1 ,x 2 ) = 5x 1 - (^) 2x 12 + 3x 1 x 2 - (^) 2x 22 s.a. x 1 + x (^2) ≤ 2
2.7. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Max f(x 1 ,x 2 ) = (^) 3x 12 + (^) x 22 + 2x 1 x 2 + 6x 1 + 2x (^2) s.a. 2x 1 - x 2 = 4 O ponto óptimo é extremo global da função?
2.8. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange o extremo da função:
Min f(x 1 ,x 2 ) x 1 - x (^2) s.a. (^) x 12 + (^) x 22 = 1
Exercícios de PNL
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 3-
3. Programação Não Linear (alguns conceitos fundamentais)
3.1. Classifique e compare as soluções de modelos de PL e de PNL.
3.2. A solução óptima de um modelo de PNL pode ser atingida em ponto da fronteira do convexo de soluções?
3.3. A solução óptima de um modelo de PNL pode ser atingida em ponto interior do convexo de soluções?
3.4. Em PNL o espaço de solução pode não ser convexo?
3.5. Partindo das respostas ás 4 questões anteriores, aponte as principais diferenças entre soluções de PL e PNL.
3.6. Considere o modelo de PNL: Max f(x 1 , x 2 , .... x (^) n ) s.a. g 1 (x 1 , x 2 , .... x (^) n ) ( ≤ , = , ≥ ) b (^1) g 2 (x 1 , x 2 , .... x (^) n ) (^) ( ≤ , = , ≥ ) b (^2) .............................. ................ ..... g (^) m(x 1 , x 2 , .... x (^) n ) (^) ( ≤ , = , ≥ ) b (^) m
Admitindo que o espaço de soluções é convexo em que circunstâncias pode afirmar-se que um máximo local da função-objectivo é solução óptima do modelo de PNL?
3.7. Apresente a matriz Hessiana da função f = (x 13 + 2x 1 x 2 + x 24 )
3.8. Considere a função não linear f(x 1 , x 2 , .... x (^) n ) com segundas derivadas parciais contínuas no conjunto “S”.
Indique as condições a que deve obedecer a matriz Hessiana da função para poder concluir que esta é côncava.
3.9. Considere a função não linear f(x 1 , x 2 , .... x (^) n ) com segundas derivadas parciais contínuas no conjunto “S”.
Indique as condições a que deve obedecer a matriz Hessiana da função para poder concluir que esta é convexa.
3.10. Uma empresa produz dois modelos M 1 e M 2 da mesma máquina.
As funções de procura são as seguintes: modelo M 1 : 150 - 2p 1 - p (^2) modelo M 2 : 200 - p 1 - 3p (^2) em que p 1 e p 2 são os preços de venda de cada um dos modelos. Calcular os preços de venda que maximizam a receita.
3.11. Verificar se a função f= x 12 + x 22 + 2x 32 - x 1 x 2 - x 2 x 3 - x 1 x 3 é convexa.
3.12. Considere a função quadrática f(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 x 2 + 3x 2 - x 12 - x 22
a. Calcular o gradiente da função no ponto X 1 = (2,3) T. b. Sendo f= 8 no ponto anterior, calcular o valor aproximado da função no ponto X 2 = (2.1,3.2) T^ com uma série de Taylor.
Exercícios de PNL
3-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)
3.13. Considerar a função quadrática anterior. Calcular o vector “V” resultante da diferença dos gradientes da função nos pontos X 1 e X 2 do problema anterior recorrendo exclusivamente à matriz hessiana da função.
3.14. Considere a função f (x 1 ,x 2 ) = 15x 1 + 30x 2 - 4x 1 x 2 - 2x 12 - 4x 22
a. Apresentar a função na forma quadrática.
Exercícios de PNL
4-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)
4.6. Considere o seguinte problema de programação não linear :
Max f(x 1 ,x 2 ) = 15x 1 + 30x 2 + 4x 1 x 2 - (^) 2x 12 - (^) 4x 22 s.a. x 1 + 2x (^2) ≤ 30 x 1 ,x 2 ≥ 0
a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe. c. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a projecção horizontal das curvas de nível da função).
4.7. Considere o seguinte problema de programação não linear :
Max f(x 1 ,x 2 ) = (^) ln (x 1 +1) - x 22 s.a. x 1 + 2x (^2) ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0
a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Estabeleça as condições KKT. c. Demonstre que o ponto de coordenadas (3,0) é o ponto onde f(x 1 ,x 2 ) atinge o máximo.
4.8. Considere o seguinte problema de programação convexa :
Min f(x 1 ,x 2 x 3 ) = 2x 1 + (^) x 23 + (^) x 32 s.a. (^) x 12 + (^) 2x 22 + (^) x 32 ≥ 4 x (^) j ≥ 0 (j=1 a 3)
a. Recorrendo ás condições KKT verifique se x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1 pode ser a solução óptima.
Exercícios de PNL
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-
4.9. Descrever a solução óptima de Max f(x) para a ≤ x ≤ b recorrendo ás condições KKT sabendo que f´(x) existe para qualquer valor no intervalo [ a,b ].
