Baixe Medida de Lebesgue e Medida de Hausdorff em Espaços Metricos e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 25
A Medida de Lebesgue e a Medida de Hausdorff
Conte´udo
25.1 A Constru¸c˜ao da Medida de Lebesgue em Rn^.......................... 1125 25.1.1 A σ-´algebra de Borel em Rn^ e a Medida de Borel-Lebesgue.................... 1127 25.2 As Medidas de Hausdorff...................................... 1129 25.3 Conjuntos de Cantor......................................... 1133 25.4 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue............................ 1142 25.5 Exerc´ıcios Adicionais......................................... 1144
O
presente cap´ıtulo ´e dedicado a constru¸c˜ao da medida de Lebesgue e da medida de Hausdorff segundo os passos delineados no Teorema de Carath´eodory, Teorema 24.1, p´agina 1111 e no Teorema 24.4, p´agina 1121. A medida de Lebesgue^1 em R ´e o nome dadoa medida de comprimento usual de certos subconjuntos adequados da reta real. O termo “adequado” ´e crucial aqui pois, como discutimos no in´ıcio do Cap´ıtulo 24, n˜ao ´e para qualquer subconjunto de R que o conceito de comprimento est´a definido. E, portanto, essencial determinar´ σ-´algebras para cujos elementos a no¸c˜ao de comprimento n˜ao envolva paradoxos como os que encontramos quando tratamos do comprimento do conjunto de Vitali (p´agina 1104). Fora isso, desejamos que essa medida de comprimento satisfa¸ca certas condi¸c˜oes adicionais, a mais importante sendo a invariˆancia por transla¸c˜oes. Desejamos tamb´em que os intervalos (a, b), [a, b], (a, b] e [a, b) sejam todos mensur´aveis e com medida b − a.
Com intuito de atingir maior generalidade apresentaremos a constru¸c˜ao da medida de Lebesgue nos espa¸cos Rn. Para construir a medida de Lebesgue em Rn^ seguiremos a estrat´egia sugerida pelo Teorema de Carath´eodory (Teorema 24.1, p´agina 1111): vamos primeiro construir uma medida exterior sobre os subconjuntos de Rn^ que seja conveniente aos nossos prop´ositos. O Teorema de Carath´eodory, ent˜ao, afirma que existe uma σ-´algebra Mμ sobre a qual a medida exterior ´e uma medida. Essa σ-´algebra ´e denominada σ-´algebra de Lebesgue e a medida correspondente ´e denominada medida de Lebesgue.
Em seguida, na Se¸c˜ao 25.2, p´agina 1129, apresentaremos a constru¸c˜ao das chamadas medidas de Hausdorff^2 , as quais tˆem relevˆancia no estudo de conjuntos ditos fractais, os quais aparecem em diversas ´areas da F´ısica e da Matem´atica, notadamente na teoria dos Sistemas Dinˆamicos, por exemplo, na forma de atratores de solu¸c˜oes de certas equa¸c˜oes diferenciais.
A Se¸c˜ao 25.3, p´agina 1133, ´e dedicada ao estudo dos chamados conjuntos de Cantor, que exibem ilustrativamente diversas propriedades de interesse.
25.1 A Constru¸c˜ao da Medida de Lebesgue em R
n
Construiremos a medida de Lebesgue em Rn^ seguindo o esquema descrito na Proposi¸c˜ao 24.2 e no Teorema 24.4 da Se¸c˜ao 24.4, p´agina 1120. Para tal devemos definir os seguintes ingredientes: 1. uma cole¸c˜ao de conjuntos R de Rn; 2. uma fun¸c˜ao positiva h definida em R e 3. para cada A ⊂ Rn^ uma cole¸c˜ao CR(A) de recobrimentos cont´aveis de A por elementos de R, ingredientes estes que devem satisfazer as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 24.2 e do Teorema 24.4.
Para R escolhemos a cole¸c˜ao de todos os n-cubos semi-abertos limitados da forma R = [a 1 , b 1 ) × · · · × [an, bn) ⊂ Rn com −∞ < ak < bk < ∞ para todo k = 1,... , n. O conjunto vazio ´e tamb´em honorificamente (e convenientemente) inclu´ıdo em R. A escolha de cubos semi-abertos, e n˜ao abertos ou fechados, deve-se essencialmente a dois fatos: 1. com eles torna-se mais f´acil demonstrar a invariˆancia por rota¸c˜oes da medida de Lebesgue; 2. com eles torna-se mais simples provar que a medida de Lebesgue ´e uma medida m´etrica.
(^1) Henri L´eon Lebesgue (1875–1941). (^2) Felix Hausdorff (1868–1942).
Por exemplo, para n = 1 cada 1-cubo R ∈ R ´e um intervalo semi-aberto limitado [a, b) com −∞ < a < b < ∞. Para n = 2 um 2-cubo R ∈ R ´e um retˆangulo semi-aberto limitado da forma [a 1 , b 1 ) × [a 2 , b 2 ) ⊂ R^2 , de lados b 1 − a 1 e b 2 − a 2 , respectivamente, com −∞ < ak < bk < ∞, k = 1, 2.
Para cada n-cubo R da forma R = [a 1 , b 1 ) × · · · × [an, bn) ⊂ Rn^ definimos h(R) := (b 1 − a 1 ) · · · (bn − an) (25.1)
que corresponde ao n-volume do n-cubo R. Definimos tamb´em h(∅) := 0.
Como na Se¸c˜ao 24.4, para cada A ⊂ Rn^ denotamos por CR(A) a cole¸c˜ao de todos os recobrimentos de A por cole¸c˜oes cont´aveis de n-cubos semi-abertos e limitados.
Com essas escolhas ´e relativamente f´acil constatar a validade das hip´oteses do Teorema 24.4. Em particular, todo A ⊂ Rn^ possui um recobrimento por cole¸c˜oes cont´aveis de n-cubos semi-abertos e limitados. A Proposi¸c˜ao 24.2 e o Teorema 24.4 garantem que
μL(A) := inf
H(R), R ∈ CR(A)
:= inf
Rn ∈R
h(Rn), R ∈ CR(A)
definida para todo A ⊂ Rn, ´e uma medida exterior em Rn, denominada medida exterior de Lebesgue de Rn.
Devemos gastar algumas palavras sobre a interpreta¸c˜ao de (25.2). A cole¸c˜ao R ´e uma cole¸c˜ao de cubos n-dimensionais e, para um tal n-cubo R, a fun¸c˜ao h(R) fornece o volume de R. Assim, H(R) fornece a soma de uma cole¸c˜ao cont´avel R de n-cubos e μ(A) ´e o menor valor poss´ıvel (o ´ınfimo) de H(R) dentre todas as cole¸c˜oes cont´aveis de n-cubos que recobrem A.
Com isso em m˜aos, temos agora permiss˜ao para evocar o Teorema de Carath´eodory (Teorema 24.1, p´agina 1111), e afirmar que a cole¸c˜ao MμL formada por todos os subconjuntos A de Rn^ que tenham a propriedade
μL(E) = μL(E ∩ A) + μL(E ∩ Ac) , ∀E ⊂ Rn^ ,
´e uma σ-´algebra e que μL ´e uma medida em MμL , que denotaremos por μL. A medida μL assim definida ´e chamada de medida de Lebesgue de Rn^ e MμL ´e chamada de σ-´algebra de Lebesgue de Rn. Os elementos de MμL s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis por Lebesgue de Rn.
