Probabilidade, Estatísticas e Processos Estocásticos , Notas de estudo de Engenharia Informática

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Probabilida de, Estatíst i a e Pro essos Esto ásti o s

Carlos Alb erto Ynoguti

24 de julho de 2007

Agrade imentos

Ao Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães p ela riteriosa revisão do texto.

• 1 Probabilidade Lista de Figuras vii
  • 1.1 Intro dução.
  • 1.2 Teoria de Conjuntos.
    • 1.2.1 Lei de De Morgan.
    • 1.2.2 Prin ípio da Dualidade.
  • 1.3 Deniçõ es de Probabilid a d e
    • 1.3.1 Frequên ia Relativa.
    • 1.3.2 Axiomáti a.
    • 1.3.3 Clássi a.
  • 1.4 Cál ulo de probabilidad e s usando méto dos de ontagem.
    • 1.4.1 Amostragem om rep osição e ordenação.
    • 1.4.2 Amostragem sem rep osição e om ordenação.
    • 1.4.3 Permutaçã o de n ob jetos distintos.
    • 1.4.4 Amostragem sem rep osição e sem ordenação.
    • 1.4.5 Amostragem om rep osição e sem ordenação.
  • 1.5 Probabilid a d e Conjunta.
    • 1.5.1 Probabilid a d e s Marginais.
  • 1.6 Probabilid a d e Condi ional
    • 1.6.1 Regra de Bayes.
  • 1.7 Eventos indep endent e s.
  • 1.8 Exp erimentos sequen iais e diagramas em árvore
  • 1.9 Exer í ios
• 2 Variáveis Aleatórias
  • 2.1 Denição.
  • 2.2 Função distribuição umulativa.
  • 2.3 Tip os de Variáveis Aleatórias
    • 2.3.1 Dis retas
    • 2.3.2 Contínuas
    • 2.3.3 Mistas
  • 2.4 Função Densidade de Probabilid a d e
    • 2.4.1 Denição
    • 2.4.2 Propriedad e s
    • 2.4.3 Caso Dis reto
  • 2.5 Algumas variáveis aleatórias dis retas imp ortantes
    • 2.5.1 Bernoulli
    • 2.5.2 Binomial SUMÁRIO iii
    • 2.5.3 Poisson
    • 2.5.4 Geométri a
  • 2.6 Algumas variáveis aleatórias ontínuas imp ortantes
    • 2.6.1 Uniforme
    • 2.6.2 Exp onen ial
    • 2.6.3 Rayleigh
    • 2.6.4 Gaussiana
    • 2.6.5 Gama
    • 2.6.6 m-Erlang
    • 2.6.7 Chi-Quadrad o (χ^2 )
    • 2.6.8 Cau hy
    • 2.6.9 Lapla e
  • 2.7 Densidades Condi ionais
  • 2.8 Variáveis Aleatórias Múltiplas
    • 2.8.1 Função Distribuição de Probabilida d e Conjunta
    • 2.8.2 Densidades marginais
    • 2.8.3 Caso multidimension a l
    • 2.8.4 Função distribuição de probabilidad e ondi ional
    • 2.8.5 Indep endên ia Estatísti a de Variáveis Aleatórias
  • 2.9 Funçõ es de Variáveis Aleatórias
    • 2.9.1 Caso Unidimensional
    • 2.9.2 Caso Multidimensional
  • 2.10 Exer í ios
• 3 Médias Estatísti a s de Variáveis Aleatórias
  • 3.1 Médias
    • 3.1.1 Média de uma Variável Aleatória
    • 3.1.2 Média de uma Função de uma Variável Aleatória
    • 3.1.3 Médias para Variáveis Múltiplas
    • 3.1.4 Média da Soma de Funçõ es
    • 3.1.5 Média do Pro duto de Duas Variáveis Aleatórias Indep endentes
    • 3.1.6 Média Quadráti a da Soma de Duas Variáveis Aleatórias
    • 3.1.7 Média ondi ional
  • 3.2 Momentos
    • 3.2.1 N -ésimo momento
    • 3.2.2 Momentos Centrais
    • 3.2.3 Variân ia
