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Cap´ıtulo 1
No¸c˜oes B´asicas
Conte´udo
1.1 Conjuntos, Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes................................... 21 1.1.1 Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes............................................ 22 1.1.1.1 Produtos Cartesianos Gerais................................. 27 1.1.1.2 Rela¸c˜oes de Compatibilidade e de Incompatibilidade.................... 28 1.1.1.3 Rela¸c˜oes de Equivalˆencia................................... 29 1.1.1.4 Rela¸c˜oes de Ordem...................................... 30 1.1.2 Cardinalidade............................................... 36 1.1.3 ´Infimos e Supremos de Fam´ılias de Conjuntos............................. 41 1.2 Sistemas de Conjuntos........................................ 43 1.2.1 Semi-An´eis de Conjuntos........................................ 44 1.2.2 An´eis de Conjuntos............................................ 44 1.2.3 Algebras de Conjuntos......................................... .´ 46 1.2.4 σ-An´eis de Conjuntos.......................................... 47 1.2.5 σ- Algebras de Conjuntos........................................ .´ 47 1.2.6 Topologias................................................ 48 1.2.7 Filtros e Ultra-Filtros.......................................... 49 APˆENDICES........................ 52 1.A A F´ormula de Invers˜ao de M¨obius................................. 52
E
ste cap´ıtulo introdut´orio pretende (re)apresentar ao leitor uma s´erie de no¸c˜oes matem´aticas b´asicas abrangendo rudimentos da teoria (“ingˆenua”) dos conjuntos. O objetivo n˜ao ´e um tratamento extensivo dos diversos assuntos. Trata-se quase de um guia de consulta onde s˜ao apresentadas, junto com exemplos simples, v´arias no¸c˜oes e defini¸c˜oes b´asicas que utilizaremos. O estudante n˜ao deve necessariamente ler este cap´ıtulo de forma sistem´atica e seq¨uencial, mas deve retornar a ele sempre que necess´ario.
1.1 Conjuntos, Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes
Partiremos do pressuposto de serem familiares as no¸c˜oes b´asicas envolvendo conjuntos, como a no¸c˜ao de conjunto vazio ∅, a no¸c˜ao de pertinˆencia x ∈ C, de uni˜ao de dois conjuntos A ∪ B e de intersec¸c˜ao de dois conjuntos A ∩ B.
Para A, B ⊂ X denotamos por A \ B a chamada diferen¸ca entre os conjuntos A e B, a saber
A \ B :=
x ∈ X tal que x ∈ A mas x 6 ∈ B
Por vezes usa-se a nota¸c˜ao A − B para A \ B. Para A ⊂ X denota-se por Ac^ o chamado complemento de A em rela¸c˜ao a X: Ac^ := X \ A. Note-se que ao usar-se o s´ımbolo Ac^ deve estar subentendido qual o conjunto X ao qual o complemento se refere. E f´´ acil ver que se A, B ⊂ X ent˜ao A \ B = Bc^ ∩ A. Vale tamb´em (Ac)c^ = A e A ∩ B = A \ Bc^ = B \ Ac^ para todos A, B ⊂ X.
Dizemos que um conjunto B ´e um subconjunto pr´oprio de A se B ⊂ A e se A \ B 6 = ∅, ou seja, se todo elemento de B for elemento de A mas houver elementos em A que n˜ao pertencem a B. Se B ´e um subconjunto pr´oprio de A dizemos que B est´a contido propriamente em A, ou que A cont´em B propriamente. Por vezes denota-se o fato de B ser um subconjunto pr´oprio de A por B $ A ou por A % B.
Se A e B s˜ao conjuntos e A ∩ B = ∅ ent˜ao A ∪ B ´e dita ser uma uni˜ao disjunta de A e B.
Se X ´e um conjunto denota-se por P(X) a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X. P(X) ´e por vezes chamado de
conjunto das partes de X. Por conven¸c˜ao adota-se sempre que ∅ ∈ P(X). Assim, dizer que A ⊂ X equivale a dizer
A ∈ P(X).
Por A△B denota-se a chamada diferen¸ca sim´etrica entre A e B: A△B := (A ∪ B) \ (A ∩ B). (1.2)
E. 1.1 Exerc´ıcio. Se A e B s˜ao conjuntos, mostre que A△B = (A \ B) ∪ (B \ A) , (1.3)
A ∩ B =
A ∪ B
\
A△B
A ∪ B
\
(A \ B) ∪ (B \ A)
A ∪ B =
A△B
A ∩ B
A△B
A ∩ B
A \ B = A△
A ∩ B
E. 1.2 Exerc´ıcio. Se A e B s˜ao conjuntos, mostre que A△B = B△A (“comutatividade”) e que (A△B)△C = A△(B△C) (“associatividade”). 6
Um conceito b´asico importante em Matem´atica ´e o de par ordenado. O conceito de par ordenado (a, b) formado por dois elementos gen´ericos a, b ∈ X ´e intuitivo. Pela intui¸c˜ao, entende-se como par ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posi¸c˜ao de “primeiro” elemento da lista (no caso, a) e o outro a de “segundo” (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo o conjunto {a, {b}}. Esta defini¸c˜ao formal corresponde `a intui¸c˜ao pois, no conjunto C = {a, {b}}, h´a uma distin¸c˜ao entre o papel de a e de b, dado que a ´e um elemento do conjunto C, enquanto que b ´e um elemento de um elemento de C, a saber, do conjunto {b} ∈ C. Apesar de existir a defini¸c˜ao formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intui¸c˜ao por tr´as do conceito.
Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B ´e chamado de produto Cartesiano^1 de A e B. Note que, em geral, A × B 6 = B × A (por quˆe?).
Mais adiante apresentaremos generaliza¸c˜oes das no¸c˜oes de acima.
1.1.1 Rela¸c˜oes e Fun¸c˜oes
O conceito de rela¸c˜ao ´e de importˆancia fundamental na Matem´atica e nesta se¸c˜ao descreveremos algumas rela¸c˜oes de maior importˆancia, como as fun¸c˜oes, as rela¸c˜oes de equivalˆencia e as rela¸c˜oes de ordem.
Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A × B ´e dito ser uma rela¸c˜ao bin´aria, ou simplesmente rela¸c˜ao entre A e B.
Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A × B o conjunto R := {(a, b), a ´e irm˜ao de b}. R representa uma rela¸c˜ao (de irmandade) entre homens e mulheres.
Outros exemplos vir˜ao abaixo. Dada uma rela¸c˜ao G ⊂ A × B entre conjuntos A e B h´a duas no¸c˜oes importantes associadas: a de dom´ınio da rela¸c˜ao e a de imagem da rela¸c˜ao. Define-se por dom´ınio de G o conjunto
Dom(G) :=
a ∈ A tal que (a, b) ∈ G para algum b ∈ B
Define-se por imagem de G o conjunto
Im(G) :=
b ∈ B tal que (a, b) ∈ G para algum a ∈ A
(^1) Assim chamado em honra a Ren´e Descartes (1596–1650). O adjetivo Cartesiano provem da latiniza¸c˜ao de seu nome como Cartesius.
f (A) ´e dita ser a imagem de A por f e f −^1 (B) ´e dita ser a pr´e-imagem de B por f.