Antes de mostrarmos que a cole¸c˜ao MμL ´e de fato n˜ao-trivial (um fato que n˜ao ´e ´obvio at´e aqui), o que faremos na Se¸c˜ao 25.1.1, vamos exibir duas propriedades b´asicas da medida de Lebesgue: invariˆancia por transla¸c˜oes e regularidade.
- Invariˆancia de μL por transla¸c˜oes
A medida e Lebesgue de Rn^ satisfaz um requerimento b´asico associado `a no¸c˜ao usual de volume de conjuntos: invariˆancia por transla¸c˜oes. Mais precisamente, tem-se que para todo A ∈ Rn, A ∈ MμL e todo x ∈ Rn^ o conjunto transladado Ax := {y ∈ Rn, y − x ∈ A} ´e tamb´em elemento de MμL e tem-se μL(Ax) = μL(A). A demonstra¸c˜ao desses fatos ´e simples e ´e deixada como exerc´ıcio ao estudante.
E. 25.1 Exerc´ıcio. Prove que para todo A ∈ MμL e todo x ∈ Rn^ tem-se Ax ∈ MμL e que μL(Ax) = μL(A). Sugest˜ao: Prove primeiro que para todo E ⊂ Rn^ e todo x ∈ Rn^ tem-se μL(Ex) = μL(E). Para isso, use a defini¸c˜ao (25.2) e o fato evidente que para a fun¸c˜ao h definida em (25.1) vale
h
[a 1 + x 1 , bn + x 1 ) × · · · × [an + xn, bn + xn)
= h
[a 1 , bn) × · · · × [an, bn)
Em seguida, use esse fato para mostrar que se A ´e mensur´avel por Lebesgue ent˜ao Ax tamb´em o ´e (para qualquer x ∈ Rn), ou seja, mostre que se μL(E) = μL(E ∩ A) + μL(E ∩ Ac) para todo E ⊂ Rn^ ent˜ao μL(E) = μL(E ∩ Ax) + μL(E ∩ Acx) para todo E ⊂ Rn. Conclua dos fatos acima que μL(Ax) = μL(A) para todo A ∈ MμL e todo x ∈ Rn. 6
A medida μL possui as seguintes propriedades. Para todo B ∈ MμL vale
μL(B) = sup{μL(C), C compacto com C ⊂ B} (regularidade interior) ,
μL(B) = inf{μL(A), A aberto com A ⊃ B} (regularidade exterior).
Logo, ao tomarmos o ´ınfimo sobre CRδ (A ∪ B) em (25.4) podemos nos restringir a conjuntos R da forma RA ∪ RB como descritos acima (com R 0 vazio). Disso segue que
μL(A ∪ B) = inf δ> 0 inf
Rn ∈R
h(Rn), R ∈ CRδ (A)
Rn∈R
h(Rn), R ∈ CRδ (B)
= μL(A) + μL(B) ,
completando a prova que μL ´e uma medida exterior m´etrica.
Segue imediatamente do Teorema 24.3, p´agina 1119, a seguinte afirma¸c˜ao:
Teorema 25.1 A σ-´algebra de Borel de Rn, denotada por M[τRn ] que, por defini¸c˜ao, ´e a menor σ-´algebra que cont´em a topologia usual τRn de Rn^ (a topologia induzida pela m´etrica Euclidiana de Rn) ´e um subconjunto da σ-´algebra de Lebesgue MμL : M[τRn ] ⊂ MμL. (25.5) 2
- A cardinalidade de M[τR] e de MμL
Um fato importante, mas que n˜ao provaremos com todos os detalhes aqui, ´e que a σ-´algebra de Borel M[τRn ] ´e um subconjunto pr´oprio^4 de MμL , ou seja, que h´a conjuntos que s˜ao mensur´aveis de Lebesgue mas que n˜ao s˜ao elementos da σ-´algebra de Borel. Exemplos n˜ao s˜ao f´aceis de exibir, mas uma classe deles ser´a discutido na Se¸c˜ao 25.4, p´agina 1142. Historicamente, a rela¸c˜ao entre M[τRn ] e MμL foi estudada por Hausdorff, que provou tamb´em que a cardinalidade de M[τRn ] ´e a de R, enquanto que a de MμL ´e maior, sendo a de RR^ (o conjunto de todas as fun¸c˜oes de R em R).
Para discutirmos o fato de que a σ-´algebra de Borel M[τRn ] ´e um subconjunto pr´oprio de MμL fa¸camos primeiro notar o seguinte resultado (que, ademais, tem importˆancia por si s´o) e que ´e um mero corol´ario do Teorema 24.2, p´agina 1116:
Proposi¸c˜ao 25.2 A medida de Lebesgue μL em Rn^ ´e completa. Ou seja, se A ⊂ Rn^ ´e um conjunto mensur´avel por Lebesgue e μL(A) = 0, ent˜ao todo B ⊂ A ´e tamb´em mensur´avel de Lebesgue (um fato n˜ao trivial!) e vale μL(B) = 0. 2
Como veremos quando discutirmos o chamado conjunto de Cantor, h´a conjuntos na σ-´algebra de Lebesgue que s˜ao n˜ao-cont´aveis, tˆem a cardinalidade de R e tˆem medida de Lebesgue nula. Como vimos, todos os subconjuntos de tais
conjuntos s˜ao tamb´em mensur´aveis e, portanto, a cole¸c˜ao de todos esses subconjuntos tem a cardinalidade de P(R) (que
´e maior que a de R). Entretanto, sabe-se (por um teorema de Hausdorff) que M[τR] tem a cardinalidade de R e portanto M[τR] deve ser um subconjunto pr´oprio de MμL.
- A medida de Borel-Lebesgue
Dada a rela¸c˜ao (25.5) podemos considerar a restri¸c˜ao da medida de Lebesgue a σ-´algebra de Borel M[τRn ]. Essa restri¸c˜ao da medida de Lebesgue ´e denominada medida de Borel-Lebesgue. E importante notar que a maioria dos´ resultados importantes da An´alise, especialmente da teoria de integra¸c˜ao, pode ser obtida considerando-se apenas a medida de Borel-Lebesgue e muitos autores preferem trat´a-la preferencialmentea medida de Lebesgue. A medida de Borel-Lebesgue n˜ao ´e completa.
- Conjuntos cont´aveis de Rn^ tˆem medida de Lebesgue nula
E bastante f´^ ´ acil de ver, pela defini¸c˜ao, que se a ∈ Rn^ ent˜ao μL({a}) = 0, ou seja, a medida de Lebesgue de um conjunto constitu´ıdo por apenas um ponto ´e nula. Pela aditividade da medida, ´e evidente da´ı tamb´em que a medida
(^4) Aos estudantes: um conjunto A ´e dito ser um subconjunto pr´oprio de um conjunto B se A ⊂ B mas A 6 = B.
de Lebesgue de qualquer subconjunto finito de R ´e igualmente nula, pois se {a 1 ,... , am} ⊂ Rn^ ´e um conjunto com m elementos distintos, tem-se
μL ({a 1 ,... , am}) = μL ({a 1 } ∪ · · · ∪ {am}) = μL ({a 1 }) + · · · + μL ({am}) = 0 ,
pois μL({ak}) = 0, ∀k ∈ { 1 ,... , m}.
