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ANÁLISE DO SISTEMA MECÂNICO TRANSLACIONAL USANDO TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Érico Ferraz Santos^1 Airam Teresa Zago Romcy Sausen^2
RESUMO
Nesse artigo tratamos de analisar as soluções dos problemas propostos relacionados ao Sistema mecânico translacional , sistema físico modelável por equações diferenciais lineares, através dos métodos da Transformada de Laplace.
Palavras-chave: métodos, Transformada de Laplace, Sistema, mecânico, translacional , equações diferenciais lineares.
ANLIS SYSTEM MECHANICS TRANSLATIONAL USING LAPLACE TRANSFORM
ABSTRACT
In this article we analyzed the solutions of problems related to the proposed translational system mechanic , system s physical modelvel by linear differential equations, via the methods of Laplace transform.
Keywords: methods of Laplace transform, system mechanic translational linear differential equations.
(^1) Aluno do Curso de Mestrado em Modelagem Matemática, Unidade Acadêmica da UNIJUI, Ijuí,RS, E-mail:
[email protected]
(^2) Profª. Doutora, Unidade Acadêmica de Matemática, UNIJUI, Ijuí, RS, E-mail: [email protected]
INTRODUÇÃO
As equações diferenciais (ED) representam uma série de fenômenos tais como: O crescimento de culturas de bactérias; competitividade entre as espécies de um ecossistema; escoamento de fluidos em dutos; o movimento dos planetas em torno do sol; trajetória de projeteis; etc.
Nesse trabalho fizemos uso dessa ferramenta (ED) para determinar as soluções dos problemas propostos relacionados ao Sistema mecânico translacional , usamos as propriedades de Transformada de Laplace para trabalhar com a (ED) que surge como Modelo Matemático para o Sistema. Para o desenvolvimento da teoria temos como referências os livros de (WILLIAN E. BOYCE; RICHARD C, 1990), (KATSUHIKO OGATA; 1982) e (ERWIN KREYSZIG; 1964).
Definição 1 : A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática das mais eficazes para análise, ajuste e controle de sistemas lineares.
As transformadas de Laplace são definidas no domínio de uma variável complexa s dada
por:
s j (1)
A transformada de Laplace de uma função f t é definida como se segue:
(^)
F ( s ) f ( t ) 0 f ( t ) e dt
L st
O expoente st deve ser adimensional. Assim, quando a variável independente t for
tempo, a dimensão de s deve ser o inverso do tempo, isto é, freqüência. Neste caso, por ser uma
variável complexa, sé freqüentemente denominada “freqüência complexa”.
SI (ou MKS) : a dimensão de s s ^1 ou rad / s
Transformada de Laplace de algumas funções simples
a- Constante: Seja K uma constante qualquer, então:
s
K s
e K ke dt K
st st^
^ (^) 0
0 L[ ]..
donde:
s
K L[ K ] (6)
1
0 u 1 t degrau unitário
s
u t
1 L[ (^) 1 ()] (7)
b- Exponencial decrescente: Seja um número real positivo, então:
^ ^ s
e s
e e e e dt e dt t
s t t t st s t^1 [ ] [ ] 0
( )
0
( ) 0 L L (8)
c- Co-seno: Seja uma onda co-senoidal de amplitude unitária e freqüência [ rad / s ].
Evidentemente é real e positivo. A transformada de Laplace (TL) dessa função de acordo com a definição é:
(^) [cos t ] (^0) cos( t ). e dt st L (9)
e j^ t^ cos t jsen t e e ^ j^ t^ cos t jsen t
Sabe-se que
2
cos
ej^ t e j^ t t
^
então a equação (9) torna-se
[ ] [ ] 2
1 2
[cos ] 0
st j t j t
j t j t e dt e e
e e t ^
^
(^) L (^) L L (10)
s j
e e s j
e j t j t
^
1 [ ]
1 L[ ] L (11)
Substituindo da equação (11) em (10), temos:
[cos ] 2 2
s
s L t (12)
Transformadas de Laplace
Domínio “s” Domínio do Tempo
Multiplicação por tempo
Deslocamento no tempo
Deslocamento na freqüência
Teorema do Valor Inicial
Teorema do Valor Final
Transformada inversa de Laplace
O processo de se obter uma função no tempo a partir de uma transformada de Laplace é denominado transformação inversa.