    • 3.2.4 Caso Multidimensional
    • 3.2.5 Variáveis Aleatórias Des orrela ionad a s e Ortogonais
  • 3.3 Funçõ es Cara terísti as
    • 3.3.1 Caso multidimension a l
  • 3.4 Exer í ios
• 4 Méto dos omputa ionais para geração de números aleatórios
  • 4.1 Intro dução
  • 4.2 Méto do do resíduo da p otên ia
  • 4.3 Méto do da transformada
  • 4.4 O méto do da rejeição iv SUMÁRIO
  • 4.5 Geração de funçõ es de uma variável aleatória
  • 4.6 Geração de misturas de variáveis aleatórias
  • 4.7 Exer í ios
• 5 Somas de Variáveis Aleatórias e o Teorema do Limite Central
  • 5.1 Intro dução
  • 5.2 Médias de somas
  • 5.3 Fdp da soma de duas v.a.'s
  • 5.4 Função geratriz de momentos
  • 5.5 FGM da soma de v.a.'s indep endent e s
  • 5.6 Somas de v.a.'s gaussianas indep endent e s
  • 5.7 Somas aleatórias de v.a.'s indep endent e s
  • 5.8 Teorema do limite entral
  • 5.9 Apli açõ es do Teorema do Limite Central
  • 5.10 Exer í ios
• 6 Limitantes Sup eriores para a Probabilidade de Cauda
  • 6.1 Desigualdade de Markov
  • 6.2 Desigualdade de Chebyshev
  • 6.3 Limitante de Cherno
  • 6.4 Exer í ios
• 7 A média amostral
  • 7.1 Intro dução
  • 7.2 Valor esp erado e variân ia
  • 7.3 Média amostral de números grandes
  • 7.4 Leis de Números Grandes
    • 7.4.1 Lei Fra a de Números Grandes
    • 7.4.2 Lei Forte de Números Grandes
  • 7.5 Exer í ios
• 8 Pro essos Esto ásti os
  • 8.1 Denição
  • 8.2 Tip os de pro esos esto ásti os
  • 8.3 Variáveis aleatórias a partir de pro essos esto ásti os
  • 8.4 Sequên ias aleatórias indep endent e s e identi ament e distribuídas
  • 8.5 Pro esso de Contagem
  • 8.6 Pro esso de Poisson
  • 8.7 Pro esso sinal telegrá o aleatório
  • 8.8 Pro esso movimento Browniano
  • 8.9 Médias estatísti as de pro essos aleatórios
    • 8.9.1 Momentos
    • 8.9.2 Função de auto ovariân ia
  • 8.10 Classi ação dos pro essos esto ásti os
    • 8.10.1 Pro essos esto ásti os esta ionários e não esta ionários
    • 8.10.2 Pro essos esta ionários no sentido amplo
    • 8.10.3 Pro essos ergó di os
  • 8.11 Exer í ios
• 9 Pro essamento de Sinais Aleatórios SUMÁRIO v
  • 9.1 Sistemas lineares e invariantes no temp o
  • 9.2 Filtragem linear de um pro esso esto ásti o
  • 9.3 Esp e tro densidade de p otên ia
  • 9.4 Correlaçõ es ruzadas
    • 9.4.1 Função de orrelação ruzada
    • 9.4.2 Densidade esp e tral ruzada
    • 9.4.3 Filtragem de pro essos esto ásti os
  • 9.5 Pro essos gaussianos
  • 9.6 Pro esso ruído bran o gaussiano
  • 9.7 Exer í ios
• 10 Cadeias de Markov
  • 10.1 Pro essos de Markov
  • 10.2 Cadeias de Markov de Temp o dis reto
    • 10.2.1 Probabilid a d e de transição para n passos
    • 10.2.2 Probabilid a d e s dos estados
    • 10.2.3 Probabilid a d e s em regime
  • 10.3 Cadeias de Markov em temp o ontínuo
    • 10.3.1 Temp os de o upação de estados
      • temp o 10.3.2 Taxas de transição e probabilidad e s de estados dep endentes de