Da mesma forma, pela aditividade cont´avel (rela¸c˜ao (24.2), p´agina 1107), verifica-se que a medida de Lebesgue de qualquer subconjunto cont´avel da reta ´e nula. De fato, se {ak ∈ Rn| k ∈ N} ⊂ Rn^ ´e cont´avel, com todos os ak’s distintos, tem-se
μL
{ak ∈ Rn| k ∈ N }
= μL
k∈N
{ak}
k∈N
μL
{ak}
tamb´em pois μL
{ak}
= 0, ∀ k ∈ N. Assim, conclu´ımos, por exemplo, que o conjunto Q dos n´umeros racionais e o
conjunto A 0 dos n´umeros alg´ebricos s˜ao conjuntos de medida de Lebesgue nula em R.
Recordando a no¸c˜ao de propriedade v´alida quase em toda a parte, introduzida a p´agina 1110, podemos afirmar que em rela¸c˜aoa medida de Lebesgue, quase todo n´umero real ´e irracional, ou que todo n´umero real ´e irracional μL-q.t.p., pois s´o n˜ao s˜ao irracionais os n´umeros racionais, que formam um conjunto de medida de Lebesgue nula. Analogamente, em rela¸c˜ao `a medida de Lebesgue, quase todo n´umero ´e transcendente, ou seja, todo n´umero real ´e transcendente μL-q.t.p.
Um ponto que n˜ao pode deixar mencionado ´e que h´a tamb´em subconjuntos n˜ao-enumer´aveis de R que tamb´em tˆem medida de Lebesgue nula. Veremos exemplos quando tratarmos dos chamados conjuntos de Cantor na Se¸c˜ao 25.3, p´agina
25.2 As Medidas de Hausdorff
Esta se¸c˜ao ´e dedicada `a constru¸c˜ao das chamadas medidas de Hausdorff. Vamos introduzi-las no contexto geral de espa¸cos m´etricos e, posteriormente, trataremos do caso dos espa¸cos Rn^ com a m´etrica usual. A importante no¸c˜ao de dimens˜ao Hausdorff de um conjunto Boreliano ser´a discutida com algum detalhe. A referˆencia matem´atica mais abrangente para tais assuntos ´e [50]. Vide tamb´em [73].
Seja M um conjunto n˜ao-vazio dotado de uma m´etrica d e seja τd a topologia induzida em M por essa m´etrica. Definimos o diˆametro d(E) de um conjunto E ⊂ M na m´etrica d por
d(E) := sup
d(x, y), x, y ∈ E
que claramente representa a m´axima distˆancia poss´ıvel entre pontos de E, segundo d.
A chamada medida de Hausdorff de dimens˜ao s ≥ 0 em M ´e definida, analogamente `a medida de Lebesgue de Rn, pela prescri¸c˜ao do Teorema 24.4, p´agina 1121, mas usando tamb´em a Proposi¸c˜ao 24.1, p´agina 1111.
No que segue assumiremos que o espa¸co m´etrico (M, d) possui a seguinte propriedade:
P. Para todo δ > 0 vale que todo A ⊂ M possui ao menos um recobrimento por cole¸c˜oes cont´aveis de conjuntos com diˆametro menor ou igual a δ.
O exemplo mais importante que teremos em mente e que satisfaz a propriedade P ´e Rn^ com a m´etrica usual. Para δ > 0 e s ≥ 0 fixos vamos definir os seguintes ingredientes: 1. uma cole¸c˜ao de conjuntos Rδ de M ; 2. uma fun¸c˜ao positiva hs definida em Rδ e 3. para cada A ⊂ M uma cole¸c˜ao CRδ (A) de recobrimentos cont´aveis de A por elementos de Rδ, ingredientes estes que devem satisfazer as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 24.2 e do Teorema 24.4.
Para Rδ escolhemos a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de M com diˆametro menor ou igual a δ:
Rδ :=
R ⊂ M : d(R) ≤ δ
O conjunto vazio ´e tamb´em honorificamente (e convenientemente) inclu´ıdo em Rδ. Para cada R ∈ Rδ
hs(R) := d(R)s^ (25.6)
Definimos tamb´em hs(∅) := 0. Como na Se¸c˜ao 24.4, para cada A ⊂ M denotamos por CRδ (A) a cole¸c˜ao de todos os recobrimentos de A por cole¸c˜oes cont´aveis de subconjuntos de M com diˆametro menor ou igual a δ.
Proposi¸c˜ao 25.5 Para cada s ≥ 0 , a medida exterior de Hausdorff de dimens˜ao s definida em (25.8) ou (25.9) ´e uma medida exterior m´etrica (para a defini¸c˜ao, Se¸c˜ao 24.3.1, p´agina 1117). 2
Prova. Suponhamos que A e B ⊂ M sejam tais que d(A, B) = ǫ > 0. Se R ´e um recobrimento de A ∪ B por conjuntos de diˆametro menor ou igual a δ e esse δ for escolhido menor que ǫ, ent˜ao ´e poss´ıvel afirmar que R ´e a uni˜ao de trˆes conjuntos disjuntos: RA, RB e R 0 , sendo RA um recobrimento de A que n˜ao intersecta B, RB um recobrimento de B que n˜ao intersecta A e R 0 que n˜ao intersecta A nem B. Se assim n˜ao fosse, existiria um aberto em R intersectando A e B, o que s´o ´e poss´ıvel se seu diˆametro fosse maior que ǫ.
Notemos que RA ∈ CRδ (A), que RB ∈ CRδ (B) e que, importante, R 0 pode ser vazio. Tem-se, portanto, ∑
Rn∈R
hs(Rn) =
Rn ∈RA
hs(Rn) +
Rn ∈RB
hs(Rn) +
Rn ∈R 0
hs(Rn)
devido `a disjun¸c˜ao dos conjuntos e RA, RB e R 0. Logo,
∑
Rn ∈R
hs(Rn) ≥
Rn ∈RA
hs(Rn) +
Rn ∈RB
hs(Rn).
Assim, para todo δ com 0 < δ < ǫ, ao tomar o ´ınfimo sobre CRδ (A ∪ B) em (25.7) podemos nos restringir a conjuntos R da forma RA ∪ RB como descritos acima (com R 0 vazio). Disso segue que
μδ, sH (A ∪ B) = inf
Hs(R), R ∈ CRδ (A)
Hs(R), R ∈ CRδ (B)
= μδ, sH (A) + μδ, sH (B).
Logo, ao tomarmos o limite δ → 0 como em (25.9), teremos
μsH (A ∪ B) = lim δ→ 0 μδ, sH (A ∪ B) = lim δ→ 0 μδ, sH (A) + lim δ→ 0 μδ, sH (B) = μsH (A) + μsH (B).
e, portanto, μsH ´e uma medida exterior m´etrica.