O uso do s´ımbolo f −^1 para designar pr´e-imagem f −^1 (B) de um conjunto B ´e uma escolha muito infeliz (mas universalmente aceita), pois pode causar confus˜ao com a no¸c˜ao de fun¸c˜ao inversa de f (que pode nem mesmo estar definida). O estudante deve estar atento.
Com as defini¸c˜oes acima ´e f´acil provar serem verdadeiras as seguintes afirma¸c˜oes:
- Para uma fun¸c˜ao f : X → Y geral, valem
f
f −^1 (B)
⊂ B e f −^1
f (A)
⊃ A (1.9)
para todos A ⊂ X, B ⊂ Y.
- Se f : X → Y for sobrejetora, valem
f
f −^1 (B)
= B e f −^1
f (A)
⊃ A (1.10)
para todos A ⊂ X, B ⊂ Y.
- Se f : X → Y for injetora, valem
f
f −^1 (B)
⊂ B e f −^1
f (A)
= A (1.11)
para todos A ⊂ X, B ⊂ Y.
- Se f : X → Y for bijetora, valem
f
f −^1 (B)
= B e f −^1
f (A)
= A (1.12)
para todos A ⊂ X, B ⊂ Y.
E. 1.3 Exerc´ıcio. Demonstre as afirma¸c˜oes de acima. 6
Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma cole¸c˜ao F n˜ao-vazia de subconjuntos de X ´e por vezes dita ser uma fam´ılia de conjuntos. Se F for uma fam´ılia de conjuntos e existirem um conjunto n˜ao-vazio I e uma fun¸c˜ao bijetora f : I → F, ent˜ao dizemos que a fam´ılia F ´e indexada por I e os elementos de I s˜ao denominados ´ındices. Se λ ´e um ´ındice, designaremos sua imagem pela fun¸c˜ao f simplesmente por Aλ ∈ F.
Uma indexa¸c˜ao de uma cole¸c˜ao F n˜ao-vazia de subconjuntos de X sempre existe: podemos tomar I = F e f a fun¸c˜ao identidade.
- Opera¸c˜oes b´asicas com fam´ılias de conjuntos
Sejam X e I conjuntos arbitr´arios n˜ao-vazios e seja associado a cada α ∈ I um subconjunto Aα de X. O conjunto I ser´a freq¨uentemente denominado conjunto ou fam´ılia de ´ındices. Vamos introduzir alguma nota¸c˜ao a ser usada em todas estas Notas. Definimos (^) ⋃
α∈I
Aα :=
x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I
e (^) ⋂
α∈I
Aα :=
x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I
As defini¸c˜oes acima implicam as importantes propriedades descritas na proposi¸c˜ao que segue, cuja demonstra¸c˜ao deixamos como exerc´ıcio.
Proposi¸c˜ao 1.1 Sejam B ⊂ X, X n˜ao-vazio, e {Aα ⊂ X, α ∈ I} uma cole¸c˜ao arbitr´aria de subconjuntos de X. Ent˜ao valem as seguintes rela¸c˜oes:
B \
α∈I
Aα
α∈I
(B \ Aα) , B \
α∈I
Aα
α∈I
(B \ Aα) , (1.15)
α∈I
Aα
\ B =
α∈I
(Aα \ B) ,
α∈I
Aα
\ B =
α∈I
(Aα \ B) , (1.16)
B ∪
α∈I
Aα
α∈I
(B ∪ Aα) , B ∩
α∈I
Aα
α∈I
(B ∩ Aα) , (1.17)
B ∪
α∈I
Aα
α∈I
(B ∪ Aα) , B ∩
α∈I
Aα
α∈I
(B ∩ Aα). (1.18)
As rela¸c˜oes, (1.15) implicam
( ⋃
α∈I
Aα
)c
α∈I
(Aα)c^ ,
α∈I
Aα
)c
α∈I
(Aα)c^. (1.19)
Essas ´ultimas rela¸c˜oes s˜ao conhecidas como regras de De Morgan^3. 2
Uma no¸c˜ao que usaremos repetidas vezes ´e a de parti¸c˜ao de um conjunto. Seja X um conjunto n˜ao-vazio e seja P = {Pλ, λ ∈ Λ} uma cole¸c˜ao de subconjuntos de X (que indexamos por um conjunto de ´ındices Λ). Dizemos que P ´e uma parti¸c˜ao de X se
a) Pλ ∩ Pλ′ = ∅ sempre que λ 6 = λ′.
b)
λ∈Λ
Pλ = X.
E evidente que uma cole¸´ c˜ao P de subconjuntos de X ´e uma parti¸c˜ao de X se e somente se cada x ∈ X pertence a um e somente um conjunto Pλ. Se P ´e uma parti¸c˜ao de X dizemos, um tanto pictoriamente, que P particiona X.
- Propriedades elementares de fun¸c˜oes
As seguintes proposi¸c˜oes s˜ao importantes e freq¨uentemente usadas:
Proposi¸c˜ao 1.2 Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao e seja Λ um conjunto de ´ındices. Se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, ent˜ao
f
λ∈Λ
Aλ
λ∈Λ
f (Aλ) , (1.20)
mas
f
λ∈Λ
Aλ
λ∈Λ
f (Aλ). (1.21)
Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, ent˜ao
f −^1
λ∈Λ
Bλ
λ∈Λ
f −^1 (Bλ) , (1.22)
e
f −^1
λ∈Λ
Bλ
λ∈Λ
f −^1 (Bλ). (1.23)
(^3) Augustus De Morgan (1806–1871).
Se lembrarmos que uma fun¸c˜ao F : A → B ´e um subconjunto de A × B e que uma fun¸c˜ao G : A′^ → B ´e um subconjunto de A′^ × B e se notarmos que A × B ⊂ A′^ × B caso A ⊂ A′, ent˜ao uma defini¸c˜ao alternativa de extens˜ao seria seguinte: uma fun¸c˜ao G ´e uma extens˜ao de uma fun¸c˜ao F se F ⊂ G, ambas entendidas como subconjuntos de A′^ × B.
E. 1.4 Exerc´ıcio. Verifique a equivalˆencia dessas duas defini¸c˜oes do conceito de extens˜ao de fun¸c˜oes. 6
Como veremos, o conceito de extens˜ao de fun¸c˜oes ´e freq¨uentemente empregado na teoria dos operadores lineares em espa¸cos de Hilbert.
1.1.1.1 Produtos Cartesianos Gerais
Vamos agora generalizar a no¸c˜ao de produto Cartesiano e, para tal, precisamos primeiramente de um axioma da teoria dos conjuntos que nos afirme que o objeto que procuramos de fato existe.
Toda a Matem´atica ´e assentada sobre uma s´erie de postulados a respeito da no¸c˜ao de conjunto. Esses postulados, que s˜ao tamb´em freq¨uentemente denominados axiomas, s˜ao afirma¸c˜oes tacitamente aceitas como verdadeiras a partir das quais outras afirma¸c˜oes podem ser deduzidas. H´a diversos de tais axiomas na Teoria dos Conjuntos (vide, e.g., [167], [65] ou [122]) e, por simplicidade, evitamos de list´a-los e discut´ı-los neste texto. Faremos, no entanto, uma exce¸c˜ao no caso do chamado Axioma da Escolha. O Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa:
Seja As, s ∈ I, uma fam´ılia de conjuntos n˜ao-vazios, onde I ´e um conjunto arbitr´ario (n˜ao-vazio) de ´ındices. Ent˜ao, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada conjunto As. Em termos mais
t´ecnicos, o axioma diz que h´a fun¸c˜oes F : I →
s∈I
As tais que F (s) ∈ As para todo s ∈ I.