f t é a transformada inversa de F s , matematicamente, f t é obtida a partir de F s
através da seguinte expressão:
(^) (^)
(^) c jd c jd
st d
c j c j
st (^) Fse ds j
F se ds j
F s f t lim 2
1 2
1 (^1) [ ( )]
L para t 0
Onde c é escolhido de modo que todos os pontos singulares de F s estejam localizados à
esquerda da reta Re s c no plano complexo s , como:
=Re(s)
j = Im(s)
Região admissível para os pontos singulares de F(s)
c
A expressão da transformada inversa é de uso complicado, e por isto é pouco utilizada na prática.
O procedimento normal é, para expressões simples de F s , buscar a expressão da
transformada inversa em tabelas. Para transformadas mais complicadas, procura-se desmembrar
F s numa soma ponderada (combinação linear) de expressões mais simples:
(^)
N
k
F s Ak Fk s A F s A F s AN FN s 1
1 1 2 2 ...
(2)
onde A 1 , A 2 ,... ANsão constantes. Devido à propriedade da linearidade das TL’s a transformada
inversa será dada pela mesma soma ponderada das transformadas inversas de cada parcela, ou seja:
(^)
N
k
f t Ak fk t A f t A f t AN fN t 1
1 1 2 2 ...
(3)
Este procedimento é o mais utilizado na obtenção de transformadas inversas, especialmente quando as transformadas são funções racionais.
A Transformada de Laplace serve, entre outras coisas, para resolver equações diferenciais, proporcionando aos estudiosos maior clareza e abrangência na interpretação do mundo no qual vivemos.
Sistema mecânico translacional : a figura a seguir ilustra um sistema amortecedor viscoso-mola- massa.
Este sistema consiste de um pistão de massa m envolto em um cilindro com óleo e uma
mola. Uma força externa de módulo F gera um movimento do pistão; a força de atrito viscoso do
óleo e a força elástica da mola resistem a este movimento. O amortecedor essencialmente absorve a energia, que é dissipada na forma de calor e som (o sistema como um todo é dissipativo, não acumulando nenhum tipo de energia).
A equação diferencial que governa o sistema é obtida pela Segunda Lei de Newton, é dada por (4) ( a dedução desta equação esta no estudo do Regime oscilante livre amortecido e do Regime forçado visto posteriormente).
my”(t) + by’(t) + ky(t)=F(t) (4)
onde:
t : tempo;
m : massa do pistão (considerando-se a massa da mola desprezível);
(^) b: coeficiente de fricção viscosa (coeficiente de atrito do óleo);
k : constante da mola;
m
k
F
a
y posição de equilíbrio
F : força externa (em módulo) (excitação);
y : posição vertical da mola em relação à posição de equilíbrio (resposta).
Neste sistema a excitação é a força externa F e a resposta é a posição vertical (amplitude de
vibração) y da massa em relação à posição de equilíbrio.
Regime oscilante livre amortecido
Numa situação que o sistema não está em equilíbrio a força total exercida no sistema tem uma resultante que depende do tempo e que se pode escrever da forma
F (^) total = P+ Fel + A (5)
onde para além do peso temos que contar com a força de atrito A. Ou seja
F total = md 2 y = mg - ky - b dy (6)
dt^2 dt
onde b é o coeficiente de atrito que depende do meio (o Óleo) em que a massa se move e da forma do objeto. A força de atrito A tem apenas um termo linear na velocidade porque as velocidades são pequenas^3. Em física utiliza-se muitas vezes uma outra notação mais compacta para as derivadas de uma função em ordem ao tempo.