- A medida de Hausdorff de dimens˜ao s ≥ 0
De posse da constru¸c˜ao e dos fatos acima descritos e evocando o Teorema de Carath´eodory, Teorema 24.1, p´agina 1111, o Teorema 24.3, p´agina 1119, e o Teorema 24.2, p´agina 1116, chegamos `as conclus˜oes expressas no seguinte teorema:
Teorema 25.2 (A Medida de Hausdorff de Dimens˜ao s ≥ 0 ) Seja M um conjunto n˜ao-vazio dotado de uma m´etrica d e seja para cada s ≥ 0 a medida exterior μsH definida em M por (25.9) ou, equivalentemente, por (25.8). Seja MμsH a σ-´algebra formada por todos os conjuntos A ⊂ M mensur´aveis segundo Carath´eodory, ou seja, que satisfazem μsH (E) = μsH (E ∩ A) + μsH (E ∩ Ac) para todo E ⊂ M. A restri¸c˜ao de μsH a MμsH define uma medida, denotada por μsH , denominada medida de Hausdorff de dimens˜ao s. Essa medida ´e completa e todo conjunto Boreliano de M segundo τd ´e mensur´avel, ou seja M[τd] ⊂ MμsH para todo s ≥ 0. 2
- A dimens˜ao Hausdorff de um conjunto Boreliano
A medida μsH restrita a M[τd] ´e denominada medida de Borel-Hausdorff. Note-se que M[τd] n˜ao depende de s e, portanto, podemos nos perguntar como varia com s a medida de um conjunto Boreliano fixo. A proposi¸c˜ao que segue ´e fundamental para isso.
Proposi¸c˜ao 25.6 Seja E ∈ M[τd]. Ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes:
- μs H^1 (E) ≥ μs H^2 (E) sempre que 0 ≤ s 1 ≤ s 2 < ∞.
- Se 0 < μtH (E) < ∞ para algum t > 0 , ent˜ao μsH (E) = ∞ para todo s com 0 ≤ s < t. Se 0 < μtH (E) < ∞ para algum t ≥ 0 , ent˜ao μuH (E) = 0 para todo u > t. 2
Prova. Por defini¸c˜ao, todo conjunto R ∈ Rδ tem diˆametro menor ou igual a δ. Logo, se 0 < δ < 1 teremos 0 ≤ d(R) < 1 para todo R ∈ Rδ. Conseq¨uentemente, para δ fixo e 0 < δ < 1 e para cada R ∈ Rδ, a fun¸c˜ao de s definida para s ≥ 0 por [0, ∞) ∋ s 7 −→ hs(R) = (d(R))s
´e decrescente, ou seja, hs 1 (R) ≥ hs 2 (R) sempre que 0 ≤ s 1 ≤ s 2. Logo, pela defini¸c˜ao (25.7), teremos para 0 < δ < 1 e 0 ≤ s 1 ≤ s 2 que μδ, s H 1 (E) ≥ μδ, s H 2 (E) para todo E ⊂ M. Pela defini¸c˜ao (25.9) tem-se μsH (E) = lim δ→ 0 μδ, sH (E) para todo
s ≥ 0 e, portanto, segue que μs H^1 (E) ≥ μs H^2 (E) sempre que 0 ≤ s 1 ≤ s 2 < ∞ j´a que δ ´e feito menor que 1 no processo de limite δ → 0.
Pela Proposi¸c˜ao 25.4, p´agina 1130, sabemos que para todo δ > 0 vale
μδ, sH (E) ≥ δs−t^
μδ, tH (E)
sempre que 0 ≤ s ≤ t. Logo, se para t > 0 valer que μtH (E) := lim δ→ 0
μδ, tH (E) ´e finito e n˜ao-nulo, teremos por (25.11) que
μsH (E) := lim δ→ 0
μδ, sH (E) = ∞, para todo s com 0 ≤ s < t.
A mesma (25.11) diz (trocando t → u, s → t) que
μδ, uH (E) ≤ δu−t^
μδ, tH (E)
sempre que 0 ≤ t ≤ u. Logo, se μtH (E) := lim δ→ 0 μδ, tH (E) < ∞ teremos μuH (E) := lim δ→ 0 μδ, uH (E) = 0 sempre que u > t.
A Proposi¸c˜ao 25.6 afirma que para cada E Boreliano pode haver um ´unico n´umero dimH (E) com 0 ≤ dimH (E) ≤ ∞ tal que
μsH (E) =
∞ , se 0 ≤ s < dimH (E)
0 , se dimH (E) < s < ∞
e com 0 < μsH (E) < ∞ para s = dimH (E). O n´umero dimH (E) ´e denominado dimens˜ao Hausdorff do conjunto Boreliano E.
A seguinte proposi¸c˜ao ´e ´util:
Proposi¸c˜ao 25.7 Se E 1 e E 2 s˜ao conjuntos Borelianos e E 1 ⊂ E 2 , ent˜ao dimH (E 1 ) ≤ dimH (E 2 ). 2
Prova. Como μsH ´e uma medida em M[τd] para todo s ≥ 0, vale μsH (E 1 ) ≤ μsH (E 2 ). Logo, se μsH (E 2 ) = 0 para algum s segue que μsH (E 1 ) = 0 para o mesmo s. Assim, a dimens˜ao de Hausdorff de E 2 n˜ao pode ser inferior `a de E 1.
Note-se que, com a generalidade da discuss˜ao de acima, podemos ter dimH (E) = ∞ para um dado Boreliano E. No caso em que M = Rn^ com a m´etrica Euclidiana usual, pode-se provar, por´em, que dimH (E) ≤ n para todo Boreliano E ⊂ Rn. Isso ´e discutido no que segue.
- A dimens˜ao Hausdorff em Rn
Proposi¸c˜ao 25.8 Seja M = Rn^ com a m´etrica usual. Seja K ⊂ Rn^ um cubo compacto. Ent˜ao μnH (K) < ∞. Segue disso que dimH (K) ≤ n, que dimH (Rn) ≤ n e que dimH (E) ≤ n para todo E ⊂ Rn^ Boreliano. 2
Prova. K ´e Boreliano, por ser fechado. Tomando m ∈ N, podemos escrever K como uma uni˜ao de mn^ cubos fechados menores iguais, cada um de arestas 1/m. O diˆametro de cada um desses cubos fechados menores ´e (^) m^1
n (justifique!).
Logo, se δ > (^) m^1
n teremos pela defini¸c˜ao que μδ, nH (K) ≤ mn( (^) m^1
n)n^ = nn/^2. Como nn/^2 independe de m, conclu´ımos
que μδ, nH (K) ≤ nn/^2 para todo δ > 0 e, portanto, μnH (K) ≤ nn/^2 , provando que μnH (K) < ∞. Disso segue pela Proposi¸c˜ao 25.6 que μsH (K) = 0 para todo s > n, provando que dimH (K) ≤ n. Como Rn^ ´e a soma cont´avel de cubos fechados
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1/27 2/27 7/27 8/27 (^) 19/2720/27 25/2726/
1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/ 0 1
(^0) 1/3 2/3 1
0 1/9 2/9 1/3 2/3 1
0 1/27 (^) 2/27 1/9 2/9 7/27 (^) 8/27 1/3 2/3 19/27 20/27 7/9 8/9 25/27 26/27 1
[ ] [ ]
7/9 8/
T
T
T
1
2
3
Figura 25.1: As trˆes primeiras etapas da constru¸c˜ao do conjunto de Cantor tern´ario C 1 / 3.
Agora, para todo n grande o suficiente tal que (1/3)n^ < b − a, os conjuntos (a, b) ∩ Tn s˜ao subconjuntos pr´oprios^7 de (a, b), pois cada intervalo fechado que comp˜oe Tn tem largura (1/3)n. Portanto, o lado direito de (25.13) ´e um subconjunto pr´oprio de (a, b) e a igualdade em (25.13) passa a ser absurda.
Um conjunto com a propriedade de n˜ao conter nenhum aberto ´e dito ser um conjunto denso em parte alguma (para tais defini¸c˜oes, vide Se¸c˜ao 28.1).