Como discutiremos, o Axioma da Escolha afirma que o produto Cartesiano ×
s∈I
As ´e n˜ao-vazio.
A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, por´em, que, sobretudo pelo fato de o conjunto I de ´ındices ser arbitr´ario (podendo ser at´e um conjunto infinito e n˜ao-cont´avel), a afirmativa que o mesmo cont´em n˜ao pode ser derivada de princ´ıpios mais b´asicos. O axioma faz uma afirma¸c˜ao de existˆencia (de uma fun¸c˜ao como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos escolhidos de cada As) que, geralmente, n˜ao pode ser demonstrada construtivamente, ou seja, por exibi¸c˜ao expl´ıcita de uma tal fun¸c˜ao F ou de um conjunto A.
Faremos uso expl´ıcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos n˜ao-mensur´aveis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo^4 em 1904 como parte da sua demonstra¸c˜ao do chamado Princ´ıpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, p´agina 34. Vide [65].
Uma t´ıpica situa¸c˜ao na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando s˜ao dados um conjunto X e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia E em X e constr´oi-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um representante de cada classe de equivalˆencia de X por E.
Nem sempre ´e poss´ıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situa¸c˜ao ocorre, tome-se o exemplo dado em (1.26), p´agina 30 e construa-se um conjunto tomando um elemento de cada classe de equivalˆencia l´a descrita. Tal conjunto desempenha um papel na teoria da medida. Vide Cap´ıtulo 23, p´agina 1023, em particular a Se¸c˜ao 23.1.
- O produto Cartesiano de uma fam´ılia arbitr´aria de conjuntos
J´a discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: A × B e com ele introduzimos a no¸c˜ao de fun¸c˜ao. De posse dessa no¸c˜ao podemos, com vistas a uma generaliza¸c˜ao, apresentar uma outra vis˜ao do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que A × B ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : { 1 , 2 } → A ∪ B tais que f (1) ∈ A e f (2) ∈ B. A id´eia ´e dizer que cada par ordenado (a, b) com a ∈ A e b ∈ B ´e uma fun¸c˜ao onde o primeiro membro do par ´e a imagem de 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa id´eia permite definir produtos Cartesianos de um n´umero finito n de conjuntos A 1 , A 2 ,... , An denotado por A 1 ×A 2 ×.. .×An
(^4) Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871–1953).
como sendo o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : { 1 , 2 ,... , n} →
⋃^ n
j=
Aj satisfazendo f (j) ∈ Aj para todo j ∈ { 1 ,... , n}.
A fun¸c˜ao f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos de
⋃^ n
j=
Aj tomando-se sucessivamente um elemento de
cada Ai por vez. O produto Cartesiano A 1 × A 2 ×... × An ´e assim entendido como o conjunto formado por todas as ˆenuplas ordenadas (a 1 ,... , an) com ai ∈ Ai.
Essa id´eia pode ser generalizada ainda mais. Sejam I um conjunto n˜ao-vazio (n˜ao necessariamente finito ou enu- mer´avel) e Ai, i ∈ I, conjuntos n˜ao-vazios indexados por elementos de I. Definimos ent˜ao o produto Cartesiano da
fam´ılia de conjuntos {Ai, i ∈ I}, denotado por
i∈I Ai, como sendo o conjunto de todas as fun¸c˜oes^ f^ :^ I^ →^
j∈I
Aj
tais que f (x) ∈ Ax para todo x ∈ I. O Axioma da Escolha (p´agina 27) consiste na afirma¸c˜ao (ou melhor dizendo, na
suposi¸c˜ao, j´a que se trata de um axioma) que ×
i∈I
Ai ´e n˜ao-vazio. Em s´ımbolos
×
i∈I
Ai :=
f : I →
j∈I
Aj
f (x) ∈ Ax para todo x ∈ I
Se por ventura todos os conjuntos Ai forem idˆenticos ent˜ao denota-se o produto Cartesiano acima por AI^. Assim, AI^ denota o conjunto de todas as fun¸c˜oes de I em A.
Desta forma N × N e N{^1 ,^2 }^ s˜ao duas nota¸c˜oes distintas para o mesmo objeto, que tamb´em ´e denotado simplesmente por N^2 , como se sabe. Genericamente Nd^ designa N{^1 ,...,d}^ para d ∈ N, d > 0.
Ainda sobre a nota¸c˜ao, o produto Cartesiano ×
i∈I
Ai ´e tamb´em denotado por
i∈I
Ai. Um elemento de
i∈I
Ai ou
×
i∈I
Ai ser´a denotado por ×
i∈I
(ai). Assim, se I = { 1 ,... , n} teremos
∏
i∈I
Ai = ×
i∈I
Ai = A 1 × · · · × An e ×
i∈I
(ai) =
a 1 ,... , an
- Coment´ario sobre a associatividade do produto Cartesiano
Dados trˆes conjuntos A 1 , A 2 e A 3 podemos, empregando as defini¸c˜oes acima, definir os produtos Cartesianos A 1 ≡
A 1 ×
A 2 × A 3
, A 2 ≡
A 1 × A 2
× A 3 e A 3 ≡ A 1 × A 2 × A 3. Em princ´ıpio A 1 , A 2 e A 3 s˜ao trˆes s˜ao objetos matem´aticos
distintos. Existem, no entanto, mapeamentos canˆonicos bijetivos entre eles (encontre-os!) e, por essa raz˜ao, a distin¸c˜ao entre A 1 , A 2 e A 3 ´e freq¨uentemente ignorada. Dessa forma, com um certo abuso de linguagem, produto Cartesiano ´e por vezes tomado como sendo associativo, ainda que, estritamente falando, n˜ao o seja.
1.1.1.2 Rela¸c˜oes de Compatibilidade e de Incompatibilidade
Seja P um conjunto n˜ao-vazio. Uma rela¸c˜ao C ⊂ P × P que satisfa¸ca
- Reflexividade: Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) ∈ C.
- Simetria: Se γ e γ′^ s˜ao tais que (γ, γ′) ∈ C, ent˜ao (γ′, γ) ∈ C,
´e dita ser uma rela¸c˜ao de compatibilidade ou tamb´em uma rela¸c˜ao de incompatibilidade^5.
(^5) Na linguagem comum, as palavras compatibilidade e incompatibilidade s˜ao antˆonimos, mas enquanto rela¸c˜oes, s˜ao caracterizadas pelas mesmas propriedades e usar uma ou outra depende apenas do sentido positivo ou negativo que se deseja imprimir `a rela¸c˜ao. Ilustremos isso com um exemplo. Se duas pessoas possuem uma aspira¸c˜ao comum, podemos tanto dizer que essas pessoas s˜ao compat´ıveis quanto incompat´ıveis. Diremos que s˜ao compat´ıveis se a aspira¸c˜ao comum puder ser satisfeita de modo n˜ao conflituoso (por exemplo, se for a aspira¸c˜ao pela vit´oria de um mesmo time de futebol), mas diremos que s˜ao incompat´ıveis se a aspira¸c˜ao comum s´o puder ser satisfeita de modo conflituoso (por exemplo, se for a aspira¸c˜ao por uma vaga de emprego ´unica em uma empresa).
