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Introdução à Estatística e Probabilidades
1. A digitalização de documentos na Secretaria da Universidade é feita por três operadores, André, Bruno e Carlos. O André é responsável pela digitalização de 40% dos documentos, enquanto o Bruno é responsável por 30% , sendo os restantes digitalizados pelo Calos. Sabe-se que os documentos digitalizados pelo André, Bruno e Carlos têm probabilidade de apresentar má qualidade de imagem igual a 2% , 3% e 5% , respectivamente. a) Qual a probabilidade de uma imagem seleccionada aleatoriamente apresentar má qualidade? RESOLUÇÂO
A Documentos digitalizado pelo André B Documentos digitalizado pelo Bruno C Documentos digitalizado pelo Carlos MQ Documentos apresentar má qualidade P A ^ 0. 40 P B 0. 30 P C ^ 0. 30 P MQ P MQ A P A P MQ B P B P MQ C P C 0. 02 0. 40 0. 03 0. 30 0. 05 0. 30 0. 032
b) Ao efectuarmos uma pesquisa verificou-se que a imagem apresentava má qualidade. Qual a probabilidade de ter sido digitalizada pelo Bruno? RESOLUÇÂO P B MQ P PB MQMQ P MQ P MQB P B 0.030.0320.30 0. 281 3
c) Qual a probabilidade de uma imagem apresentar má qualidade e ter sido digitalizada pelo Carlos?
RESOLUÇÂO
P MQ C P MQ C P C 0. 05 0. 30 0. 015
2. Em determinada agência bancária, o número de pedidos diários de cheques truncados, é uma variável aleatória com seguinte função de distribuição:
F x
0 , x 100
- 1 , 100 x 150
- 2 , 150 x 200
- 5 , 200 x 300 1 , x 300
a) Determine a função de probabilidade. RESOLUÇÂO
Xi 100 150 200 300 P Xi 0. 1 0. 1 0. 3 0. 5
b) Calcule a probabilidade de num dia o número de pedidos ser superior a^150 ou inferior a^300. RESOLUÇÂO P X 150 P X 300 0. 2 0. 5 0. 7
c) Calcule o valor esperado e o desvio-padrão do número de pedidos de cheques truncados por dia. RESOLUÇÂO
E X
i 1
n XiP Xi
100 0. 1 150 0. 1 200 0. 3 300 0. 5 235 Var X E X^2 E X ^2 60250 235 ^2 5025 5025 70. 887 Cálculo Auxiliar E X^2 100 ^2 0. 1 150 ^2 0. 1 200 ^2 0. 3 300 ^2 0. 5 60250
3. Uma empresa comercializa garrafas de vinho de um litro. Supõe-se no entanto que 40% dessas garrafas contém realmente uma menor quantidade de líquido do que o
P X k e
2.4 (^) 2. 4 k k! , k 0, 1, 2,
P X 0 e
2.42.4 0 0! ^ e
b) Qual a probabilidade de não haver chamadas no período de duas horas? RESOLUÇÂO Y - número de chamadas de alarme, em duas horas. 1 2.4 ^
2 ^ ^ ^ 4. 8 Y P 4. 8
P Y k e
4.8 (^) 4. 8 k k! , k 0, 1, 2,
P X 0 e
4.84.8 0 0! ^ e
c) Se a estação tiver três camiões, qual a probabilidade de, no período de uma hora, uma chamada não ser satisfeita devido ao facto de os camiões estarem ocupados (suponha que em cada chamada é utilizado um camião)? RESOLUÇÂO P X 3 1 P X 3 1 P X 0 ^ P X 1 ^ P X 2 ^ P X 3 ^ 1 e
2.42.4 0 0! ^
e 2.42.4 ^1 1! ^
e 2.42.4 ^2 2! ^
e 2.42.4 ^3 3! 1 0. 090718 0. 21772 0. 26127 0. 20901^ 1 0. 77872 0. 22128
5. Uma determinada empresa de trabalho temporário tem^10000 trabalhadores. O salário dos trabalhadores é normalmente distribuído. Sabendo que metade deles ganha menos de^500 euros e que 4% ganham mais de 517. 50 euros. Calcule: a) O número de trabalhadores que ganham mais de^530 euros. RESOLUÇÂO
P X 500 0. 5 P X 517. 50 0. 04
P Z 500 0. 5
1 P X 517. 50 0. 04
P Z 500 0. 5
1 P Z 517.50 0. 04
P Z 500 0. 5
P Z 517.50 0. 96
^500 0. 5
500 ^0 517.50 ^ 1. 75
P X 530 ^ 1 P X 530 ^ 1 P Z 53010 ^500
1 P Z 3 1 3 1 0. 9987 0. 0013
NT 10000 0. 0013 13
(^13) trabalhadores ganham mais de 530 euros.