Por ser fechado, C 1 / 3 ´e um conjunto mensur´avel por Lebesgue, ou seja, possui um comprimento. Um ponto importante
´e determinar a medida de Lebesgue de C 1 / 3. E f´´ acil perceber que μL(Tn+1) = (2/3)μL(Tn), pois a cada etapa ´e eliminado um ter¸co dos intervalos fechados de Tn. Assim, como μL(T 0 ) = 1, segue que μL(Tn) = (2/3)n. Da´ı^8 μL(C 1 / 3 ) = limn→∞ μL(Tn) = limn→∞(2/3)n^ = 0, ou seja, o conjunto tern´ario de Cantor C 1 / 3 ´e um conjunto de medida de Lebesgue nula.
- A cardinalidade de C 1 / 3
Um outro fato importante sobre C 1 / 3 ´e que o mesmo tem a cardinalidade de R, sendo, portanto, um exemplo de um conjunto n˜ao-cont´avel de medida de Lebesgue nula. Vamos mostrar isso e, para tal, come¸caremos provando que C 1 / 3 n˜ao ´e cont´avel.
Para provar que C 1 / 3 n˜ao ´e cont´avel, demonstremos a seguinte afirma¸c˜ao, que apresentamos para futura referˆencia na forma de uma proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 25.9 C 1 / 3 ´e o subconjunto de [0, 1] composto por todos os n´umeros c que podem ser escritos na forma
c =
∑^ ∞
n=
tn 3 n^ , sendo que cada tn pode apenas assumir os valores 0 ou 2. Isso equivale a dizer que c ∈ C 1 / 3 se e somente
se for representado na base tern´aria na forma c = 0, t 1 t 2 t 3 t 4... onde cada “d´ıgito” tn vale ou 0 ou 2. 2
Essa proposi¸c˜ao equivale a uma outra caracteriza¸c˜ao de C 1 / 3 (de fato, alguns autores definem C 1 / 3 como o conjunto de pontos de [0, 1] em cuja representa¸c˜ao na base tern´aria ocorrem apenas os d´ıgitos 0 ou 2). Antes de entrar na prova dessa proposi¸c˜ao, recomendamos ao estudante o seguinte exerc´ıcio.
(^7) Aos estudantes: um conjunto A ´e dito ser um subconjunto pr´oprio de um conjunto B se A ⊂ B mas A 6 = B. (^8) O por quˆe de valer μL(C 1 / 3 ) = limn→∞ μL(Tn) ´e intuitivo, mas ser´a justificado com base em uma propriedade geral de medidas ao discutirmos sua generaliza¸c˜ao, a equa¸c˜ao (25.21), p´agina 1139.
E. 25.2 Exerc´ıcio. Sabemos que 1 / 3 pertence a C 1 / 3. Esse n´umero pode ser representado na base tern´aria por 0 , 1 , o que parece contradizer a afirma¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 25.9 sobre os elementos de C 1 / 3. Por´em, essa n˜ao ´e a ´unica forma de representar 1 / 3. Mostre que na base tern´aria 1 / 3 tamb´em pode ser escrito como 0 , 0222222.. .. Generalize isso e mostre que todo n´umero que possua a representa¸c˜ao tern´aria 0 , t 1 · · · tn 1 (ou seja, que tenha um n´umero finito de “d´ıgitos”, o ´ultimo deles sendo 1 ) tamb´em pode ser representado na forma 0 , t 1 · · · tn 222222.. .. 6
Prova da Proposi¸c˜ao 25.9. Dado inteiro n ≥ 1 tentemos localizar onde, no intervalo [0, 1], encontram-se os n´umeros que re´unem as seguintes propriedades: 1. o n-´esimo “d´ıgito” na base tern´aria ´e 1; 3. entre os “d´ıgitos” seguintes (finitos ou n˜ao) pelo menos um ´e n˜ao-nulo. Tais n´umeros s˜ao da forma 0, t 1 · · · tn− 11 tn+1.. ., sendo que pelo menos um dos tm com m ≥ n+1 ´e n˜ao-nulo. Alguns segundos (minutos?) de medita¸c˜ao levam-nos a concluir que esses n´umeros correspondem a todos os n´umeros do intervalo aberto situado entre 0, t 1 · · · tn− 1 1 e 0, t 1 · · · tn− 1 2, ou seja, de ( 0, t 1 · · · tn− 11 , 0 , t 1 · · · tn− 1 2 ). Agora,
0 , t 1 · · · tn− 1 1 = 0, t 1 · · · tn− 1 +
3 n^
e 0 , t 1 · · · tn− 1 2 = 0, t 1 · · · tn− 1 +
3 n^
Assim, o intervalo ( 0, t 1 , · · · tn− 11 , 0 , t 1 · · · tn− 1 2 ) ´e o intervalo
3 n^
3 n
transladado de 0, t 1 · · · tn− 1.
Observe-se, ent˜ao, que esse intervalo
3 n^
3 n
´e um dos intervalo abertos subtra´ıdo de Tn− 1 quando do processo
de constru¸c˜ao do conjunto C 1 / 3 , a saber, o mais pr´oximo de 0 (vide Figura 25.1). Devemos ent˜ao nos perguntar: quais
s˜ao os outros intervalos obtidos transladando
3 n^
3 n
por todos os n´umeros da forma 0, t 1 · · · tn− 1? Como todos os
n´umeros da forma 0, t 1 · · · tn− 1 podem ser obtidos somando repetidamente o n´umero
3 n−^1
(certo?) conclu´ımos que os
intervalos podem ser obtidos transladando-se
3 n^
3 n
sucessivamente por
3 n−^1
`a direita. Mais uma curta medita¸c˜ao
nos leva a concluir que os intervalos assim obtidos ou s˜ao precisamente aqueles subtra´ıdos de Tn− 1 quando do processo de constru¸c˜ao do conjunto C 1 / 3 ou est˜ao contidos nos intervalos subtra´ıdos anteriormente dos conjuntos Tm com m < n − 1.
Conclu´ımos, assim, que os n´umeros da forma 0, t 1 · · · tn− 11 tn+1.. ., sendo que pelo menos um dos tm com m ≥ n + 1 ´e n˜ao-nulo, n˜ao pertencem a C 1 / 3.
O que fizemos n˜ao exclui de C 1 / 3 n´umeros que sejam da forma 0, t 1 · · · tn− 1 1, com tj ∈ { 0 , 2 }, j = 1,... , n − 1. Tais n´umeros tamb´em pertencem a C 1 / 3 , pois formam uma das bordas de alguns abertos ( 0, t 1 , · · · tn− 11 , 0 , t 1 · · · tn− 1 2 ) que tratamos acima. Por´em, o Exerc´ıcio E. 25.2, acima, nos ensina que tais n´umeros podem ser tamb´em representados como 0, t 1 · · · tn− 1022222.. ., com o n-´esimo d´ıgito igual a 0 seguido de infinitos 2’s.
E. 25.3 Exerc´ıcio. Certo? 6
Com isso a prova da Proposi¸c˜ao 25.9 est´a conclu´ıda.