E. 1.7 Exerc´ıcio. Seja o conjunto dos n´umeros reais R e seja a rela¸c˜ao W ⊂ R × R definida por
W :=
(x, y) ∈ R × R tal que x − y ∈ Q
onde Q ´e o conjunto dos n´umeros racionais. Prove que W ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. 6
1.1.1.4 Rela¸c˜oes de Ordem
Tamb´em muito importantes s˜ao as chamadas rela¸c˜oes de ordem, que existem em diversas formas.
Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma rela¸c˜ao R ⊂ X × X ´e dita ser uma rela¸c˜ao de pr´e-ordenamento em X, ou uma rela¸c˜ao de quase-ordem em X, ou simplesmente uma pr´e-ordem em X, se as seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:
- Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R.
- Transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R ent˜ao (a, c) ∈ R.
Se X possui uma pr´e-ordem R, X ´e dito ser um conjunto pr´e-ordenado, ou um conjunto quase-ordenado, por R. E costume, dada uma rela¸´ c˜ao de pr´e-ordenamento R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atrav´es da nota¸c˜ao a ≺R b, ou, de forma mais simplificada, atrav´es da nota¸c˜ao a ≺ b. Usando o s´ımbolo ≺ as condi¸c˜oes definidoras de uma rela¸c˜ao de ordem se escrevem como
- Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que a ≺ a.
- Transitividade: se a ≺ b e b ≺ c ent˜ao a ≺ c.
Tamb´em denota-se a rela¸c˜ao a ≺ b por b ≻ a. Rela¸c˜oes de pr´e-ordem s˜ao importantes na defini¸c˜ao do conceito de conjunto dirigido, que ser´a desenvolvida logo abaixo. A no¸c˜ao de conjunto dirigido, por sua vez, ´e importante na defini¸c˜ao da no¸c˜ao de rede, de importˆancia na Topologia Geral (vide Se¸c˜ao 25.3, p´agina 1071).
- Rela¸c˜ao de ordem parcial
Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma rela¸c˜ao R ⊂ X × X ´e dita ser uma rela¸c˜ao de ordem parcial em X, ou simplesmente uma rela¸c˜ao de ordem em X, se as seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:
- Reflexividade: para todo a ∈ X vale que (a, a) ∈ R.
- Transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R ent˜ao (a, c) ∈ R.
- Anti-Simetria: Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R ent˜ao for¸cosamente a = b.
Se X possui uma ordem parcial R, X ´e dito ser um conjunto parcialmente ordenado por R. Em textos matem´aticos em l´ıngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados s˜ao freq¨uentemente denominados posets (de “partially ordered sets”). A no¸c˜ao de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida por Hausdorff^7. Como se percebe, uma rela¸c˜ao de ordem parcial ´e uma rela¸c˜ao de pr´e-ordem dotada ainda da propriedade de anti-simetria. Mais adiante veremos exemplos de rela¸c˜oes de pr´e-ordenamento que n˜ao s˜ao rela¸c˜oes de ordem parcial. Veremos tamb´em na Proposi¸c˜ao, 1.5, p´agina 31, adiante, que ´e sempre poss´ıvel construir um conjunto parcialmente ordenado a partir de um conjunto pr´e-ordenado.
Exemplo de uma rela¸c˜ao de ordem parcial. Seja X um conjunto e P(X) a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X.
Podemos estabelecer em P(X) uma rela¸c˜ao R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como
exerc´ıcio deixamos ao estudante mostrar que esta ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial de acordo com a defini¸c˜ao acima. Este exemplo ilustra tamb´em por que chamar tal rela¸c˜ao de ordem de “parcial”. A raz˜ao ´e que nem todo par (A, B) ´e
(^7) Felix Hausdorff (1868–1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional- socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentra¸c˜ao.
elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitr´arios, nem sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (tal ´e o caso, por exemplo, se A ∩ B = ∅).
Em fun¸c˜ao da analogia a rela¸c˜ao de ordem usual dos n´umeros reais ´e costume, dada uma rela¸c˜ao de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atrav´es da nota¸c˜ao a R b ou, de forma mais simplificada, atrav´es da nota¸c˜ao a b. Por vezes, o s´ımbolo ≤ ´e tamb´em usado, mas tentaremos empreg´a-lo apenas para denotar a rela¸c˜ao de ordem usual entre n´umeros reais. Usando o s´ımbolo as condi¸c˜oes definidoras de uma rela¸c˜ao de ordem se escrevem como
- Reflexividade: para todo a ∈ X tem-se que a a.
- Transitividade: se a b e b c ent˜ao a c.
- Anti-Simetria: se a b e b a ent˜ao for¸cosamente a = b.
Tamb´em denota-se a rela¸c˜ao a b por b a.
- Obtendo conjuntos ordenamentos parcialmente de conjuntos pr´e-ordenados
Como observamos acima, todo conjunto parcialmente ordenado ´e pr´e-ordenado. A proposi¸c˜ao que segue mostra que de todo conjunto pr´e-ordenado ´e poss´ıvel construir um conjunto parcialmente ordenado.
Proposi¸c˜ao 1.5 Seja X um conjunto n˜ao-vazio dotado de uma rela¸c˜ao de pr´e-ordenamento ≺. Ent˜ao, podemos definir uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X declarando que x ∼ y se x ≺ y e y ≺ x, onde x e y pertencem a X. Seja X a cole¸c˜ao de classes de equivalˆencia de X por essa rela¸c˜ao de equivalˆencia. Ent˜ao X ´e parcialmente ordenado pela rela¸c˜ao de ordem parcial definida da seguinte forma: [x] [y] se x ≺ y, onde [z] denota a classe de equivalˆencia `a qual pertence um elemento z ∈ X. 2
Prova. Primeiramente, provemos a afirma¸c˜ao que ∼, definida no enunciado, estabelece uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X. Que x ∼ x para todo x ∈ X ´e evidente pela propriedade de reflexividade do pr´e-ordenamento ≺. Que y ∼ x caso x ∼ y ´e evidente pela defini¸c˜ao. Por fim, se x ∼ y e y ∼ z, ent˜ao valem 1) x ≺ y; 2) y ≺ x; 3) y ≺ z; 4) z ≺ y. Pela propriedade de transitividade do pr´e-ordenamento ≺, 1 e 3 implicam x ≺ z e 2 e 4 implicam z ≺ x, estabelecendo que x ∼ z.
Com a rela¸c˜ao de equivalˆencia acima, X quebra-se em classes de equivalˆencia. Denotemos por X a cole¸c˜ao dessas classes e denotemos por [x] a classe a qual pertence x ∈ X. Conforme o enunciado, podemos estabelecer em X uma rela¸c˜ao de ordem parcial declarando que [x] [y] se x ≺ y. Provemos essa afirma¸c˜ao. Primeiramente, notemos que est´a realmente definida nas classes, ou seja, independe dos representantes tomadas nas mesmas. De fato, se x′^ ∼ x e [x] [y], ent˜ao x′^ ≺ x e x ≺ y. Pela propriedade de transitividade do pr´e-ordenamento ≺ segue que x′^ ≺ y. Analogamente, se y′^ ∼ y e [x] [y], ent˜ao x ≺ y e y ≺ y′. Pela propriedade de transitividade do pr´e-ordenamento ≺ segue que x ≺ y′.