b) A percentagem de trabalhadores que ganham no máximo 502. 50 euros. RESOLUÇÂO P X 502. 50 P Z 502.50 10 500 P Z 0. 25 0. 25 0. 5987
- 5987 100 59. 87
- 87% de trabalhadores ganham no máximo 502. 50 euros.
c) A probabilidade de que em^10 trabalhadores, aleatoriamente seleccionados, só^6 ganhem mais que 502. 50 euros. RESOLUÇÂO X - número de trabalhadores que ganham mais que 502. 50 euros, em 10 seleccionados. n 10 p 0. 5987 X b 10, 0. 5987
P X k 10 k 0. 5987 k 1 0. 5987^10 k^ , k 0, 1, 2, , 10
P X 6 106 0. 5987^6 1 0. 5987^10 ^6 0. 25081
L 3 22. 376 n 3 n 22. 376 3 n 7. 458 7^2 n 55. 632
Logo n^ ^56 peças.
7. Segmentos metálicos são fornecidos ao cliente em lotes grandes. Quando a produção está sob controlo os segmentos têm um comprimento médio de 2. 1320 polegadas com um desvio-padrão de 0. 001 polegadas. Uma amostra aleatória de^90 segmentos, extraída de um lote, forneceu o comprimento médio de 2. 1316 polegadas. Pode concluir-se que a produção está ainda sob controlo, ao nível de significância de 5%. RESOLUÇÂO H 0 : 2. 1320 H 1 : 2. 1320 0. 05 n 90 X 2. 1316 S 0. 001 T 2.1316 0.0012. 90
Z 0.975 1. 96
Z 0.975 1. 96
RR: ;^ 1. 96^ ^ 1. 96;^
Como T^ ^ 3. 7947 então rejeita H 0 ao nível de significância de 5%. Logo pode concluir-se que a produção não está sob controlo.
Introdução à Estatística e Probabilidades
1. Um certo programa de computador opera usando uma das duas subrotinas I e II, consoante o problema. A experiência indica que a subrotina I é usada 40% das vezes e a subrotina II 60% das vezes. Quando se usa a subrotina I, a probabilidade de passar o programa antes do tempo limite é de 75% , se se usa a subrotina II a probabilidade do tempo limite ser excedido é de 40%. a) Qual a probabilidade de ao passar um programa escolhido ao acaso, este exceder o tempo limite? RESOLUÇÂO
SI Usar a subrotina I SII Usar a subrotina II ETL Exceder o tempo limite P SI 0. 40 P SII 0. 60 P ETL P ETL SI P SI P ETL SII P SII 0. 25 0. 40 0. 40 0. 60 0. 34
b) Se ao passar um programa qualquer não exceder o tempo limite, qual a subrotina com maior probabilidade de ter sido usada? RESOLUÇÂO
P SI ETL P SI ETL P ETL ^
P ETL SI P SI P ETL 0.750.660.40 0. 45455
P SII ETL P SII ETL P ETL ^
P ETL SII P SII P ETL 0.600.660.60 0. 54545
Logo a subrotina com maior probabilidade de ter sido usada e a subrotina II. Cálculo Auxiliar
x 1
F x
x 0 t 0
1 x 1
F x F 1
1
x t 1 4 t^ ^0 ^
1 4
t^2 2 ^ t^ 1
x
14^ x 22 x 12 1 14^ x 22 x 12 x 82 4 x (^18) 1 x 3
F x ^ F 1 ^
1
x 1 4 t^ ^
1 2 ^
1 4 t ^1
x (^)
12 14 x 1 12 4 x 14 x 4 (^14) x 3
F x F 3
3
x 0 t 1 0 1
F x
0 , x 1 x^2 8 ^
x 4 ^
1 8 ,^ ^1 ^ x^ ^1 x 4 ^
1 4 , 1^ ^ x^ ^3 1 , x 3
c) Calcule P X^ ^4 . RESOLUÇÂO P X 4 1 P X 4 1 F 4 1 1 0 ou
P X 4
4
f x x
4
0 x 0