  • 10.4 Probabilid a d e s de Estados em Regime e Equaçõ es de Balanço Globais
  • 10.5 Classes de estados, propriedade s de re orrên ia e probabilidad e s limite
    • 10.5.1 Classes de estados
    • 10.5.2 Propriedad e s de re orrên ia
    • 10.5.3 Probabilid a d e s limite
    • 10.5.4 Probabilid a d e s limite para as adeias de Markov de temp o ontínuo
  • 10.6 Exer í ios
• A Tab elas Matemát i a s
  • A.1 Identidades trigonométr i a s
  • A.2 Co e ientes Binomiais
  • A.3 Derivadas
  • A.4 Integrais indenidas
  • A.5 Integrais denidas
• B Tab elas de transformadas de Fourier
  • B.1 Denição
  • B.2 Propriedad e s
  • B.3 Pares de transformadas
• C Séries de Taylor
  • C.1 Série de Taylor para funçõ es de uma variável
  • C.2 Expansõ es mais utilizadas
• D Variáveis aleatórias dis retas vi SUMÁRIO
  • D.1 Bernoulli
  • D.2 Binomial
  • D.3 Geométri a
  • D.4 Binomial negativa
  • D.5 Poisson
• E Variáveis aleatórias ontínuas
  • E.1 Uniforme
  • E.2 Exp onen ial
  • E.3 Gaussiana (Normal)
  • E.4 Gama
  • E.5 m-Erlang
  • E.6 Chi-Quadrad o ( χ^2 )
  • E.7 Rayleigh
  • E.8 Cau hy
  • E.9 Lapla e
• F Valores da distribuição normal
• Bibliograa
• 1.1 Espaço amostral para o arremesso de um dado. Lista de Figuras
  • d) eventos disjuntos. 1.2 Representação do a) omplemento , b) união, ) interseção de eventos, e
• 1.3 Demonstração da lei de De Morgan.
• 1.4 Espaço amostral para a derivação da regra de Bayes.
  • amostral S de um exp erimento aleatório. 2.1 Uma v.a. asso ia um número x = X(ζ) a ada resultado ζ no espaço
• 2.2 Eventos equivalentes.
• 2.3 P [a < X ≤ b] = FX (b) − FX (a)
• 2.4 Exemplo de uma fd de uma v.a. dis reta.
• 2.5 Grá o da fd de v.a. ontínua X.
• 2.6 Grá o de F X′ (x).
• 2.7 Um exemplo de v.a. mista.
  • valos de largura innitesimal. 2.8 A função densidade de probabilidad e esp e i a a probabilidad e de inter-
• 2.9 A probabilidad e de um intervalo [a, b] é a área sob a fdp naquele intervalo.
• 2.10 Fd 's ondi ional e in ondi iona l de X.
• 2.11 a) Dep endên ia entre X e Y, b) fX (x), e ) fY (y).
  • de X e Y 2.12 Uma transformação da v.a. X e um exemplo das fdp's orresp ondente s
• 2.13 Função de uma v.a. om duas raízes.
• 2.14 Uma transformação quadráti a da v.a. X.
• 2.15 Função densidade de probabilidad e de Rayleigh.
• 3.1 Função densidade de probabilidad e gaussiana om média m e variân ia σ
• 3.2 Y = g(X).
• 4.1 Méto do da transformada para gerar uma variável aleatória om fd FX (x).
• 4.2 Gerando uma variável aleatória om distribuição de Bernoulli.
• 4.3 Gerando uma variável aleatória om distribuição Binomial.
• 4.4 Méto do da rejeição para gerar uma variável aleatória om fdp fX (x).
  • gama ( 0 < α < 1 ). 4.5 Méto do da rejeição para gerar uma variável aleatória om distribuição
• 5.1 Região de integração para a obtenção de FW (w).
• 5.2 Região de integração para a obtenção de FW (w).