Provemos agora que ´e realmente uma ordem parcial. Que [x] [x] para todo x ∈ X (e, portanto, para todo elemento de X) ´e evidente pela propriedade de reflexividade do pr´e-ordenamento ≺. Se [x] [y] e [y] [z], ent˜ao x ≺ y e y ≺ z. Pela propriedade de transitividade do pr´e-ordenamento ≺, segue que x ≺ z, estabelecendo que [x] [z]. Por fim, se [x] [y] e [y] [x], ent˜ao x ≺ y e y ≺ x. Logo, x ∼ y e, conseq¨uentemente, [x] = [y].
Outro conceito importante ´e o de rela¸c˜ao de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X ´e dita ser uma rela¸c˜ao de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R. Se X possui uma rela¸c˜ao de ordem total R ent˜ao X ´e dito ser totalmente ordenado ou linearmente ordenado. Assim, se X ´e um conjunto dotado de uma rela¸c˜ao de ordem parcial, dizemos que um subconjunto A ⊂ X ´e linearmente ordenado se a b ou b a para todo a, b ∈ A.
Exemplo. Seja R o conjunto de n´umeros reais e a rela¸c˜ao de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um n´umero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa ´e uma rela¸c˜ao de ordem total em R.
menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a ≺ c e b ≺ c.
Exemplo. Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Temos em P(X) uma rela¸c˜ao de ordem parcial parcial (de inclus˜ao) dizendo
que A B se A ⊆ B. Essa rela¸c˜ao de ordem faz de P(X) um conjunto dirigido, pois para quaisquer A e B ⊂ X tem-se,
naturalmente, A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B.
Exemplo. Sejam A e X dois conjuntos n˜ao-vazios e seja em P(A) × X a rela¸c˜ao de pr´e-ordenamento (A, x) ≺ (B, y)
se A ⊂ B. O conjunto P(A) × X ´e dirigido por esse pr´e-ordenamento, pois se (A, x) e (B, y) ∈ P(A) × X ent˜ao
(A, x) ≺ (A ∪ B, z) e (B, z) ≺ (A ∪ B, z) para qualquer z ∈ X.
Exemplo. Todo conjunto dotado de uma rela¸c˜ao de ordem total ´e um conjunto dirigido em rela¸c˜ao a essa rela¸c˜ao de ordem. Justifique!
Exemplo. R ´e um conjunto dirigido com a rela¸c˜ao de ordem usual.
Exemplo. R ´e um conjunto dirigido com a rela¸c˜ao de ordem r−i definida acima.
Exemplo. Seja o conjunto Rn, n = 1, 2 ,.. ., e seja I o conjunto de todos os abertos limitados de Rn^ (um conjunto ´e limitado se for subconjunto de alguma bola aberta de raio finito centrada na origem). Mostre que I ´e um conjunto dirigido pela rela¸c˜ao de ordem de inclus˜ao: A B se A ⊂ B. Note que essa rela¸c˜ao de ordem n˜ao ´e uma rela¸c˜ao de ordem total.
Exemplo. Causalidade de Einstein. Seja M^4 o espa¸co-tempo quadri-dimensional de Minkowski e sejam E 0 = (t 0 , x 0 , y 0 , z 0 )
e E 1 = (t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) dois eventos em M^4. Dizemos que o evento E 0 precede causalmente o evento E 1 , (em nota¸c˜ao
simb´olica E 0 Einstein E 1 ), se t 0 ≤ t 1 e se
c^2 (t 1 − t 0 )^2 − (x 1 − x 0 )^2 − (y 1 − y 0 )^2 − (z 1 − z 0 )^2 ≥ 0 ,
onde c ´e a velocidade da luz.
E. 1.12 Exerc´ıcio. Mostre que Einstein ´e uma rela¸c˜ao de ordem em M^4 e que M^4 ´e um conjunto dirigido por essa rela¸c˜ao.
Contra-Exemplo. Seja X um conjunto n˜ao-vazio e seja I = P(X)\ {X}, ou seja, I ´e a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de
X, exceto o pr´oprio X. Podemos ter em I uma rela¸c˜ao de ordem (de inclus˜ao) dizendo que A B se A ⊆ B. Notemos, por´em, que I n˜ao ´e um conjunto dirigido pois para A ∈ I, A 6 = ∅ temos X \ A ∈ I mas n˜ao existe em I nenhum conjunto que contenha A e X \ A simultaneamente como subconjuntos.
Seja I um conjunto dirigido com respeito `a uma rela¸c˜ao de pr´e-ordenamento ≺. Se M ´e um conjunto n˜ao-vazio, uma fun¸c˜ao f : I → M ´e denominada uma rede em M baseada no conjunto dirigido I com respeito a ≺ ou, simplesmente, uma rede em M.
Uma seq¨uˆencia em M ´e uma rede baseada em N, que ´e um conjunto dirigido com respeito `a ordem usual dos naturais, ou seja, ´e uma fun¸c˜ao f : N → M.
A no¸c˜ao de rede ´e importante, por exemplo, no estudo de fun¸c˜oes cont´ınuas em espa¸cos topol´ogicos gerais e na defini¸c˜ao da no¸c˜ao de convergˆencia (vide Cap´ıtulo 25, p´agina 1068).
Se f : N → M ´e uma seq¨uˆencia em M , os elementos f (n) de sua imagem s˜ao freq¨uentemente denotados por uma nota¸c˜ao com ´ındices: fn. E tamb´´ em comum denotar-se a pr´opria seq¨uˆencia por {fn, n ∈ N} ou por {fn}n∈N, que, estritamente falando, representam a imagem de f em M.
Se X ´e um conjunto dotado de uma rela¸c˜ao de ordem parcial (que denotamos por ) diz-se que um elemento z ∈ X ´e um m´aximo de X se x z para todo x ∈ X. Se z e z′^ s˜ao m´aximos de X ent˜ao, por hip´otese, valem ambas as rela¸c˜oes z z′^ e z′^ z, o que implica z = z′. Assim, se X possuir um m´aximo ele ´e ´unico, e ´e denotado por max(X).
Se A ⊂ X, a rela¸c˜ao de ordem parcial em X induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial em A. Com essa rela¸c˜ao, podemos definir max(A), se existir, como o elemento de A tal que a max(A) para todo a ∈ A. Note que, por defini¸c˜ao, max A ∈ A.
Analogamente, um elemento a ´e dito ser um m´ınimo de X se a x para todo x ∈ X. Se a e a′^ s˜ao m´ınimos de X
ent˜ao, por hip´otese, valem ambas as rela¸c˜oes a a′^ e a′^ a, o que implica a = a′. Assim, se X possuir um m´ınimo ele ´e ´unico, e ´e denotado por min(X).