4.10. Considere o seguinte problema de programação não linear :
Min f(x 1 ,x 2 ) = (^) (x 1 -1) 2 + (^) (x 2 -2) 2 - 3(x 1 +x 2 ) s.a. 4x 1 + x (^2) ≤ 20 x 1 + 4x 2 ≤ 20 x 1 , x (^2) ≥ 0
a. Sabendo que o ponto óptimo X* não pertence à fronteira do convexo de soluções, calcule a solução óptima com base nas condições KKT. b. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a projecção horizontal das curvas de nível da função).
4.11. Considere o seguinte problema de programação convexa :
Min f(x 1 ,x 2 ) = (^) x 12 + 2x 1 + 2x 1 x 2 + (^) 4x 22 s.a. 2x 1 + x (^2) ≥ 10 x 1 + 2x 2 ≥ 10 x 1 ,x (^2) ≥ 0
a. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe.
Exercícios de PNL
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-
4.15. Descreva o Método de Lemke (utilizado na Programação Quadrática.).
4.16. Calcule a solução óptima do exercício 4.5 utilizando o Método de Lemke.
4.17. Calcule a solução óptima do exercício 4.6 utilizando o Método de Lemke.
4.18. Calcule a solução óptima do exercício 4.11 utilizando o Método de Lemke.
Exercícios de PNL
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 6-
6. Modelos de Programação Não Linear
6.1. Uma empresa pretende iniciar a produção e venda de dois novos computadores A e B com preços de venda p e p2 respectivamente. A relação entre o número de computadores a produzir do tipo A e os preços de venda é a seguinte: x 1 = 4000 - 10 p 1 + p (^2) Notar que se o preço de venda p 1 sobe 1 unidade o total da produção reduz-se em 10 computadores; se no computador do tipo B aumenta o preço de venda em 1 unidade, tal conduz à produção de mais um computador do tipo A. A relação entre o número de computadores a produzir do tipo B e os preços de venda é a seguinte: x 2 = 2000 - 9p 2 + 0.8 p (^1) Das disponibilidades escassas indicam-se as necessidades para cada um dos tipos de aparelho: Mão de obra (horas) Chips Tipo A 2 3 Tipo B 3 1 Disponibilidade 5000 4500
a. Calcular o Plano Óptimo de Produção ( e respectivos preços de venda) recorrendo ás condições KKT. b. Indicar o contributo interno de 1 hora adicional de mão de obra. c. Se a empresa decidir não produzir e vender o stock de chips qual o preço a praticar? Justifique.
6.2. Uma empresa pretende iniciar a produção e venda de três novos tipos de secretária A, B e C com preços de venda respectivamente de p 1 ,p 2 e p 3 para o que pode disponibilizar, mensalmente, 150 horas/máquina e 280 horas de mão de obra. As relações entre nível da produção e preços de venda são as seguintes:
- nível da produção de A = 18 - p^1
- nível da produção de B = 9 + 1/3 p^1 - p^2
- nível da produção de C = 13 - p^3 Os consumos por unidade produzida são os seguintes: Tipo Horas/máquina Mão de obra (horas) A 0.3 0. B 0.4 1 C 0.6 0.
Os preços unitários de produção são, respectivamente, 5, 12 e 9 u.m. a. Apresentar o modelo de PNL para calcular o Plano Óptimo de Produção.
6.3. Uma empresa tem disponíveis “T” horas de trabalho e “C” unidades monetárias sendo seu objectivo produzir T2/3^ .C1/3^ máquinas. O custo a suportar por hora de trabalho é de 2 u.m. sendo de 1 u.m. por cada unidade de capital aplicado. Disponibilizando 30 u.m. para a produção quantas máquinas podem ser produzidas?
6.4. Considere-se que no problema anterior se pretende produzir apenas 6 máquinas.
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR
(Soluções dos exercícios)
( Texto revisto para o ano lectivo 2001-2002 )
António Carlos Morais da Silva Professor de I.O.
Exercícios de PNL – Soluções detalhadas
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-
Controlo da Tentativa Inicial Método da Bissecção OK. df/dx em A é Positiva 12 OK FUNÇÃO OK. df/dx em B é Negativa - Coeficientes Tolerância OK Var. Coef. 0. x^6 - x^5 Pontos Tentativa SOLUÇÃO x^4 -3 A B x^3 0.00 2.00 f(x) = 7. x^2 EXTREMO ÓPTIMO x 12 0. Const. ABCISSA 0.
Esq(Dir) Dir(Esq) Médio ÁREA DE CÁLCULO Ponto "a" Ponto "b" M OK? Valor f( M ) K (df/dx)M Lado de 0.000000 2.000000 1.0000000 Não 7. 1 -12.00 b 0.000000 1.000000 0.5000000 Não 5. 2 10.13 a 0.500000 1.000000 0.7500000 Não 7. 3 4.09 a 0.750000 1.000000 0.8750000 Não 7. 4 -2.19 b 0.750000 0.875000 0.8125000 Não 7. 5 1.31 a 0.812500 0.875000 0.8437500 Não 7. 6 -0.34 b 0.812500 0.843750 0.8281250 Não 7. 7 0.51 a 0.828125 0.843750 0.8359375 Sim 7. Book Bissec.xls. Sheet Sol. 1.
Analise o gráfico da função: