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Cap´ıtulo 30
No¸c˜oes B´asicas Sobre Espa¸cos de Hilbert
Conte´udo
30.1 Aspectos Topol´ogicos B´asicos de Espa¸cos de Hilbert...................... 1347 30.2 Aspectos Geom´etricos B´asicos de Espa¸cos de Hilbert...................... 1349 30.2.1 Conjuntos Ortonormais Completos em Espa¸cos de Hilbert...................... 1352 30.2.2 Conjuntos Totais............................................. 1363 30.2.2.1 Um Exemplo no Espa¸co L^2 (R, dx)............................. 1364 30.3 Funcionais Lineares e o Dual Topol´ogico de um Espa¸co de Hilbert.............. 1367 30.3.1 O Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz................................. 1368 30.4 Exerc´ıcios Adicionais......................................... 1370
U
m espa¸co vetorial H sobre o corpo dos complexos e dotado de um produto escalar u, v ∈ H 7 → 〈u, v〉 ∈ C ´e dito ser um espa¸co de Hilbert^1 se for completo em rela¸c˜ao `a m´etrica d definida por esse produto escalar: d(u, v) = ‖u − v‖ =
〈u − v, u − v〉, u, v ∈ H. (30.1)
Advertimos o estudante que dentre as propriedades definidoras de espa¸cos de Hilbert destaca-se n˜ao apenas a existˆencia de um produto escalar, mas tamb´em a propriedade de completeza, sem a qual muitas propriedades geom´etricas desses espa¸cos n˜ao seriam v´alidas. Vide adiante.
As no¸c˜oes de espa¸cos de Banach e de Hilbert foram introduzidas na Se¸c˜ao 20.5, p´agina 946. Sobre a origem da no¸c˜ao abstrata de Espa¸co de Hilbert, vide nota hist´orica `a p´agina 947.
Espa¸cos de Hilbert desempenham um papel fundamental em toda a F´ısica Quˆantica^2 e em v´arias ´areas da Ma- tem´atica. Historicamente sua importˆancia na F´ısica Quˆantica foi apontada por diversos autores, mas foi especialmente von Neumann^3 quem mais claramente destacou sua relevˆancia para a pr´opria interpreta¸c˜ao probabil´ıstica daquelas teorias f´ısicas^4. Exemplos de espa¸cos de Hilbert s˜ao os espa¸cos de dimens˜ao finita Cn, o espa¸co ℓ 2 , das seq¨uˆencias de quadrado som´avel, estudado na Se¸c˜ao 20.5.1, p´agina 948, e os espa¸cos L 2 (M, dμ), das fun¸c˜oes de quadrado integr´avel em rela¸c˜ao a uma medida μ definida em um espa¸co mensur´avel M. Esses espa¸cos foram estudados na Se¸c˜ao 26.4, p´agina 1120.
Para a leitura deste cap´ıtulo uma certa familiaridade com a no¸c˜ao de produto escalar e de norma ´e necess´aria, assim como ´e necess´ario conhecer a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O conceito de produto escalar foi apresentado na Se¸c˜ao 3.1.3, p´agina 147, a desigualdade de Cauchy-Schwarz foi demonstrada no Teorema 3.1, p´agina 145 e o conceito de norma foi introduzido na Se¸c˜ao 3.2, p´agina 151.
Nas primeiras se¸c˜oes deste cap´ıtulo estudamos aspectos topol´ogicos e geom´etricos gerais de espa¸cos de Hilbert, che- gando `a importante no¸c˜ao de conjunto ortonormal completo (ou base ortogonal completa). Na Se¸c˜ao 30.3, p´agina 1367, somos apresentados ao importante Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, Teorema 30.9, p´agina 1368, que afirma que todo espa¸co de Hilbert pode ser identificado com seu dual topol´ogico, ou seja, com o conjunto de seus funcionais lineares e cont´ınuos.
30.1 Aspectos Topol´ogicos B´asicos de Espa¸cos de Hilbert
Por defini¸c˜ao, um espa¸co de Hilbert H ´e um espa¸co m´etrico com a m´etrica dada em (30.1) e, portanto, existe uma topologia m´etrica naturalmente definida em H. E a essa topologia a que normalmente nos referiremos quando falarmos´ de convergˆencia de seq¨uˆencias e de continuidade de fun¸c˜oes em H. (^1) David Hilbert (1862–1943). (^2) H´a um dito corrente (e anˆonimo) que a Mecˆanica Quˆantica ´e uma agrad´avel introdu¸c˜ao ao estudo dos espa¸cos de Hilbert... (^3) John von Neumann (1903–1957). (^4) Nota hist´orica. Dois dos trabalhos seminais de von Neumann a respeito s˜ao: J. von Neumann, “ ¨Uber die Grundlagen der Quantenme- chanik”, Mathematische Annalen, 98 , 1-30 (1927) e J. von Neumann, “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermiteschen Funktionaloperatoren”, Mathematische Annalen, 102 , 49-131 (1929). Vide tamb´em [129].
Assim, dizemos que uma seq¨uˆencia {xn}n∈N de vetores de um espa¸co de Hilbert H converge a um vetor x de H se para todo ǫ > 0 existir N (ǫ) ∈ N tal que ‖x − xi‖ ≤ ǫ para todo i ≥ N (ǫ). Em outras palavras, x = limn→∞ xn se e somente se limi→∞ ‖x − xi‖ = 0.
O estudante deve ser advertido que h´a outras outras topologias de interesse no estudo dos espa¸cos de Hilbert, como a topologia fraca induzida pelos produtos escalares e a chamada topologia forte. Nem todas essas topologias de interesse s˜ao m´etricas. No estudo introdut´orio que pretendemos nesse cap´ıtulo tais topologias n˜ao ser˜ao consideradas.
- Conjuntos fechados em espa¸cos de Hilbert
Como lidaremos muito freq¨uentemente com o fecho de subconjuntos de um espa¸co de Hilbert H e com propriedades de conjuntos fechados de H vale a pena lembrar nesse contexto as seguintes caracteriza¸c˜oes de tais conceitos, v´alidas em espa¸cos m´etricos gerais (vide p´agina 1019):
- O fecho C de um subconjunto C de um espa¸co de Hilbert H coincide com o conjunto de todos os vetores de H que s˜ao pontos limite de seq¨uˆencias convergentes formada por elementos de C.
- Um subconjunto F de um espa¸co de Hilbert H ´e fechado se toda seq¨uˆencia convergente formada por elementos de F convergir em H a um vetor que tamb´em ´e elemento de F.
- O fecho de um subespa¸co linear ´e tamb´em um subespa¸co linear
Vamos ilustrar os conceitos acima mostrando um simples resultado do qual faremos uso adiante. Seja E um subespa¸co de um espa¸co de Hilbert H. Vamos mostrar que seu fecho E ´e tamb´em um subespa¸co de H. Para isso devemos mostrar que se x, y ∈ E, ent˜ao qualquer vetor de H que seja da forma z = αx + βy, com α, β ∈ C, ´e tamb´em elemento de E. Se x e y ∈ E, ent˜ao existem duas seq¨uˆencias xi e yi, i ∈ N, de vetores de E tais que xi → x e yi → y. Como E ´e um subespa¸co, todos os vetores zi = αxi + βyi s˜ao tamb´em elementos de E. E f´´ acil, por´em, mostrar que zi → z. De fato
‖z − zi‖ = ‖(αx + βy) − (αxi + βyi)‖ = ‖α(x − xi) + β(y − yi)‖ ≤ |α|‖x − xi‖ + |β|‖y − yi‖.
Agora, por hip´otese, tanto ‖x − xi‖ quanto ‖y − yi‖ v˜ao a zero quando i → ∞, mostrando que zi → z. Isso mostra, ent˜ao, que elementos como z s˜ao pontos limite de seq¨uˆencias de elementos de E (no caso {zi}i∈N) e, portanto, pertencem tamb´em ao fecho de E que ´e, portanto, um subespa¸co de H.
Se a e b s˜ao dois vetores de um espa¸co vetorial normado V (como um espa¸co de Hilbert, por exemplo), ent˜ao vale que ∣ ∣ ∣ ‖a − b‖ − ‖b‖
∣ ≤ ‖a‖. (30.2)
Para mostrar isso, notemos que a rela¸c˜ao ‖a − b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖ implica ‖a‖ ≥ ‖a − b‖ − ‖b‖. Com a substitui¸c˜ao b → a − b, tiramos tamb´em que ‖a‖ ≥ ‖b‖ − ‖a − b‖. As duas desigualdades dizem que ‖a‖ ≥ | ‖a − b‖ − ‖b‖ |, como quer´ıamos provar.
- Continuidade da norma e do produto escalar
De acordo com a defini¸c˜ao de continuidade de fun¸c˜oes entre espa¸cos m´etricos (vide discuss˜ao `a p´agina 1083) uma fun¸c˜ao f : H → C, de um espa¸co de Hilbert H nos n´umeros complexos ´e cont´ınua se para toda seq¨uˆencia convergente de vetores {xi}i∈N a seq¨uˆencia de n´umeros {f (xi)}i∈N for tamb´em convergente e
lim n→∞ f (xn) = f
lim n→∞ xn
Um exemplo banal de uma tal fun¸c˜ao cont´ınua ´e a norma f (x) = ‖x‖. De fato, se xn → x, isso significa que ‖xi − x‖ → 0. Logo, |f (x) − f (xi)| = |‖x‖ − ‖xi‖|. Mas, pela desigualdade (30.2), tomando-se a = x − xi e b = −xi, conclu´ımos |f (x) − f (xi)| ≤ ‖x − xi‖ ,
como o lado direito vai a zero quando i → ∞, conclu´ımos que
lim n→∞ f (xn) = f
lim n→∞ xn
= f (x) , ou seja, lim n→∞ ‖xn‖ =
∥ (^) nlim→∞ xn
∥ =^ ‖x‖^ ,
Isso pode ser reescrito (verifique) como
‖ym − yn‖^2 = 2‖x − yn‖^2 + 2‖x − ym‖^2 − 4
∥x^ −^
ym + yn 2
2 .
Usando agora o fato que ‖x − yn‖^2 < D^2 + (^1) n para todo n , ficamos com
‖ym − yn‖^2 ≤ 4 D^2 + 2
n
m
∥x^ −^
ym + yn 2
2 .
Notemos agora tamb´em que ym+ 2 yn∈ A pois o lado esquerdo ´e uma combina¸c˜ao linear convexa de elementos de A e A ´e um conjunto convexo. Assim, pela defini¸c˜ao de D, ∥ ∥ ∥ ∥x^ −^
ym + yn 2
2 ≥ D^2.
Portanto, temos que
‖ym − yn‖^2 ≤ 4 D^2 + 2
n
m
− 4 D^2 = 2
n
m
O lado direito pode ser feito arbitrariamente pequeno, tomando-se m e n ambos grandes o suficiente. Ora, isso diz-nos precisamente que {yn}n∈N ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy.
Com essa informa¸c˜ao, e lembrando que H ´e um espa¸co m´etrico completo, segue que yn converge a um elemento y ∈ H. Na verdade podemos dizer tamb´em que y ∈ A, pois fizemos a hip´otese que A ´e fechado (lembre-se da caracteriza¸c˜ao de conjuntos fechados em espa¸cos m´etricos da p´agina 1019).
Uma vez encontrado esse y ∈ A, vamos mostrar que ‖x − y‖ = D. De fato, para todo n vale que
‖x − y‖ = ‖(x − yn) − (y − yn)‖ ≤ ‖x − yn‖ + ‖y − yn‖ <
D^2 +
n
Tomando-se n → ∞, e usando o fato que yn converge a y, conclu´ımos que ‖x − y‖ ≤ D (verifique!). Por outro lado, ´e evidente pela defini¸c˜ao de D que ‖x − y‖ ≥ D, pois y ∈ A. Da´ı, segue que ‖x − y‖ = D, como quer´ıamos provar.
Resta-nos demonstrar que esse y ´e o ´unico elemento de A com essa propriedade. Para tal, vamos supor que haja outro y′^ ∈ A com ‖x − y′‖ = D e usemos novamente a identidade do paralelogramo (30.3), mas agora com a = x − y e b = x − y′. Teremos que
‖ 2 x − (y + y′)‖^2 + ‖y − y′‖^2 = 2‖x − y‖^2 + 2‖x − y′‖^2 = 4D^2 ,
ou seja,
‖y − y′‖^2 = 4D^2 − ‖ 2 x − (y + y′)‖^2 = 4D^2 − 4
∥x^ −^
y + y′ 2
2 .
Como y+y
′ 2 ∈^ A, por ser uma combina¸c˜ao linear convexa, segue que ∥ ∥ ∥ ∥x^ −^
y + y′ 2
2 ≥ D^2
e, portanto, ‖y − y′‖^2 ≤ 0 ,
o que s´o ´e poss´ıvel se y = y′.
Se E ´e um subconjunto de um espa¸co de Hilbert H, define-se seu complemento ortogonal E⊥^ como o conjunto de todos os vetores de H que s˜ao ortogonais a todos os vetores de E:
E⊥^ =
y ∈ H
∣ 〈y, x〉^ = 0 para todo^ x^ ∈^ E
Temos a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 30.1 O complemento ortogonal E⊥^ de um subconjunto E de H ´e um subespa¸co linear fechado de H. 2
Prova. Que E⊥^ ´e um subespa¸co ´e f´acil de se verificar pois se x, y ∈ E⊥, ent˜ao, para quaisquer α, β ∈ C,
〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉 = 0
para todo z ∈ E, o que mostra que αx + βy ∈ E⊥. Que E⊥^ ´e um conjunto fechado segue do seguinte argumento. Se xn ´e uma seq¨uˆencia de elementos de E⊥^ que converge a um x ∈ H, ent˜ao, para todo z ∈ E vale
〈x, z〉 =
lim n→∞ xn, z
= lim n→∞ 〈xn, z〉 = 0 , (30.4)
pois 〈xn, z〉 = 0 para todo n, j´a que xn ∈ E⊥. Isso prova que x ∈ E⊥, que ´e assim, fechado. Na pen´ultima igualdade em (30.4) usamos a continuidade do produto escalar.
Faremos adiante uso do seguinte lema:
Lema 30.1 Se A e B s˜ao dois conjuntos de um espa¸co de Hilbert H e A ⊂ B, ent˜ao, B⊥^ ⊂ A⊥. 2
Prova. Por defini¸c˜ao, se y ∈ B⊥, y ´e ortogonal a todo elemento de B. Como A ´e subconjunto de B, y ´e tamb´em ortogonal a todo elemento de A, ou seja, y ∈ A⊥.
- Teorema da decomposi¸c˜ao ortogonal
O teorema do melhor aproximante que apresentamos acima tem uma conseq¨uˆencia importante. Como todo subespa¸co linear de um espa¸co de Hilbert ´e convexo, segue que subespa¸cos lineares fechados satisfazem as hip´oteses do teorema. Assim, se M ´e um subespa¸co linear fechado de um espa¸co de Hilbert H vale para todo x ∈ H que existe um y ∈ M ´unico tal que ‖x − y‖ = inf y′∈M
‖x − y′‖.
Usaremos esse fato para demonstrar o seguinte teorema, de importˆancia central na teoria dos espa¸cos de Hilbert:
Teorema 30.2 (Teorema da Decomposi¸c˜ao Ortogonal) Seja M um subespa¸co linear fechado de um espa¸co de Hil- bert H. Ent˜ao, todo x ∈ H pode ser escrito de maneira ´unica na forma x = y + z, com y ∈ M e z ∈ M⊥. O vetor y ´e tal que ‖x − y‖ = infy′^ ∈M ‖x − y′‖, ou seja, ´e o melhor aproximante de x em M. 2
Prova. Vamos escolher y como o elemento de M tal que ‖x − y‖ = infy′^ ∈M ‖x − y′‖, cuja existˆencia foi garantida pelo Teorema 30.1, p´agina 1349. Se definirmos z = x − y tudo que nos restaria fazer ´e provar que z ∈ M⊥^ e que tais y e z s˜ao ´unicos. Vamos provar primeiro que z ∈ M⊥, o que equivale a provar que 〈z, y′〉 = 0 para todo y′^ ∈ M. Isso ´e feito indiretamente, observando primeiro que, pela defini¸c˜ao de y, vale que
‖x − y‖^2 ≤ ‖x − y − λy′‖^2
para todo λ ∈ C e todo y′^ ∈ M, j´a que y + λy′^ ∈ M, pois M ´e um subespa¸co. Essa ´ultima rela¸c˜ao diz, pela defini¸c˜ao de z, que ‖z‖^2 ≤ ‖z − λy′‖^2
para todo λ ∈ C. Escrevendo o lado direito como 〈z − λy′, z − λy′〉 e expandindo, teremos
‖z‖^2 ≤ ‖z‖^2 − 2Re(λ〈z, y′〉) + |λ|^2 ‖y′‖^2 ,
ou seja, 2Re(λ〈z, y′〉) ≤ |λ|^2 ‖y′‖^2. (30.5)
Agora, como todo n´umero complexo, 〈z, y′〉 ´e da forma 〈z, y′〉 = |〈z, y′〉|eiα, para algum α real. Como (30.5) vale para todo λ ∈ C, vale em particular para λ da forma λ = te−iα, onde escolhemos t > 0. Inserindo esse λ em (30.5), a mesma fica 2 t|〈z, y′〉| ≤ t^2 ‖y′‖^2 ,
pois, como ´e bem sabido, valem para os polinˆomios de Legendre^5 Pn(x), definidos por
Pn(x) =
2 nn!
dn dxn^
(x^2 − 1)n^ =
⌊ ∑n/ 2 ⌋
k=
(−1)k(2n − 2 k)! 2 nk!(n − k)!(n − 2 k)!
xn−^2 k
as rela¸c˜oes (^) ∫ 1
− 1
Pn(x)Pm(x) dx =
2 n + 1
δn, m.
No espa¸co de Hilbert L 2 (R, dx), de particular importˆancia para a Mecˆanica Quˆantica, h´a v´arios conjuntos ortonormais bem-conhecidos, como por exemplo
{ en(x) =
2 n−^1 (n − 1)!
π
Hn− 1 (x) e−x
(^2) / 2 , n ∈ N
onde Hn, n ∈ N 0 , s˜ao os polinˆomios de Hermite^6
Hn(x) = (−1)nex
2 dn dxn^
e−x
2 ,
os quais satisfazem (^) ∫ ∞
−∞
Hm(x) Hn(x) e−x
2 dx = 2mm!
π δm, n.
Para mais propriedades das fun¸c˜oes mencionadas acima, vide Cap´ıtulo 10, p´agina 474.
- O espa¸co das fun¸c˜oes almost-peri´odicas. Uma digress˜ao
H´a espa¸cos de Hilbert onde, em contraste com os exemplos de acima, existem conjuntos ortonormais n˜ao-cont´aveis de vetores. Um exemplo importante ´e o espa¸co AP (R), das fun¸c˜oes ditas almost-peri´odicas em R. Sem entrarmos em detalhes (para um tratamento completo, vide e.g. [94] e [33]), s˜ao denominadas almost-peri´odicas as fun¸c˜oes f : R → C que podem ser escritas como limites uniformes de s´eries trigonom´etricas como
f (t) =
n∈Z
fn eiωn^ t^ , t ∈ R , (30.8)
onde fn s˜ao constantes e {ωn, n ∈ Z} ´e um subconjunto cont´avel arbitr´ario de R. As constantes ωn s˜ao denominadas freq¨uˆencias de f e as constantes fn s˜ao denominadas amplitudes. Um caso particular importante ´e aquele no qual as freq¨uˆencias ωn s˜ao da forma ωn = nω, para algum ω > 0, denominado freq¨uˆencia fundamental. Como o estudante facilmente reconhece, fun¸c˜oes como
f (t) =
n∈Z
fn einωt^ , t ∈ R ,
s˜ao peri´odicas de per´ıodo 2π/ω e a s´erie do lado direito ´e a s´erie de Fourier^7 de f. Se a s´erie do lado direito converge uniformemente, f ´e cont´ınua (justifique!). Assim, AP (R) cont´em as fun¸c˜oes cont´ınuas e peri´odicas. O conjunto AP (R) cont´em tamb´em fun¸c˜oes n˜ao-peri´odicas. Por exemplo, fun¸c˜oes como
f (t) = 2 cos(ω 1 t) + 2 cos(ω 2 t) = eiω^1 t^ + e−iω^1 t^ + eiω^2 t^ + e−iω^2 t^ , ω 1 > 0 e ω 2 > 0 , (30.9)
s˜ao elementos de AP (R), mas s˜ao peri´odicas se e somente se a raz˜ao ω 2 /ω 1 for um n´umero racional. Se ω 2 /ω 1 for racional da forma ω 2 /ω 1 = p/q com p e q inteiros e primos entre si, ent˜ao a f dada acima ´e peri´odica de per´ıodo T = 2πp/ω 2 = 2πq/ω 1.
E. 30.1 Exerc´ıcio. Justifique todas as afirma¸c˜oes acima. Em particular, prove que a fun¸c˜ao f de (30.9) n˜ao ´e peri´odica se ω 2 /ω 1 for irracional. 6
(^5) Adrien-Marie Legendre (1752–1833). (^6) Charles Hermite (1822–1901). (^7) Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).
Um exemplo de uma fun¸c˜ao de AP (R) que n˜ao ´e peri´odica ´e
f (t) = 2 cos(
2 t) + 2 cos(t) = ei
√ 2 t (^) + e−i √ 2 t (^) + eit (^) + e−it (^) ,
que n˜ao ´e peri´odica, pois
2 6 ∈ Q.
Fun¸c˜oes como a f de (30.9) n˜ao s˜ao peri´odicas se ω 2 /ω 1 for irracional. Como, por´em, todo n´umero irracional pode ser aproximado por seq¨uˆencias de n´umeros racionais, uma tal f possui per´ıodos aproximados (mas n˜ao exatos!). Essa ´e a origem da denomina¸c˜ao de tais fun¸c˜oes como almost-peri´odicas^8.
Foi demonstrado por H. Bohr (vide nota hist´orica, abaixo) que o conjunto AP (R) gera um espa¸co de Hilbert com produto escalar dado por
〈f, g〉AP := lim T →∞
2 T
∫ T
−T
f (x)g(x) dx. (30.10)
E um exerc´´ ıcio f´acil mostrar que o conjunto de fun¸c˜oes { eα(x) = eiαx, α ∈ R
⊂ AP (R) (30.11)
´e um conjunto ortonormal em rela¸c˜ao ao produto escalar (30.10). Trata-se, claramente, de um conjunto n˜ao-cont´avel.
E. 30.2 Exerc´ıcio. Mostre que 〈eα, eα〉AP = 1 para todo α ∈ R e que 〈eα, eβ 〉AP = 0 para todos α, β ∈ R com α 6 = β. 6
Nota hist´orica. A teoria das fun¸c˜oes “almost”-peri´odicas reais foi originalmente desenvolvida por H. Bohr^9 , irm˜ao de N. Bohr^10 , em v´arios trabalhos publicados entre 1924 e 1926^11. H. Bohr, por´em, menciona dois predecessores: Bohl^12 , em tese publicada em 1893, e Esclangon^13 , em tese de 1904, os quais obtiveram resultados semelhantes sobre as fun¸c˜oes ditas “quase-peri´odicas”, um caso especial das fun¸c˜oes almost-peri´odicas estudadas por H. Bohr^14.
Os trabalhos de H. Bohr podem ser encontrados na edi¸c˜ao em trˆes volumes [16] de suas obras completas. Bohr n˜ao conhecia previamente os trabalhos anteriores de Bohl e Esclangon sobre as fun¸c˜oes quase-peri´odicas e menciona ter sido chamado `a aten¸c˜ao sobre existˆencia dos mesmos por Hadamard^15. H. Bohr distinguiu-se tamb´em pelo desenvolvimento da teoria das fun¸c˜oes “almost”-peri´odicas de uma vari´avel complexa. O conceito foi posteriormente generalizado por von Neumann^16 para fun¸c˜oes definidas em grupos. Para defini¸c˜oes e alguns resultados nesse caso geral, vide [184].
Proposi¸c˜ao 30.3 Seja E = {e 1 ,... , en} um conjunto ortonormal finito de um espa¸co de Hilbert H e sejam λ 1 ,... , λn n´umeros complexos. Ent˜ao, (^) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥
∑^ n
a=
λaea
2
∑^ n
a=
|λa|^2.
2
(^8) Em Portuguˆes seria mais adequado dizer “quase-peri´odicas”. Por´em, essa nomenclatura ´e usada em v´arias l´ınguas para designar um certo subconjunto de fun¸c˜oes de AP (R). Por isso optamos pelo barbarismo “almost-peri´odicas”. (^9) Harald August Bohr (1887–1951). (^10) Niels Henrik David Bohr (1885–1962). (^11) Os trabalhos pioneiros de H. Bohr s˜ao: H. Bohr. “Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. I”, Acta Mathematica 45 , (1924) 29–127. “Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. II”, Acta Mathematica 46 , (1925) 101–214. “Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III”, Acta Mathematica 47 , (1926) 237–281. (^12) Piers Bohl (1865–1921). (^13) Ernest B. Esclangon (1876–1954). (^14) Os trabalhos pioneiros de Bohl e Esclangon s˜ao: P. Bohl. “ Uber die Darstellung von Funktionen einer Variabeln durch trigonometrische¨ Reihen mit meheren einer Variabeln proportionalen Argumenten”. Magisterdissertation, Dorpat (1893). P. Bohl. “ Uber eine Differentialglei-¨ chung der St¨orungstheorie”. Journal de Crelle 131 , (1906) 268–321. E. Esclangon. “Les Fonctions Quasi-P´eriodiques”. Th`ese, Paris (1904). E. Esclangon. “Nouvelles Recherches sur les Fonctions Quasi-P´eriodiques”. Annales de l’Obser. de Bordeau, (1919). (^15) Jacques Salomon Hadamard (1865–1963). (^16) John von Neumann (1903–1957).
Prova. Seja {xi}i∈N uma seq¨uˆencia de elementos de E que converge a x ∈ H. Cada xi^ ´e da forma
xi^ =
∑^ n
a=
λiaea.
Vamos provar que para cada a a seq¨uˆencia {λia}i∈N ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy de n´umeros complexos. Se {xi}i∈N ´e convergente, ent˜ao ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy. Logo, para todo ǫ > 0 existe N (ǫ) tal que ‖xi^ − xj^ ‖ ≤ ǫ para todos i, j ≥ N (ǫ). Assim, para i, j ≥ N (ǫ)
ǫ^2 ≥ ‖xi^ − xj^ ‖^2 =
∑^ n
a=
(λia − λja)ea
2
∑^ n
a=
|λia − λja|^2.