- Elementos maximais e minimais
Seja X um conjunto dotado de uma rela¸c˜ao de ordem parcial (que denotamos por ). Um elemento z ∈ X ´e dito ser um elemento maximal se n˜ao existir x ∈ X, x 6 = z tal que z x. Um elemento a ∈ X ´e dito ser um elemento minimal se n˜ao existir x ∈ X, x 6 = a tal que x a. Os elementos maximais e minimais de um conjunto parcialmente ordenado X, se existirem, n˜ao s˜ao necessariamente unicos, como mostra o seguinte exemplo.´
E. 1.13 Exerc´ıcio-Exemplo. Considere no plano R^2 o quadrado fechado Q = [0, 1] × [0, 1], ou seja, os elementos de Q s˜ao pares ordenados (x, y) ∈ R^2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Estabelecemos em Q uma rela¸c˜ao de ordem (parcial!) da seguinte forma: (x, y) (x′, y′) se x = x′^ e se y ≤ y′. Em palavras, (x, y) (x′, y′) se ambos os pontos estiverem em uma mesma linha vertical, mas (x, y) estiver mais baixo que (x′, y′). Cheque que isso ´e, de fato, uma rela¸c˜ao de ordem, mas que n˜ao ´e uma ordem total, pois n˜ao se pode comparar pontos que est˜ao em linhas verticais diferentes.
Com essa defini¸c˜ao conven¸ca-se que todos os elementos da forma (x, 1) s˜ao maximais. Por´em, se x for diferente de x′, n˜ao se pode nem dizer que (x, 1) (x′, 1) nem que (x′, 1) (x, 1). Igualmente, conven¸ca-se que todos os elementos da forma (x, 0) s˜ao minimais.
Note tamb´em que para a existˆencia de elementos maximais ´e importante que Q contenha pontos na aresta de cima e (com coordenada y = 1), analogamente, para a existˆencia de elementos minimais ´e importante que Q contenha pontos aresta de baixo (com coordenada y = 0). Por exemplo, se vocˆe definir a mesma rela¸c˜ao de ordem no quadrado aberto (0, 1) × (0, 1) n˜ao h´a mais elementos maximais ou minimais. 6
Se um conjunto n˜ao-vazio e parcialmente ordenado X possuir um ´unico elemento maximal, este elemento ´e denominado o maior elemento de X. Reciprocamente, se um conjunto n˜ao-vazio e parcialmente ordenado X possuir um ´unico elemento minimal, este elemento ´e denominado o menor elemento de X.
Um conjunto X dotado de uma rela¸c˜ao de ordem parcial ´e dito ser um conjunto bem-ordenado se todo subconjunto A n˜ao vazio de X tem um elemento m´ınimo em A.
E. 1.14 Exerc´ıcio.^ Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma rela¸c˜ao parcial de ordem ´e tamb´em totalmente ordenado segundo a mesma rela¸c˜ao. 6
E. 1.15 Exerc´ıcio. A rec´ıproca n˜ao ´e, entretanto, verdadeira. Mostre que R ´e totalmente ordenado pela rela¸c˜ao usual de ordem entre n´umeros reais, mas n˜ao ´e um conjunto bem-ordenado. 6
E. 1.16 Exerc´ıcio. Mostre que o conjunto dos n´umeros naturais N ´e bem-ordenado. 6
A importˆancia de conjuntos bem-ordenados ´e que a eles se aplica uma generaliza¸c˜ao do bem-conhecido m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica, muito empregado em demonstra¸c˜oes de teoremas, denominada princ´ıpio de indu¸c˜ao transfinita. O estudante interessado encontrar´a em [65] uma excelente referˆencia introdut´oria. Nesta mesma referˆencia o estudante interessado encontrar´a uma demonstra¸c˜ao do seguinte e importante resultado, devido a Zermelo^8 :
Teorema 1.1 (Teorema do Bom-Ordenamento) Se X ´e um conjunto n˜ao-vazio ent˜ao ´e poss´ıvel encontrar uma rela¸c˜ao de ordem em X tal que X ´e bem-ordenado por essa rela¸c˜ao. 2
Incidentalmente, o Teorema 1.1 junto com a afirma¸c˜ao do Exerc´ıcio E. 1.14 informam que todo conjunto n˜ao-vazio possui ao menos uma rela¸c˜ao de ordem total.
(^8) Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871–1953).
Lema 1.1 (Lema de Kuratowski-Zorn) Seja X um conjunto n˜ao-vazio e uma rela¸c˜ao de ordem parcial em X. Suponha que todo subconjunto linearmente ordenado de X tenha pelo menos um majorante em X. Ent˜ao, todo subconjunto linearmente ordenado de X tem algum majorante em X que ´e tamb´em um elemento maximal de X. Implicitamente isso est´a dizendo que, sob as hip´oteses, X possui ao menos um elemento maximal. 2
Para uma demonstra¸c˜ao do Lema de Zorn, vide, por exemplo, [65].
E. 1.20 Exerc´ıcio. Verifique que se X = [0, 1] ´e ordenado pela rela¸c˜ao de ordem usual todo subconjunto de X tem um majorante em X e que 1 ´e um desses poss´ıveis majorantes. Verifique que 1 ´e um elemento maximal de X. 6
E. 1.21 Exerc´ıcio. Verifique que se X = [0, 1) ´e linearmente ordenado pela rela¸c˜ao de ordem usual e nem todo subconjunto de X tem um majorante em X (tente, por exemplo, subconjuntos do tipo [a, 1) com 0 ≤ a < 1 ). Verifique que X n˜ao tem um elemento maximal. 6
E. 1.22 Exerc´ıcio. Cheque se as hip´oteses do Lema de Zorn s˜ao satisfeitas ou n˜ao nos quadrados abertos e fechados do Exemplo E. 1.13, p´agina 34. 6
O Lema de Zorn ´e “equivalente” ao chamado Axioma da Escolha (vide p´agina 27), ou seja, admitir um como verdadeiro leva a demonstrar a validade do segundo. Essa equivalˆencia n˜ao ser´a provada aqui (vide, por exemplo, [65]). Toda a Matem´atica usual ´e fundada na aceita¸c˜ao de um ou de outro como verdadeiro e, em princ´ıpio, uma nova Matem´atica pode ser constru´ıda (com resultados distintos dos da Matem´atica usual) se esses dois axiomas forem substitu´ıdos por um terceiro inequivalente. A relevˆancia de tais Matem´aticas em F´ısica ´e uma quest˜ao em aberto.
1.1.2 Cardinalidade
- A no¸c˜ao de cardinalidade de conjuntos
Seja K uma cole¸c˜ao de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B da cole¸c˜ao K, dizemos que A e B s˜ao equivalentes se houver uma fun¸c˜ao bijetora de A sobre B, ou seja, se houver uma fun¸c˜ao com dom´ınio igual a A e imagem igual a B tal que a cada elemento b ∈ B existe um ´unico elemento a ∈ A com f (a) = b.
E. 1.23 Exerc´ıcio. Mostre que essa ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre os conjuntos da cole¸c˜ao K. 6
Para dois conjuntos que s˜ao equivalentes no sentido acima diz-se tamb´em que os mesmos tˆem a mesma cardinalidade. Ou seja, dois conjuntos tˆem a mesma cardinalidade se e somente se houver uma fun¸c˜ao bijetora entre eles.
Um conjunto A ´e dito ter n elementos (para um n´umero natural n) se for equivalente ao conjunto { 1 ,... , n}.