A afirma¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 25.9 conduz diretamente a conclus˜ao que C 1 / 3 n˜ao ´e enumer´avel. Por aquela proposi¸c˜ao, todo c ∈ C 1 / 3 ´e (fatorando o n´umero 2) da forma c = 2 × 0 , d 1 d 2 d 3... na base tern´aria com dn ∈ { 0 , 1 } para todo n. Assim, a demonstra¸c˜ao que C 1 / 3 n˜ao ´e enumer´avel ´e, mutatis mutantis (i.e., trocando a base decimal pela tern´aria), idˆenticaa demonstra¸c˜ao que R n˜ao ´e cont´avel fornecida na Se¸c˜ao 1.1.2, p´agina 45, na prova do Teorema 1.3, p´agina 47. Deixamos os detalhes como exerc´ıcio.
E. 25.4 Exerc´ıcio. Fa¸ca-o! 6
E. 25.5 Exerc´ıcio. Mostre que 1 / 4 e 1 / 13 pertencem a C 1 / 3 pois, na base tern´aria, 1 / 4 pode ser representado como 0 , 02020202... e 1 / 13 como 0 , 002002002002.. .. Note que 1 / 4 e 1 / 13 n˜ao pertencem `a borda de nenhum Tn! 6
O seguinte fato ser´a usado em outros lugares.
Lema 25.1 Todo elemento x ∈ [0, 1] pode ser escrito na forma x = c 1 + c 2 / 2 com c 1 , c 2 ∈ C 1 / 3. 2
lim n→∞ μsH (Tn) = ∞ e se s = ln 2 ln 3 teremos lim n→∞ μsH (Tn) = 1. Disso segue que a dimens˜ao Hausdorff de C 1 / 3 , obtido
formalmente como o limite n → ∞ dos conjuntos Tn, vale ln 2 ln 3. Para um argumento mais detalhado, vide [50].
- Mais exemplos de conjuntos de Cantor
Vamos agora generalizar e formalizar as id´eias desenvolvidas na constru¸c˜ao de C 1 / 3 e construir outros conjuntos semelhantes.
Diremos que um intervalo fechado [a, b] ´e finito se −∞ < a < b < ∞. Note que exclu´ımos a = b. Denotaremos por F 0 a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos da reta real que sejam formados por uni˜oes finitas de intervalos fechados finitos e disjuntos. Assim, se F ∈ F 0 , ent˜ao F ´e da forma
F = F 1 ∪ · · · ∪ Fk
para algum k ∈ N, onde cada Fj ´e um intervalo fechado finito Fj = [aj , bj ] com −∞ < aj < bj < ∞ e onde os Fj ’s s˜ao disjuntos dois-a-dois, ou seja, Fi ∩ Fj = ∅ caso i 6 = j.
Por ser uma uni˜ao finita de fechados, cada elemento de F 0 ´e tamb´em um conjunto fechado. Seja f ∈ R tal que 0 < f < 1. Denominaremos um tal f uma fra¸c˜ao^9. Para cada fra¸c˜ao f definiremos uma aplica¸c˜ao Tf : F 0 → F 0 da seguinte forma: Para um intervalo finito F = [a, b] definimos
Tf (F ) = Tf ([a, b]) :=
[
a,
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
] ⋃ [
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
, b
]
Para um elemento gen´erico F = F 1 ∪ · · · ∪ Fk de F 0 , definimos
Tf (F) = Tf (F 1 ∪ · · · ∪ Fk) := Tf (F 1 ) ∪ · · · ∪ Tf (Fk). (25.15)
Note que para 0 < f < 1 tem-se
a <
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
< b.
Portanto, para todo intervalo finito F , tem-se Tf (F ) ⊂ F.
Em verdade, Tf (F ) ´e um subconjunto pr´oprio de F. Segue facilmente disso que, para todo F ∈ F 0 ,
Tf (F) ⊂ F.
E. 25.6 Exerc´ıcio. Verifique todas as afirma¸c˜oes acima. 6
Qual a interpreta¸c˜ao geom´etrica de Tf? Para isso, vamos descrever o que ´e Tf ([a, b]). Esse conjunto ´e obtido subtraindo-se do intervalo fechado finito [a, b] o conjunto aberto de largura f (b − a) centrado no ponto a+ 2 b, que fica bem no centro de [a, b]. Como ´e f´acil ver, esse intervalo aberto ´e
( a + b 2
f (b − a) 2
a + b 2
f (b − a) 2
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
Assim,
Tf ([a, b]) = [a, b] \
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
Operando em F = F 1 ∪ · · · ∪ Fk, a opera¸c˜ao Tf subtrai de cada Fj o intervalo aberto de largura f centrado no ponto intermedi´ario de Fj.
E importante notar que se´ F ∈ F 0 ´e composto por k intervalos fechados finitos disjuntos ent˜ao, Tf (F) ´e composto por 2 k intervalos fechados finitos disjuntos.
(^9) Exclu´ımos os casos f = 0 e f = 1 pois, como poder-se-´a constatar, eles levam a situa¸c˜oes triviais
Como Tf ´e uma aplica¸c˜ao de F 0 em F 0 , podemos compor Tf consigo mesma. Denotamos, para n ∈ N,
T (^) fn ≡ Tf ◦ · · · ◦ Tf ︸ ︷︷ ︸ n vezes
Com isso, se F ´e um intervalo fechado finito, T (^) fn (F ) ´e um elemento de F 0 composto por 2n^ intervalos fechados finitos disjuntos, todos eles contidos em F.
Para o que segue ´e muito importante determinarmos a medida de Lebesgue dos conjuntos T (^) fn (F ), que vem a ser a soma dos comprimentos dos 2n^ intervalos fechados finitos disjuntos que o comp˜oe. Para isso, ´e importante ver que se F = [a, b], ent˜ao
μL(Tf (F )) = μL(Tf ([a, b])) = μL
( [
a,
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
] ⋃ [
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
, b
] )
= μL
([
a,
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2
])
([
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
, b
])
a(1 + f ) + b(1 − f ) 2 − a
b −
[
a(1 − f ) + b(1 + f ) 2
])
= (1 − f )(b − a)
= (1 − f )μL(F ). (25.16)
E tamb´´ em claro que para todo F ∈ F 0 da forma F = F 1 ∪ · · · ∪ Fk , onde os Fj s˜ao intervalos fechados finitos e disjuntos, tem-se μL(F) = μL(F 1 ) + · · · + μL(Fk ).
Segue tamb´em de (25.15) que se F = F 1 ∪ · · · ∪ Fk ent˜ao
μL(Tf (F)) = μL (Tf (F 1 ) ∪ · · · ∪ Tf (Fk)) = μL (Tf (F 1 )) + · · · + μL (Tf (Fk))
= (1 − f )
∑^ k
j=
μL (Fj ) = (1 − f )μL(F) ,
ou seja, μL(Tf (F)) = (1 − f )μL(F). (25.17)
Desses fatos, ´e muito f´acil provar por indu¸c˜ao que
μL(T (^) fn (F )) = (1 − f )nμL(F ). (25.18)
para todo n ∈ N e todo intervalo fechado finito F.
E. 25.7 Exerc´ıcio. Prove isso! 6
E bastante evidente por (25.14) que os bordos^ ´ a e b de um intervalo fechado finito F = [a, b] satisfazem a ∈ Tf (F ) e b ∈ Tf (F ). Da´ı, conclu´ı-se tamb´em que a e b s˜ao elementos de todos os conjuntos T (^) fn (F ). Assim,
Un, f (F ) := F \ T (^) fn (F ) = F ∩ (T (^) fn (F ))c^ = F 0 ∩ (T (^) fn (F ))c^.