3. Numa determinada empresa foi elaborado um estudo que concluiu que 25% dos seus empregados trabalham mais do que^10 horas diárias, não excedendo esse tempo os restantes 75%. Ao escolherem-se^15 pessoas ao acaso e com reposição, determine: a) A probabilidade de pelo menos dois trabalharem mais do que^10 horas diárias; RESOLUÇÂO X - número de empregados trabalham mais do que 10 horas diárias, em 15
seleccionados. n 15 p 0. 25 X b 15, 0. 25
P X k 15 k 0. 25 k 1 0. 25^15 k , k 0, 1, 2, , 14, 15
P X 2 1 P X 2
1 P X 0 P X 1
1 150 0. 25^0 1 0. 25^15 ^0 151 0. 25 1 0. 25^15 ^1
b) A probabilidade de exactamente^8 não excederem as^10 horas diárias de trabalho; RESOLUÇÂO Y - número de empregados não excedem as 10 horas diárias, em 15 seleccionados. n 15 p 0. 75 X b 15, 0. 75
P Y k 15 k 0. 75 k 1 0. 75^15 k , k 0, 1, 2, , 14, 15
P X 8 158 0. 75^8 1 0. 75^15 ^8 0. 03932
c) Qual o número esperado de trabalhadores que não excedem as^10 horas diárias. RESOLUÇÂO E X ^ np 15 0. 75 11. 25
4. O número de clientes que chegam, num período de^10 minutos, a uma farmácia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, de parâmetro . No período indicado, a probabilidade de não chegarem clientes é 5%. a) Qual o valor do parâmetro ?
Z X 0.32.5 N 0, 1
P 2. 3 X 3 P 2.30.32.5 X 0.32.5 3 0.32.5 P 0. 67 Z 1. 67
b) Qual o rendimento k , tal que P X^ ^ k ^ ^ 0. 6? RESOLUÇÂO P X k 0. 6 P X 0.32.5 k 0.32.5 0. 6 P Z k 0.32.5 0. 6 k 0.32.5 0. 6 k 0.32.5 0. 25 k 2. 5 0. 075 k 2. 575
6. Considere a variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por:
f x ^ 2 x^2 e x^ , x
Determine o estimador de máxima verosimilhança para o parâmetro , baseado numa amostra de dimensão n. RESOLUÇÂO
f x 2 x^2 e x^ , x
L x 1 , , xn ; ^ f x 1 ; f xn ; ^ 2 x 12 e x^1 2 xn^2 e xn^ 2 2 x 12 xn^2 e x^1 e xn^ ^ (^)
2 n^
i 1
n x (^) i^2 e
i 1
n xi
n 2
Assim,
ln L x 1 , , x n ; ln 2 n^
i 1
n x (^) i^2 e
i 1
n xi
n 2
ln 2 n^ ln
i 1
n x (^) i^2 ln e
i 1
n xi ln^ ^
n 2
n ln2 ln
i 1
n
x i^2
i 1
n x (^) i n 2 ln
Portanto,
ln L ^0 ^
2 n
2 ^0 ^
i 1
n
x i 2 n 0 32 n
i 1
n
x i 0 32 n
i 1
n x (^) i
3 n
i 1
n xi
7. Uma fábrica de cereais selecciona^25 pacotes de cereais de^10 em^10 minutos e determina o seu peso. Suponha que os pesos têm distribuição normal com desvio-padrão igual a^2 gramas. Numa dessas amostras o peso médio foi^123 gramas. a) Determine um intervalo a 95% de confiança para o peso médio do pacote de cereais. Comente o resultado obtido. RESOLUÇÂO n 25 X 123 S 2 1 0. 95 0. 05 1 2 1 0.05 2 0. 975 t 24;0.975 2. 064 IC 0.95 123 ^ 2. 064^ ^252 ;^123 ^ 2. 064^ ^225
(^) 122. 17; 123. 83
b) Qual deve ser o tamanho n da amostra se quisermos obter um intervalo de confiança a 99% , para o peso médio do pacote de cereais, de amplitude L^ ^ 0. 5? RESOLUÇÂO n ? X 123 S 2 1 0. 99 0. 01