Mas isso diz que para i, j ≥ N (ǫ) tem-se para cada a |λia − λja| ≤ ǫ, ou seja, {λia}i∈N ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy de n´umeros complexos. Assim, cada uma dessas seq¨uˆencias converge a um n´umero complexo λa. Seja
x′^ =
∑^ n
a=
λaea.
Claramente x′^ ´e um elemento de E. Vamos mostrar que, na verdade, x′^ = x. Para tal, basta mostrar que xi^ converge a x′^ e lembrar a unicidade de pontos limite em espa¸cos m´etricos, como um espa¸co de Hilbert (vide Corol´ario 25.1, p´agina 1070). Mostrar que xi^ converge a x′^ ´e trivial, pois
‖xi^ − x′‖^2 =
∑^ n
a=
(λia − λa)ea
2
∑^ n
a=
|λia − λa|^2
e como λia → λa o lado direito fica arbitrariamente pequeno quando i → ∞. Logo, xi^ → x′^ e, portanto, x′^ = x.
Vamos estudar algumas propriedades de conjuntos ortonormais finitos ou cont´aveis, a mais importante sendo as desigualdades de Bessel^19 , `a qual chegaremos logo adiante. O primeiro passo ´e a seguinte proposi¸c˜ao ´util.
Proposi¸c˜ao 30.6 Seja E = {e 1 ,... , en} um conjunto ortonormal finito de um espa¸co de Hilbert H e sejam λ 1 ,... , λn n´umeros complexos. Ent˜ao, para todo x ∈ H vale que
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ x −
∑^ n
a=
λaea
2 = ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
|λa − 〈ea, x〉|^2 −
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2. (30.13)
(^19) Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846).
Prova. Expandindo o lado esquerdo de (30.13), temos
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ x −
∑^ n
a=
λaea
2
x −
∑^ n
a=
λaea, x −
∑^ n
b=
λbeb
= ‖x‖^2 −
∑^ n
b=
λb〈x, eb〉 −
∑^ n
a=
λa〈ea, x〉 +
∑^ n
a=
λaea
2
= ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
−λa〈ea, x〉 − λa〈ea, x〉 + |λa|^2
= ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2 − λa〈ea, x〉 −^ λa〈ea, x〉^ +^ |λa|^2
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2
= ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
(λa − 〈ea, x〉) (λa − 〈ea, x〉) −
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2
= ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
|λa − 〈ea, x〉|^2 −
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2 , (30.14)
que ´e o que desej´avamos mostrar.
- Melhores aproximantes em subespa¸cos de dimens˜ao finita
A Proposi¸c˜ao 30.6 tem conseq¨uˆencias importantes que exploraremos a seguir. Uma delas ´e ´util em problemas de aproxima¸c˜ao em espa¸cos de Hilbert e em problemas variacionais, de relevˆancia, por exemplo na Mecˆanica Quˆantica.
Lembremos primeiramente que, dado um subespa¸co de dimens˜ao finita de um espa¸co de Hilbert, ´e sempre poss´ıvel encontrar nele, pelo procedimento de Gram-Schmidt (vide Se¸c˜ao 3.3, p´agina 157), um conjunto ortonormal de vetores que gera esse subespa¸co. Temos ent˜ao o seguinte:
Proposi¸c˜ao 30.7 Seja E = {e 1 ,... , en} um conjunto ortonormal finito de um espa¸co de Hilbert H e seja x ∈ H. Ent˜ao o melhor aproximante de x no subespa¸co de dimens˜ao finita E gerado pelos vetores {e 1 ,... , en} ´e o vetor
y =
∑^ n
k=
〈ek, x〉 ek. (30.15)
A distˆancia ‖x − y‖ entre x e seu melhor aproximante y satisfaz
‖x − y‖^2 = ‖x‖^2 −
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2. (30.16)
Prova. J´a vimos acima (Proposi¸c˜ao 30.5, p´agina 1355) que o subespa¸co E gerado pelo conjunto ortonormal finito E = {e 1 ,... , en} ´e fechado. Aplica-se, portanto, o Teorema do Melhor Aproximante (Teorema 30.1, p´agina 1349) e podemos afirmar que para todo x ∈ H existe um e somente um y ∈ E tal que a distˆancia ‖x − y‖ ´e a menor poss´ıvel.