Capítulo 1

Probabilidade

1.1 Intro dução.

Em muitos problemas físi os de interesse, existe um elemento de in erteza, ou aleato- riedade. Indep endente de quanto p ossamos onhe er da história passada de um dado fenmeno, somos essen ialmente in apa itado s de predizer seu omp ortame nt o futuro de forma pre isa. Ex. ara ou oroa.

Foi observado que nestes asos ertas médias tendem a um valor onstante à medida em que o número de observaçõ es res e. (No exemplo da ara e oroa, quais seriam estas médias?) Desde que as médias geralmente exib em tal regularidade , e são p ortanto razoavelmente previsíveis, pare e ser desejável desenvolver um estudo sobre o ál ulo destas médias. Este é o domínio da teoria matemáti a da probabilidad e e estatísti a. O prop ósito desta é des rever e predizer tais médias em termos de probabilidad e s de eventos.

Algumas deniçõ es imp ortantes:

Denição 1.1. Experimento aleatório: um experimento é hamado aleatório se seu resultado não pode ser predito pre isamente porque as ondições em que é realizado não podem ser predeterminadas om pre isão su iente. Exemplo: arremesso de dados ou moedas.

Denição 1.2. Resultados: são os resultados parti ulares da exe u ç ã o de um ex- perimento. Exemplo: ara, oroa.

2 Probabilidade

Denição 1.3. Eventos: são onjuntos de resultados que atendem a algumas espe- i ações. Exemplo: no aso de jogar dados, o evento número ímpar em um arremesso pode resultar de qualque r um de 3 resultados 1,3,5. Desta forma este é um evento de 3 resultados. Portanto, eventos são agrupamentos de resultados em lasses.

1.2 Teoria de Conjuntos.

Denição 1.4. Espaço amostral: o espaço amostral S é denido omo uma oleção de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada resultado é um elemento ou amostra deste espaço e pode ser onvenientemente representado por um ponto no espaço amostral.

Exemplo 1.1. No aso do dado, o espaço amostral onsiste de 6 elementos ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , ζ 4 , ζ 5 , ζ 6 , onde os ζi representam o resultado i pontos. O evento, por outro lado, é um sub onjunto de S. O evento número ímpar em um arremesso, denotado por Ao , é um sub onjunto de S (ou um onjunto om os elementos ζ 1 , ζ 3 e ζ 5 ). Similarmente, o evento número par em um arremesso, denotado por Ae é outro sub onjunto de S (ou um onjunto om os elementos ζ 2 , ζ 4 e ζ 6 ). O evento número menor ou igual a 4 em uma jogada, denotado por B é formado pelos elementos ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 e ζ 4. Na Figura 1.1 abaixo, tem-se uma representação grá a destes eventos em um dia- grama de Venn.

S

B

Ao

Ae

ζ 1 ζ 3 ζ 5

ζ 2 ζ 4 ζ 6

Figura 1.1: Espaço amostral para o arremesso de um dado.

4 Probabilidade PSfrag repla ement s

a) b)^ ) d)

A A A

A B B B

S (^) Ac S S S

Figura 1.2: Representação do a) omplement o , b) união, ) interseção de eventos, e d) eventos disjuntos.

1.2.1 Lei de De Morgan.

Teorema 1.1. Se A e B são eventos em um espaço amostral então:

A + B = A B (1.1) Equivalenteme nte , podemos es reve r :

AB = A + B (1.2)

Demonstração. A lei de De Morgan p o de ser fa ilmente demonstrada p or meio de dia- gramas de Venn:

PSfrag repla ement s A B A B

A + B (^) A B A B

Figura 1.3: Demonstração da lei de De Morgan.

Observação A apli ação rep etida da equação (1.1) leva ao seguinte: se em uma identidade de on- juntos substituimos to dos os onjuntos p elos seus omplement o s, to das as uniõ es p or interse çõ es, e to das as interse çõ es p or uniõ es, a identidade é preservada.

Exemplo 1.2. Seja a identidade

Probabilidade 5

A(B + C) = AB + AC (1.3)

Usando (1.1) segue que

A(B + C) = A + B + C = A + B C

Similarmente

AB + AC = AB AC = (A + B)(A + C)

e desde que os dois lados de (1.3) são iguais, seus omplementos também o são. Portanto

A + B + C = (A + B)(A + C) (1.4)

Estas identidades podem ser fa ilmente onferidas por meio de diagramas de Venn.

1.2.2 Prin ípio da Dualidade.

Sab emos que S = φ e φ = S. Além disso, se em uma identidade omo (1.3) to das as barras forem removidas, a identidade é preservada. Isto leva à seguinte versão da lei de De Morgan:

Prop osição 1.1. Se em uma identidade de onjuntos substituímos todas as uniões por interse ções, todas as interse ções por uniões, e os onjuntos S e φ pelos onjuntos φ e S respe tivamente , a identidade é preservada.

Apli ando o teorema a ima às identidades

A(B + C) = AB + AC S = A + S

obtemos as identidades

A + BC = (A + B)(A + C) φ = φA

1.3 Deniçõ es de Probabilidade.

1.3.1 Frequên ia Relativa.

Emb ora o resultado de um exp erimento aleatório seja imprevisível, existe uma regula- ridade estatísti a sobre este, e a denição p or freqüên ia relativa baseia-se nesta regu- laridade.

Probabilidade 7

Solução. Neste aso, os resultados p ossíveis são:

1. a, a, a 5) o, a, a
2. a, a, o 6) o, a, o
3. a, o, a 7) o, o, a
4. a, o, o 8) o, o, o São p ossíveis 8 resultados mutuamente ex lusivos ⇒ P (Ai) = 1/ 8 ∴ P (1ca, 2 co) = P (A 4 ) + P (A 6 ) + P (A 7 ) = 3/ 8.