Aqui F 0 := (a, b), o interior de F. Como os conjuntos T (^) fn (F ) s˜ao fechados, os conjuntos Un, f (F ) s˜ao subconjuntos abertos de F , por serem a intersec¸c˜ao de dois abertos: F 0 e (T (^) fn (F ))c. Note-se que
Un, f (F ) ⊂ Un+1, f (F ), ∀ n ∈ N , (25.19)
pois T (^) fn +1(F ) = Tf (T (^) fn (F )) ⊂ T (^) fn (F ).
Como antes, os conjuntos T (^) {nf }(F ) s˜ao compostos por 2n^ intervalos fechados e as bordas desses intervalos estar˜ao contidas em todos os conjuntos T (^) {mf }(F ) com m > n. Fora isso,
T (^) {mf }(F ) ⊂ T (^) {nf }(F ), para todos m > n. (25.23)
Em verdade os T (^) {mf }(F ) s˜ao subconjuntos pr´oprios de T (^) {nf }(F ) para todos m > n. Temos tamb´em que
Un, {f }(F ) := F \ T (^) {nf }(F ) := F ∩ (T (^) {nf }(F ))c^ = F 0 ∩ (T (^) {nf }(F ))c^.
Como os conjuntos T (^) {nf }(F ) s˜ao fechados, os conjuntos Un, {f }(F ) s˜ao subconjuntos abertos de F , por serem a intersec¸c˜ao
de dois abertos: F 0 e (T (^) {nf }(F ))c. Note-se novamente que
Un, {f }(F ) ⊂ Um, f (F ), ∀ n < m , (25.24)
por (25.23).
Definimos ent˜ao, em completa analogia com o apresentado acima, os conjuntos
C{f }(F ) :=
n∈N
T (^) {nf }(F ).
e U{f }(F ) := F \ C{f }(F ) = F ∩ (C{f }(F ))c^ = F 0 ∩ (C{f }(F ))c^.
C{f }(F ) ´e tamb´em um subconjunto fechado de F , pois ´e uma intersec¸c˜ao de fechados. U{f }(F ) ´e um subconjunto aberto de F , por ser a intersec¸c˜ao de dois abertos: F 0 e (C{f }(F ))c. Vemos novamente que
U{f }(F ) = F 0 ∩
n∈N
T (^) {nf }(F )
)c = F 0 ∩
n∈N
T (^) {nf }(F )
)c
n∈N
F 0 ∩
T (^) {nf }(F )
)c)
n∈N
Un, {f }(F ).
E poss´^ ´ ıvel tamb´em provar (mas n˜ao o faremos aqui) que C{f }(F ) tem a mesma cardinalidade de R. Fora isso, C{f }(F ) compacto (por ser fechado e limitado) totalmente desconexo, denso em parte alguma e denso em si mesmo e, portanto, ´e perfeito (para as defini¸c˜oes vide Se¸c˜ao 28.1, p´agina 1224). Assim, pela defini¸c˜ao geral da p´agina 1228, Cf (F ) ´e um conjunto de Cantor.
Quanto `a medida de Lebesgue de C{f }(F ), ocorre aqui uma surpresa. Como antes, temos que μL(U{f }(F )) = μL(F ) − μL(C{f }(F )) e que μL(U{f }(F )) = lim n→∞ μL(Un, {f }(F )).
Vamos por´em, calcular μL(Un, {f }(F )). Sabemos que
μL(Un, {f }(F )) = μL(F ) − μL(T (^) {nf }(F )).
Agora, μL(T (^) {nf }(F )) = μL(Tfn ◦ T (^) {nf− }^1 (F )) = (1 − fn)μL(T (^) {nf− }^1 (F )) = (1 − fn) · · · (1 − f 1 )μL(F ) ,
onde, acima, usamos (25.17). Dessa forma,
μL(Un, {f }(F )) =
∏^ n
j=
(1 − fj )
(^) μL(F )
e, portanto, usando novamente a propriedade geral de medidas 3 da p´agina 1109, tem-se
μL(U{f }(F )) = lim n→∞
∏^ n
j=
(1 − fj )
(^) μL(F ) =
1 − lim n→∞
∏^ n
j=
(1 − fj )
(^) μL(F ).
O ponto, por´em, ´e que, ao contr´ario do caso anterior quando todos os fj ’s eram iguais, n˜ao se pode sempre concluir que
limn→∞
∏n j=1(1^ −^ fj^ ) = 0 mesmo que 0^ <^ (1^ −^ fj^ )^ <^ 1 para todo^ j. Tomemos, por exemplo, a seq¨uˆencia^ fj^ = 1^ −^ e
− 1 /j^2.
Teremos
lim n→∞
∏^ n
j=
(1 − fj ) = lim n→∞ exp
∑^ n
j=
j^2
(^) = exp
∑^ ∞
j=
j^2
(^) = e−π^2 /^6 > 0
e, com isso,
μL(U{f }(F )) =
[
1 − e−π
2 / 6 ]
μL(F ) < μL(F )
e μL(C{f }(F )) = e−π
(^2) / 6 μL(F ) > 0.
O conjunto de Cantor C{f }(F ) com a seq¨uˆencia {f } dada acima tem medida de Lebesgue n˜ao-nula.
- Condi¸c˜ao para os conjuntos C{f }(F ) terem medida de Lebesgue n˜ao-nula
Voltando a seq¨uˆencias {fj , j ∈ N} gerais, conclu´ımos do Lema 25.2, a seguir, que uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que C{f }(F ) tenha medida de Lebesgue n˜ao-nula ´e que a seq¨uˆencia de fra¸c˜oes {f } = {fj , 0 < fj < 1 , j ∈ N} seja som´avel, ou seja
j=1 fj^ <^ ∞. No caso do conjunto de Cantor tern´ario C 1 / 3 , essa condi¸c˜ao ´e violada, pois obviamente
j=1 1 /3 =^ ∞, o mesmo se dando para os conjuntos Cf (com 0 < f ).
Lema 25.2 Se {fj , j ∈ N} ´e uma seq¨uˆencia de n´umeros tais que 0 < fj < 1 para todo j, ent˜ao a condi¸c˜ao para que
lim n→∞
∏^ n
j=
(1 − fj ) > 0 ´e equivalente `a condi¸c˜ao
∑^ ∞
j=
ln(1 − fj ) < ∞. Essa por sua vez ´e equivalente `a condi¸c˜ao
∑^ ∞
j=
fj < ∞.
