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MATEMÁTICA
Módulo ou valor absoluto
Calculando o módulo
Michele Viana Debus de FrançaEspecial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação*
Considere a reta real:
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos |4| = 4 Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim: |-2| = 2 Outros exemplos: |3| = 3 |-7| = 7 |0| = 0 |-1| = 1 Vamos generalizar: Qual é o módulo de um número qualquer x? |x| =? A resposta é: depende! Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado). Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo , pois devemos trocar o sinal do número negativo. Ou:
**Propriedades do Módulo
- |a| = |-a|, para todo a real** Não é difícil constatar isso. Observe:
2) |x^2 |=|x|^2 = x^2 , para todo x real Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo. a) para x = 5
52 = 25
|5|^2 = 5^2 = 25 |5^2 |=|25|= 25 b) para x = 0 02 = 0
|0|^2 = 0^2 = 0 |0^2 |=|0|= 0 c) para x = - (-3) 2 = 9
|-3|^2 = 3^2 = 9
|(-3) 2 |=|9|= 9 Associada a essa propriedade está o fato de que
CUIDADO! É errado pensar que Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
Veja: Para x = 7
Para x = -
3) |a. b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais Veja: a) a e b positivos a = 3 e b = 5 |3. 5|= |15|= 15 |3|.|5|= 3. 5 = 15 b) a e b de sinais opostos
g) a e de sinais opostos a = 4 e b = - ||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1 |4 - (-3)|= |7|= 7 ||4|-|-3||<|4 - (-3)| Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a| , para quaisquer a e b reais.
Exercícios resolvidos
- Calcular: a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7 b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 16 c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9 d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4 e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,
f)
g) |3 - x|, para x = - |3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6
h)
Note que. Assim:
- Escrever uma expressão equivalente sem o módulo: a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer
b) |x - 6|, com x > 6 Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6. c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3 Como x > 3, as duas expressões são positivas. Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
- Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
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Resposta: x = 1 b) |x|= 1 Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1 c) |x|= - Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo. d) X^2 = 36 Resposta: x = 6 ou x = - e) |x|= |-2| Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2
*Michele educação matemática pela PUC-SP. Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em
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