Nota. Esta ´ultima defini¸c˜ao pressup˜oe que o conceito de n´umero natural j´a seja conhecido. Outra constru¸c˜ao mais simples em termos de pressupostos ´e feita de modo informal como segue: diz-se que um conjunto tem um elemento se for equivalente ao conjunto {∅}; que um conjunto tem dois elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅}}; que tem trˆes elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim por diante. Em verdade essa constru¸c˜ao permite produzir uma defini¸c˜ao do conceito de n´umero natural: o n´umero “um” ´e, grosseiramente falando, o nome dado a classe de equivalˆencia formada pelos conjuntos equivalentes ao conjunto {∅}; o n´umero “dois” ´e o nome dadoa classe de equivalˆencia do conjunto {∅, {∅}}; o n´umero “trˆes” ´e nome dado a classe de equivalˆencia do conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim por diante. Ali´as, o n´umero “zero” ´e o nome dadoa classe de equivalˆencia de ∅. O n´umeros naturais seriam ent˜ao o conjunto de todas as classes de equivalˆencia constru´ıdas dessa forma. Esta defini¸c˜ao^12 do conceito de n´umero natural, devida a von Neumann^13 , pressup˜oe apenas conhecidos conceitos primitivos como os de conjuntos, classes de equivalˆencia e de conjunto vazio. O leitor poder´a encontrar uma discuss˜ao extensa sobre a defini¸c˜ao de n´umeros naturais em [167, 122, 65].
Diz-se que um conjunto A ´e finito se tiver a cardinalidade de { 1 ,... , n} para algum n ∈ N. A ´e dito ser infinito se n˜ao for finito.
E. 1.24 Exerc´ıcio. Seja A um conjunto finito com n elementos. Mostre que P(A) tem 2 n^ elementos. 6
(^12) J. von Neumann “Zur Einf¨uhrung transfiniten Zahlen”, Acta Szeged 1 , 199–208 (1923). (^13) J´anos von Neumann (1903–1957). Von Neumann tamb´em adotou os nomes de Johann von Neumann e John von Neumann.
- Conjuntos enumer´aveis e conjuntos cont´aveis
Um conjunto A ´e dito ser enumer´avel se tiver a cardinalidade do conjunto dos n´umeros naturais N, ou seja, se existir uma fun¸c˜ao bijetora f : N → A cujo dom´ınio ´e N e cuja imagem ´e todo A. Conjuntos enumer´aveis n˜ao s˜ao finitos. Um conjunto A ´e dito ser cont´avel se for finito ou se for enumer´avel. Advertimos o estudante para o fato de que alguns autores usam a palavra enumer´avel mesmo para conjuntos finitos. Evitaremos fazˆe-lo aqui, agarrando-nos `as defini¸c˜oes de acima.
Vamos agora provar alguns teoremas fundamentais sobre conjuntos cont´aveis (cuja importˆancia, apesar da aparente simplicidade dos enunciados, n˜ao pode ser subestimada pois seu alcance estende-se por toda a Matem´atica, em particular, por muito do que veremos no restante do curso).
Precisamos da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 1.6 Um conjunto ´e cont´avel se e somente se for equivalente a um subconjunto de N. 2
Prova. Por defini¸c˜ao todo conjunto cont´avel A (finito ou n˜ao) ´e equivalente a algum subconjunto de N (no pior dos casos ao pr´oprio N). Provemos ent˜ao a rec´ıproca. Seja A equivalente a um subconjunto K de N. Se K for finito, A tamb´em o ser´a e, portanto, ser´a cont´avel. Suponhamos ent˜ao que K n˜ao ´e finito. Vamos construir uma fun¸c˜ao bijetora F : N → K. A mesma ´e definida da seguinte forma
F (1) = min K ,
F (n) = min
K \
F (1), F (2),... , F (n − 1)
, para n = 2, 3 ,....
E f´^ ´ acil ver que F ´e bijetora e que sua imagem ´e K (fa¸ca isso). Assim, K ´e enumer´avel e, portanto, A tamb´em o ´e.
Esta proposi¸c˜ao tem uma conseq¨uˆencia simples:
Proposi¸c˜ao 1.7 Se A ´e um conjunto cont´avel e B ⊂ A ent˜ao B ´e cont´avel. 2
Prova. Se A ´e cont´avel e B ⊂ A ent˜ao B ´e equivalente a um subconjunto de N e, portanto, pela proposi¸c˜ao anterior, B ´e cont´avel.
Chegamos a um importante resultado:
Proposi¸c˜ao 1.8 O produto Cartesiano N × N ´e enumer´avel. 2
Prova. Seja a fun¸c˜ao G : N × N → N dada por G(a, b) = 2a 3 b. A imagem dessa fun¸c˜ao ´e um subconjunto pr´oprio de N mas essa fun¸c˜ao ´e bijetora: a cada elemento z de sua imagem h´a um e somente um par (a, b) de n´umeros naturais tais que 2a 3 b^ = z (por quˆe?). Assim, fica provado pela Proposi¸c˜ao 1.6 que N × N ´e cont´avel. Como N × N n˜ao ´e finito (por quˆe?), ´e um conjunto enumer´avel.
A Proposi¸c˜ao 1.8 tem uma conseq¨uˆencia de grande importˆancia:
Teorema 1.2 O conjunto Q+ dos n´umeros racionais positivos ´e um conjunto enumer´avel. 2
Prova. Todo racional positivo ´e da forma p/q, onde p e q ∈ N s˜ao irredut´ıveis ou primos entre si (ou seja, n˜ao h´a “cancelamentos” que permitam escrever p/q = a/b com a < p e b < q). Assim, h´a uma correspondˆencia um-a-um entre Q+ e o subconjunto de N × N formado por todos os pares (p, q) onde p e q s˜ao primos entre si. Como N × N ´e cont´avel, a Proposi¸c˜ao 1.7 diz ent˜ao que Q+ ´e tamb´em cont´avel e, em verdade, enumer´avel, por n˜ao ser finito.
E. 1.25 Exerc´ıcio. Prove que o conjunto dos n´umeros inteiros Z e o conjunto dos n´umeros racionais Q s˜ao conjuntos enumer´aveis. 6
Ainda sobre os n´umeros reais, tem-se tamb´em o seguinte fato, que para referˆencia futura formulamos como uma proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 1.9 R e R^2 tˆem a mesma cardinalidade. 2
Prova. E suficiente mostrar que (0´ , 1) e (0, 1) × (0, 1) tˆem a mesma cardinalidade, pois a fun¸c˜ao x → (1 + tanh(x))/ 2 ´e uma bije¸c˜ao de R em (0, 1). Fixemos para cada x ∈ (0, 1) uma representa¸c˜ao decimal x = 0, d 1 d 2 d 3... com dn ∈ { 0 ,... , 9 }. Seja F : (0, 1) → (0, 1) × (0, 1) definida por
F (0, d 1 d 2 d 3 d 4.. .) := ( 0, d 1 d 3 d 5 d 7... , 0 , d 2 d 4 d 6 d 8... ).
F ´e bijetora e F −^1 : (0, 1) × (0, 1) → (0, 1) ´e dada por
F −^1 (( 0, a 1 a 2 a 3 a 4... , 0 , b 1 b 2 b 3 b 4... )) = 0, a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4....
Finalizamos com um outro teorema de grande importˆancia:
Teorema 1.4 Se Ci, i ∈ N, s˜ao conjuntos cont´aveis ent˜ao C =
i∈N
Ci tamb´em o ´e. 2
Prova. Se cada Ci ´e cont´avel ent˜ao para cada i ∈ N h´a uma fun¸c˜ao bijetora gi : N → Ci cuja imagem ´e Ci. Defina-se ent˜ao a fun¸c˜ao G : (N × N) → C dada por G(a, b) = ga(b). Esta fun¸c˜ao n˜ao ´e, em geral, bijetora, pois podem existir elementos comuns entre conjuntos Ci e Cj com i 6 = j e ter´ıamos gi(m) = gj (n) para algum n e m. Entretanto, a imagem de G ´e C.