1.3.3 Clássi a.

Denição 1.12. A probabilidade P (A) de um evento A é determinada a priori sem experimentação real, e é dada pela expressão

P (A) = nA n

onde: n: número de resultados possíveis, nA: número de resultados favoráveis ao evento A.

Versão melhorada da denição lássi a

Denição 1.13. A probabilidade de um evento é igual à razão entre seus resulta- dos favoráveis e o número total de resultados, desde que todos os resultados sejam equiprováv e is.

Exemplo 1.4. Arremesso de um dado P (ímpar) = 3/6 = 1/ 2.

1.4 Cál ulo de probabilidades usando méto dos de onta-

gem.

Em muitos exp erimentos om espaços amostrais nitos, os resultados p o dem ser assu- midos omo sendo equiprováveis. A probabilidad e de um evento é então a razão entre o número de resultados no evento de interesse e o número total de resultados no espaço amostral. O ál ulo das probabilidad e s se reduz a ontar o número de resultados de um evento.

8 Probabilidade

Sup onha que um teste de múltipla es olha tem k questõ es e para a questão i o estudante pre isa sele ionar uma entre ni resp ostas p ossíveis. Qual é o número total de mo dos de resp onder a to do o teste? A resp osta à questão i p o de ser vista omo a esp e i ação da i-ésima omp onente de uma k-upla, de mo do que a questão a ima é equivalente a: quantas k-uplas ordenadas distintas (x 1 ,... , xk) são p ossíveis se xi é um elemento de um onjunto om ni elementos distintos? O número de k-uplas ordenadas distintas (x 1 ,... , xk) om omp onentes xi, de um onjunto om ni elementos distintos é dado p or

número de k-uplas ordenadas distintas = n 1 n 2... nk (1.12)

Muitos problemas de ontagem p o dem ser olo ados omo problemas de amostra- gem onde sele ionamos b olas em urnas ou ob jetos em p opulaçõ es. Iremos agora usar a Equação 1.12 para desenvolver fórmulas ombinatori a i s para vários tip os de amostra- gem.

1.4.1 Amostragem om rep osição e ordenação.

Sup onha que es olhemos k ob jetos de um onjunto A que tem n ob jetos distintos, om rep osição. Iremos nos referir ao onjunto A omo a população. O exp erimento pro duz uma k-upla ordenada (x 1 ,... , xk), onde xi ∈ A, i = 1, 2 ,... , k. A Equação 1.12, om n 1 = n 2 =... = nk = n impli a que

número de k -uplas ordenadas distintas = nk^ (1.13)

Exemplo 1.5. Uma urna ontém in o bolas numeradas. Suponha que sele ionamos duas bolas da urna om reposição. Quantos pares ordenados distintos são possíveis? Qual é a probabilidade de retirar duas vezes a mesma bola?

Solução. A Equação 1.13 diz que o número de pares ordenados é 52 = 25. Na Tab ela abaixo temos os pares p ossíveis. Cin o dos resultados p ossíveis são de b olas om o mesmo número. Se sup omos que to dos os resultados p ossíveis são equiprováveis, então a probabilidad e de retirar a mesma b ola duas vezes é 5 /25 = 0, 2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

1.4.2 Amostragem sem rep osição e om ordenação.

O problema agora onsiste em es olher k ob jetos em su essão, sem rep osição, de uma p opulação A de n ob jetos distintos. Claramente, k ≤ n. O número de resultados p ossíveis na primeira retirada é n 1 = n, e o número de resultados p ossíveis na segunda

10 Probabilidade

1.4.4 Amostragem sem rep osição e sem ordenação.

Sup onha que p egamos k ob jetos de um onjunto de n ob jetos distintos sem rep osição e armazenamo s o resultado sem nos imp ortarmos om a ordem. Chamamos o sub onjunto resultante de k ob jetos sele ionados de uma  ombinação de tamanho k". Da Equação 1.15, existem k! sequên ias nas quais os ob jetos sele ionados p o dem ter sido sele ionados. Então se Ckn denota o número de ombinaçõ es de tamanho k de um onjunto de tamanho n, então Ckn k! é o número total de amostras ordenadas distintas de k ob jetos, a qual é dada p ela Equação 1.14. Então