2
Prova. Notemos primeiro que
∏^ n
j=
(1 − fj ) = exp
∑^ n
j=
[− ln(1 − fj )]
Logo, limn→∞
∏n j=1(1^ −^ fj^ )^ >^ 0 se e somente se a s´erie de n´umeros positivos^
j=1 [−^ ln(1^ −^ fj^ )] for finita. Estudemos uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que isso ocorra. Para x ∈ [0, 1) tem-se que x ≤ − ln(1 − x). Isso se vˆe notando que a fun¸c˜ao
f (x) := −x − ln(1 − x) satisfaz f ′(x) =
x (1 − x)
para x ∈ [0, 1), o que mostra que f ´e crescente nesse intervalo. Como f (0) = 0, conclu´ımos que f (x) ≥ 0 para x ∈ [0, 1). Assim,
∑n j=1 fj^ ≤ −^
∑n j=1 ln(1^ −^ fj^ ), mostrando que se a s´erie de n´umeros positivos^ −^
∑∞^ j=1^ ln(1^ −^ fj^ ) for finita, a s´erie j=1 fj^ tamb´em o ser´a. Reciprocamente, suponhamos que
j=1 fj^ converge. Seja^ M^ um n´umero fixo tal que 0^ < M <^ 1. Vamos mostrar que existe um J tal que fj < M para todo j > J. Para isso, vamos supor o contr´ario e assumir que haja uma cole¸c˜ao infinita fj 1 , fj 2 ,... tal que fjl ≥ M para todo l ≥ 1. Ter´ıamos que
j=1 fj^ ≥^
l=1 fjl ≥^
l=1 M^ =^ ∞, uma contradi¸c˜ao. Assim, a cole¸c˜ao fj 1 , fj 2 ,... deve ser finita e podemos tomar J como o maior dos ´ındices jl. Podemos ent˜ao escrever
∑^ ∞
j=
fj =
∑^ J
j=
fj +
∑^ ∞
j=J+
fj
com a garantia que na, ´ultima soma, todo fj satisfaz 0 < fj < M para um certo 0 < M < 1 fixado.
Agora, observemos que no intervalo [0, M ] a fun¸c˜ao g(x) := − ln(1 − x) ´e cont´ınua, limitada, diferenci´avel e satisfaz g′′(x) = 1/(1 − x)^2 > 0. Assim, g ´e convexa^10 naquele intervalo e, portanto, tem-se
g(x) ≤ g(0) +
(g(M ) − g(0)) M
x ,
(^10) O estudante poder´a encontrar um estudo detalhado das propriedades de fun¸c˜oes convexas em v´arios textos, por exemplo em [180].
Notemos que B 0 ´e mensur´avel por Lebesgue, por ser subconjunto de um conjunto de medida de Lebesgue nula, a saber, C 1 / 3 (vide Proposi¸c˜ao 25.2, p´agina 1128). Portanto, μL(B) = μL(B 0 ) = 0. Naturalmente, B ´e uma base de Hamel mensur´avel por Lebesgue, por ser uni˜ao cont´avel de conjuntos mensur´aveis pode Lebesgue.
Prova. Pelo Lema 25.1, p´agina 1135, todo x ∈ [0, 1] pode ser escrito como uma combina¸c˜ao linear por racionais de dois elementos do conjunto de Cantor tern´ario C 1 / 3. Por uma simples aplica¸c˜ao do Lema de Zorn (fa¸ca!), pode-se facilmente provar que C 1 / 3 possui pelo menos um subconjunto de elementos linearmente independentes por racionais. Denotemos um tal subconjunto por B 0. Assim, todo elemento de C 1 / 3 pode ser escrito como uma combina¸c˜ao linear finita por racionais de elementos de B 0. Juntando isso `a observa¸c˜ao anterior, conclu´ımos que todo elemento de [0, 1] pode ser escrito como combina¸c˜ao linear finita por racionais de elementos de B 0. Repetindo-se isso em cada intervalo [m, m + 1] com m ∈ Z a proposi¸c˜ao est´a demonstrada.
Isso demonstrou que h´a bases de Hamel mensur´aveis por Lebesgue. Tem-se por´em, o seguinte fato, devido a Si- erpi´nski^17 , cuja demonstra¸c˜ao omitiremos:
Teorema 25.3 Nenhuma base de Hamel em R ´e Boreliana. 2
Com isso, a base de Hamel constru´ıda acima a partir de um subconjunto linearmente independentes por racionais do conjunto de Cantor ´e um exemplo de um conjunto mensur´avel por Lebesgue mas n˜ao-Boreliano.
Em verdade nem toda base de Hamel ´e mensur´avel por Lebesgue. Vale, todavia, o seguinte fato, que provaremos abaixo: uma base de Hamel ´e mensur´avel por Lebesgue se e somente se sua medida de Lebesgue for nula. Precisaremos da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 25.12 Se A ⊂ R ´e um conjunto com medida de Lebesgue positiva, ou seja, μL(A) > 0 , ent˜ao existe um intervalo aberto Iα = (−α, α), α > 0 , tal que todo elemento x de Iα pode ser escrito na forma x = a 1 − a 2 , com a 1 , a 2 ∈ Iα. 2
A proposi¸c˜ao acima tem uma generaliza¸c˜ao no contexto da medida de Haar em grupos topol´ogicos localmente com- pactos (como ´e o caso da medida de Lebesgue na reta real).
Proposi¸c˜ao 25.13 Uma base de Hamel B da reta real ´e mensur´avel por Lebesgue se e somente se μL(B) = 0. 2
Prova. Se B n˜ao for mensur´avel por Lebesgue n˜ao h´a o que se provar. Suponhamos ent˜ao que B ´e mensur´avel por Lebesgue. Ent˜ao, ou μL(B) = 0 ou μL(B) > 0. Vamos supor que μL(B) > 0. Pela Proposi¸c˜ao 25.12 existem n´umeros racionais n˜ao-nulos r e s (ambos contidos em algum intervalo (−α, α) conveniente) tais que r = b 1 − b 2 e s = b 3 − b 4 , com b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ∈ B. Seja t = r/s, que obviamente ´e racional. Conclu´ımos de r = ts que b 1 − b 2 = t(b 3 − b 4 ). Mas isso ´e imposs´ıvel, pois essa express˜ao contraria o fato de que os elementos de B s˜ao linearmente independentes por racionais. Logo, se B ´e mensur´avel por Lebesgue s´o podemos ter μL(B) = 0.
A Proposi¸c˜ao 25.11 mostrou que a proposi¸c˜ao anterior n˜ao ´e vazia no seguinte sentido: existem bases de Hamel mensur´aveis por Lebesgue.
(^17) Waclaw Franciszek Sierpi´nski (1882–1969). O Teorema 25.3 encontra-se em “Sur la question de la mesurabilit´e de la base de M. Hamel”. Fund. Math. 1 , 105–111 (1920).
25.5 Exerc´ıcios Adicionais
E. 25.9 Exerc´ıcio. Mostre que a dimens˜ao Hausdorff da Curva de Koch^18 (linha indicada na Figura 25.2) vale ln(4) ln(3). Supondo que cada segmento inicial tenha comprimento 1 / 3 , determine o comprimento total (medida de Lebesgue) da curva de Koch. 6
E. 25.10 Exerc´ıcio. Mostre que a dimens˜ao Hausdorff do Triˆangulo de Sierpi´nski^19 (indicado em preto na Figura 25.3) vale ln(3) ln(2). Supondo cada aresta inicial com comprimento^1 , determine sua ´area (medida de Lebesgue).^6
E. 25.11 Exerc´ıcio. Mostre que a dimens˜ao Hausdorff do Tapete de Sierpi´nski (indicado em preto na Figura 25.4) vale ln(8) ln(3). Supondo cada aresta inicial com comprimento^1 , determine sua ´area (medida de Lebesgue).^6
Figura 25.2: Primeiras seq¨uˆencias de conjuntos que geram a Curva de Koch. Em cada etapa, todos os segmentos de reta tˆem o mesmo comprimento.
Figura 25.3: Primeiras seq¨uˆencias de conjuntos que geram o Triˆangulo de Sierpi´nski.
(^18) Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924). A Curva de Koch foi descrita pelo mesmo em trabalho datado de 1904. (^19) Waclaw Franciszek Sierpi´nski (1882–1969).