Considere ent˜ao em N × N a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: o par (a, b) ´e equivalente ao par (c, d) se e somente se ga(b) = gc(d). O conjunto N × N pode ser ent˜ao, como j´a observamos, escrito como a uni˜ao disjunta de suas classes de equivalˆencia pela rela¸c˜ao acima. Construamos ent˜ao um subconjunto K de N × N tomando-se um e somente um elemento de cada classe de equivalˆencia escolhido arbitrariamente (usamos aqui o Axioma da Escolha para afirmar que tal constru¸c˜ao ´e poss´ıvel).
Defina agora a fun¸c˜ao H : K → C dada por H(a, b) = ga(b) para (a, b) ∈ K. Pela pr´opria constru¸c˜ao do conjunto K essa fun¸c˜ao H ´e bijetora e sua imagem ´e C. Como K ´e um subconjunto de N × N que ´e cont´avel, temos que K tamb´em o ´e e, portanto, C ´e cont´avel.
- N´umeros reais alg´ebricos e transcendentes
Na reta real diz-se que um n´umero x ´e um n´umero alg´ebrico se x for raiz de um polinˆomio do tipo
P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t^2 + · · · + antn^ ,
para algum n ∈ N, onde os coeficientes a 0 ,... , an s˜ao n´umeros racionais. Um tal polinˆomio ´e dito ser um polinˆomio racional.
Todo n´umero racional p/q ´e tamb´em alg´ebrico pois ´e raiz do polinˆomio racional p − qt. H´a tamb´em muitos n´umeros irracionais que s˜ao alg´ebricos. Por exemplo, o n´umero
2 ´e raiz do polinˆomio racional −2 + t^2 e, portanto, ´e alg´ebrico. Os n´umeros reais que n˜ao s˜ao alg´ebricos s˜ao chamados de n´umeros transcendentes.
E. 1.27 Exerc´ıcio. Prove que o conjunto de todos os n´umeros alg´ebricos da reta real ´e um conjunto enumer´avel. Use para tal o fato de que os racionais formam um conjunto enumer´avel. 6
O exerc´ıcio anterior pode ser usado para concluir que existem n´umeros transcendentes (que n˜ao s˜ao raiz de nenhum polinˆomio racional) pois os reais, como sabemos, n˜ao s˜ao cont´aveis enquanto, segundo o exerc´ıcio, os alg´ebricos o s˜ao. Deve, portanto, haver uma cole¸c˜ao n˜ao-cont´avel de n´umeros transcendentes na reta real.
Historicamente, a existˆencia de n´umeros transcendentes foi estabelecida (por outros argumentos) por Liouville^15 em
- Em 1874, Cantor^16 demonstrou a afirma¸c˜ao do exerc´ıcio acima, provando que o conjunto de todos os n´umeros alg´ebricos da reta real ´e um conjunto cont´avel.
E. 1.28 Exerc´ıcio. Seja A 0 = Q e A 1 o conjunto dos n´umeros alg´ebricos, definidos como o conjunto de todos os zeros reais
de polinˆomios com coeficientes racionais. Definimos A 2 como o conjunto de todos os zeros reais de polinˆomios com coeficientes
em A 1. Sucessivamente, definimos An, n ≥ 1 como o conjunto de todos os zeros reais de polinˆomios com coeficientes em
An− 1. Seja tamb´em A =
n=0 An. Mostre que todos os^ An^ e^ A^ s˜ao conjuntos cont´aveis e, portanto, subconjuntos pr´oprios
de R. 6
- Os n´umeros e e π s˜ao irracionais e transcendentes
Sabe-se que os n´umeros e e π s˜ao irracionais e transcendentes. As provas de que e e e^2 s˜ao irracionais foram primeiramente obtidas por Euler^17 em 1737. Uma prova que e ´e irracional pode ser encontrada nestas Notas `a p´agina 930 ou, por exemplo, em [161] ou [68].
A prova de que π ´e irracional n˜ao ´e t˜ao simples quanto a de que e ´e irracional. A demonstra¸c˜ao de que π ´e irracional foi primeiramente obtida por Lambert^18 em 1768 e consistiu em provar que se r ´e um n´umero racional n˜ao-nulo ent˜ao nem er^ nem tan(r) podem ser racionais. Como tan(π/4) = 1, que ´e racional, segue que π/4 deve ser irracional.
A demonstra¸c˜ao de que e ´e transcendente foi obtida pela primeira vez por Hermite^19 em 1873. A demonstra¸c˜ao de que π ´e transcendente foi obtida pela primeira vez por Lindemann^20 em 1882. Um fato de grande interesse ´e que provar que π ´e alg´ebrico seria equivalente^21 a resolver o c´elebre problema da quadratura do c´ırculo, que consiste em achar um m´etodo atrav´es do qual, “apenas com r´egua e compasso” constr´oi-se um quadrado cuja ´area ´e igual a de um c´ırculo de raio 1. Tal seria poss´ıvel caso houvessem meios de se construir um segmento de reta cujo comprimento seja
π. Esse problema cl´assico da geometria Euclidiana ficou em aberto por cerca de dois mil anos (!), tendo sido resolvido negativamente em 1882 por Lindemann quando este provou, justamente, que π n˜ao ´e um n´umero alg´ebrico, concluindo assim a impossibilidade da constru¸c˜ao proposta.
Para provas de que e ´e transcendente vide, por exemplo, [161] ou [68]. Para provas que π ´e irracional e transcendente e para uma s´erie de outros resultados congˆeneres, vide [68].
- Produtos Cartesianos e contabilidade
E interessante notar que produtos Cartesianos cont´^ ´ aveis de conjuntos cont´aveis n˜ao s˜ao, geralmente, conjuntos cont´aveis. Considere como exemplo o produto Cartesiano
K :=
i∈N
{ 0 , 1 } = { 0 , 1 }N^ ,
que ´e denominado espa¸co de Cantor^22. Podemos mostrar que K n˜ao ´e cont´avel. Cada elemento de K ´e uma fun¸c˜ao d : N → { 0 , 1 }. Podemos assim associar univocamente a cada d o n´umero real
∑^ ∞
n=
d(n) 10 n
que ´e um elemento do conjunto U ⊂ R definido acima. Por outro lado, todo elemento de U pode ser escrito assim para um ´unico d ∈ K. Assim, K e U tˆem a mesma cardinalidade e, portanto, K n˜ao ´e cont´avel pois U , como j´a vimos, n˜ao o ´e.
(^15) Joseph Liouville (1809–1882). (^16) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918). (^17) Leonhard Euler (1707–1783). (^18) Johann Heinrich Lambert (1728–1777). (^19) Charles Hermite (1822–1901). A prova original da transcendˆencia de e encontra-se em Comptes rendus, 77 , 18-24 (1873). (^20) Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939). A prova original da transcendˆencia de π encontra-se em Math. Ann. 20 , 213– (1882). (^21) Para uma bela discuss˜ao sobre isso, vide [38]. (^22) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918).