Ckn k! = n(n − 1)... (n − k + 1) (1.17)

e o número de ombinaçõ es diferentes de tamanho k de um onjunto de tamanho n, k ≤ n, é

Ckn = n(n − 1)... (n − k + 1) k! = n! k!(n − k)! ≡

( n k

) (1.18)

A expressão

(n k

) é hamada de oe iente binomial. Note que es olher k ob jetos de um onjunto de n é equivalente a es olher os (n − k) ob jetos que não foram sele ionados. Segue então que ( n k

)

( n n − k

) (1.19)

Exemplo 1.8. En ontre o número de modos de sele ionar dois objetos de A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } sem se importar om a ordem.

Solução. A Equação 1.18 forne e ( 5 2

)

5! 2!3!

Abaixo temos a listagem destes 10 pares.

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

Exemplo 1.9. En ontre o número de permutações distintas de k bolas bran as e (n−k) bolas pretas.

Solução. Este problema é equivalente ao seguinte problema de amostragem: olo que n etiquetas numeradas de 1 a n em uma urna, onde ada etiqueta representa uma p osição no arranjo das b olas; p egue uma ombinação de k etiquetas e olo que as k b olas bran as nas p osiçõ es orresp ondente s. Cada ombinação de tamanho k leva a um arranjo diferente (p ermutação ) de k b olas bran as e (n − k) b olas pretas. Então o número de p ermutaçõ es distintas de k b olas bran as e (n − k) b olas pretas é Cnk.

Probabilidade 11

Este exemplo mostra que a amostragem sem rep osição e sem ordenação é equivalente a parti ionar o onjunto de n ob jetos distintos em dois onjuntos: B, ontendo os k itens que foram retirados da urna, e Bc, ontendo os (n − k) deixados na urna. Sup onha que parti ionemo s um onjunto de n ob jetos distintos em F sub onjuntos B 1 , B 2 ,... , BF , onde ao sub onjunto Bj são asso iados kj elementos e k 1 +k 2 +.. .+kF = n. Neste aso, o número de ombinaçõ es distintas é dado p or

n! k 1 !k 2!... kF!

A Equação 1.21 é hamada de o e iente multinomial. O o e iente binomial é o aso F = 2 dos o e ientes multinomiai s.

1.4.5 Amostragem om rep osição e sem ordenação.

Sup onha que tomemos k ob jetos de um onjunto de n ob jetos distintos om rep osição e armazenamo s os resultados sem nos imp ortarmos om a ordem. Isto p o de ser feito preen hendo - se um formulário om n olunas, uma para ada ob jeto distinto. Cada vez que um ob jeto é sele ionado, um x é olo ado na oluna orresp ondente. Por exemplo, se sele ionamos 5 ob jetos de 4 ob jetos distintos, um formulário destes p o deria ter a seguinte forma:

Ob jeto 1 Ob jeto 2 Ob jeto 3 Ob jeto 4 xx x xx

Note que este formulário p o de ser resumido p ela sequên ia xx / / x / xx, onde o símb olo / é usado para separar as entradas para as diferentes olunas. Desta forma os (n -1) /'s indi am as linhas entre as olunas, e onde nada apare e entre /'s onse utivos se o ob jeto orresp ondente não foi sele ionado. Cada arranjo diferente de 5 x's e 3 /'s leva a um formulário distinto. Se identi arm o s os x's om b olas bran as e os /'s om b olas pretas, então este problema( foi onsiderado no Exemplo 1.9, e o número de arranjos diferentes é dado p or 8 3

) . No aso geral o formulário irá envolver k x's e (n − 1) /'s. Então o número de mo dos diferentes de es olher k ob jetos de um onjunto de n ob jetos distintos om rep osição e sem ordenação é dado p or

( n − 1 + k k

)

( n − 1 + k n − 1

) (1.22)

1.5 Probabilidade Conjunta.

Ao invés de lidar om um exp erimento, onsideremos agora dois exp erimentos e seus resp e tivos resultados. Por exemplo, os dois exp erimentos p o dem ser dois arremessos onse utivos de um úni o dado ou um úni o arremesso de dois dados. Em amb os os asos, o espaço amostral onsiste de 36 duplas (i, j), onde i, j = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6. Se os dados são ideais, a ada p onto do espaço amostral é asso iada uma probabilidad e 1/36. Po demos agora onsiderar eventos onjuntos tais omo {i é par, j = 3}, e determinar