dy = y ’( t) d^2 y = y” ( t) (7) dt dt^2
o que permite, reordenando os termos, escrever a equação (6) da forma
my”(t) + by’(t) – mg + k y(t)=0 ( 8 )
tem a designação de frequência própria do sistema. Um pouco à semelhança do processo do cálculo da primitiva de funções a resposta à pergunta “ Qual é a função Y(t) que satisfaz a equação (12)?” passa por encontar uma função cuja 1ª e 2ª derivadas seja idêntica a ela própria. Facilmente se verifica que uma função do tipo et^ satisfaz essa condição. Vejamos: se
Y(t)=Yoest^ (15)
em que Yo e s são constantes, então
Y’(t)=sY(t)
e
Y”(t)=s^2 Y(t) (16)
donde substituindo (12) e (15) em (16) obtém-se
s^2 Y(t) + 2 sY(t)+ o^2 Y(t)=0 (1 7 )
Para (17) poder ser válida para qualquer instante de tempo temos de ter
s^2 + 2 s+ o^2 =0 (18)
ou seja
s= - ± √ (19)
Para que a equação (15) possa ser solução da equação (12) o parâmetro s tem de ser uma raiz do polinómio de 2º grau (18). Existem 3 casos possíveis: i) λ > ω 0, ii) λ = ω o e iii) λ < ω o. Os casos (i) e (ii) correspondem a valores de s reais e conduzem a funções Y(t) que são combinações lineares de exponenciais decrescentes no tempo. Nestes dois casos não são observadas oscilações no sistema. Esta situação podem encontrar-se em sistemas com atrito muito elevado. O caso (iii) é o mais interessante para este trabalho. Os valores de s são números complexos que conduzem a funções oscilantes amortecidas. De fato (19) pode ser escrita na forma
s= - ± j √ = - ± j (20)
com
e a solução de (12) escreve-se então da forma
Y(t)= A 1 e-^ tej^ t^ + A 2 e-^ te-j^ t^ (22)
Se considerearmos que A1 e A2 se podem escrever da forma A 1 = ej φ , A 2 = e-j φ^ e que a partir
das expressões de Euler cos( φ )= , sin( φ )= se tem ej φ = cos( φ ) + jsin( φ )
podemos após algumas manipulações algébricas escrever a equação (2 2 ) na forma equivalente.
Y(t)= AOe-^ tcos( t + φ ) (23)
(23a)
As constantes Ao e φ só são definidas conhecendo a posição e a velocidade da massa num determinado instante do tempo (usualmente o instante inicial). T é o período de oscilação dos sistema.
Problemas propostos: ( Pela definição 3 )
- Usando (1), determine a função de transferência do sistema mecânico translacional passivo.
2) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde m 1 Kg, k 4 N/m e força
externa F ( t ) sen ( 20 t )(trata-se de um sistema não amortecido, uma vez que não existe
atrito viscoso).
a) Determine a resposta y y ( t ) usando a equação (2) e decomposição em frações
parciais.
b) Determine a resposta y y ( t )usando a equação (3), isto é, através de uma convolução.
Compare com o resultado obtido anteriormente.
c) Use o Matlab para traçar o gráfico de yversust.
3) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde m 1 Kg, k 4 N/m e força
externa F ( t )sen( 2 t )(trata-se de um sistema não amortecido, uma vez que não existe
atrito viscoso).
d) Determine a resposta y y ( t ) usando a equação (2) e decomposição em frações
parciais.
e) Determine a resposta y y ( t )usando a equação (3), isto é, através de uma convolução.
Compare com o resultado obtido anteriormente.
f) Use o Matlab para traçar o gráfico de yversust.
4) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde m 1 Kg, b 4 kg/s e k 3
N/m e força externa F^ ( t^ ) u 2 ( t ).
a) Determine a resposta y y ( t )usando a equação (2).
b) Determine a resposta y y ( t )usando a equação (3). Compare com o resultado obtido
anteriormente.
c) Use o Matlab para traçar o gráfico de yversust.
CONCLUSÕES
Diante dos resultados obtidos neste trabalho concluímos que: EM ANDAMENTO!
AGRADECIMENTOS
À CAPES pela bolsa de Mestrado.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Willian E. Boyce; Richard C. Diprima. 3ª^ Edição, Editora Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, RJ, 1990. (Seção 3.7).
[2] Engenharia de controle moderno. Katsuhiko Ogata. Editora Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, RJ, 1982. (Capítulo 4)
[3] Advanced Engineering Mathematics. Erwin Kreyszig. Editora John Wiley & Sons, Inc. Third Printing, March, 1964. (Seção 2.14)
[4] Introdução à Física, J. Dias de Deus, M. Pimenta, A. Noronha, T. Peña, P. Brogueira, McGraw-Hill (1992).
[5] Contribuição para o Desenvolvimento do Ensino da Física Experimental no IST, A. Ribeiro, P. Sebastião, F. Tomé, Departamento de Física do IST (1996).