Por´em, todo y′^ ∈ E ´e da forma y′^ =
∑^ n
a=
λaea. Logo, por (30.13),
‖x − y′‖^2 = ‖x‖^2 +
∑^ n
a=
|λa − 〈ea, x〉|^2 −
∑^ n
a=
|〈ea, x〉|^2. (30.17)
Vamos, ent˜ao, mostrar que esse B ´e um conjunto ortonormal completo. Para tal vamos supor o oposto, ou seja, vamos supor que haja y ∈ H n˜ao-nulo que seja ortogonal a todos os elementos de B. Claramente y n˜ao pode pertencer a B, pois para isso teria que ser ortogonal a si mesmo, ou seja, ‖y‖^2 = 〈y, y〉 = 0. Se um tal y existisse, ent˜ao B 1 = B ∪ {y} seria tamb´em um conjunto ortonormal (por que?) que cont´em B como subconjunto pr´oprio. Ora, isso contraria o fato que B ´e maximal. Logo, tal y n˜ao existe e B ´e um conjunto ortonormal completo.
O seguinte exerc´ıcio ilustra a discuss˜ao de acima.
E. 30.4 Exerc´ıcio. Mostre que no espa¸co de Hilbert ℓ 2 das seq¨uˆencias de quadrado som´avel, o conjunto de vetores E = {en, n ∈ N}, onde os vetores en^ s˜ao definidos em (30.7), forma um conjunto ortonormal completo de vetores. 6
A importˆancia dos conjuntos ortonormais completos reside no fato que todo vetor de um espa¸co de Hilbert pode ser escrito como limite de seq¨uˆencias de vetores obtidos por combina¸c˜oes lineares finitas de elementos de um conjunto ortonormal completo. Tornaremos isso preciso em breve. Fa¸camos antes por´em a seguinte observa¸c˜ao crucial:
Teorema 30.4 Seja B um conjunto ortonormal completo de um espa¸co de Hilbert H. Para cada y ∈ H, o conjunto de todos os eα ∈ B tais que 〈eα, y〉 6 = 0 ´e um conjunto cont´avel. 2
Note-se que n˜ao est´a exclu´ıdo que o conjunto ortonormal completo B, no enunciado acima, seja n˜ao-cont´avel.
Prova. Comecemos lembrando que se {eα 1 ,... , eαm } ´e um subconjunto finito de B, ent˜ao a desigualdade de Bessel (30.18) garante que ∑m
a=
|〈eαa , y〉|^2 ≤ ‖y‖^2. (30.20)
E claro que para cada´ y ∈ H o conjunto B pode ser escrito como a seguinte uni˜ao disjunta:
B = Zy^ ∪ By^ (30.21)
com Zy^ :=
eα ∈ B| 〈eα, y〉 = 0
e By^ :=
eα ∈ B| 〈eα, y〉 6 = 0
E igualmente claro que podemos escrever^ ´ By^ como
By^ =
⋃^ ∞
n=
Bny, (30.22)
onde, para n = 1, 2 ,.. .,
Byn =
eα ∈ B
∣ |〈eα, y〉|
‖y‖^2 n + 1
‖y‖^2 n
] }
E. 30.5 Exerc´ıcio. Conven¸ca-se que (30.21) ´e verdadeira e que aquela uni˜ao ´e disjunta, assim como a uni˜ao em (30.22). 6
Desejamos mostrar que By^ ´e um conjunto cont´avel. A observa¸c˜ao crucial ´e que cada Bny ´e um conjunto finito. De fato, podemos facilmente mostrar que cada Bny tem no m´aximo n elementos. Mostramos isso por contradi¸c˜ao com a desigualdade de Bessel (30.20). Vamos supor que houvesse em Bny mais que n elementos e tomemos em Byn um conjunto {eα 1 ,... , eαn+1 } com n + 1 elementos. Como todos s˜ao elementos de Byn, tem-se que
|〈eαa , y〉|^2 > ‖y‖^2 n + 1
para todo a = 1,... , n + 1. Logo,
n∑+
a=
|〈eαa , y〉|^2 > (n + 1) ‖y‖^2 n + 1
= ‖y‖^2 ,
contrariando a desigualdade de Bessel (30.20). Assim, cada Byn pode ter no m´aximo n elementos.
Isso diz-nos que By^ =
n=1 B
y n ´e um conjunto cont´avel (eventualmente at´e finito), completando a demonstra¸c˜ao.
- A decomposi¸c˜ao de vetores em termos de conjuntos ortogonais completos
Chegamos agora ao resultado mais importante sobre conjuntos ortogonais completos e que ´e a verdadeira raz˜ao de ser de sua defini¸c˜ao.
Teorema 30.5 Seja y um vetor de um espa¸co de Hilbert H e B um conjunto ortonormal completo em H. Como vimos acima, o subconjunto de B definido por By^ = {eα ∈ B| 〈eα, y〉 6 = 0} ´e um conjunto cont´avel. Vamos escrever os elementos de By^ como eαa com a ∈ N. Ent˜ao, vale que
y = lim n→∞
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa (30.23)
e que
‖y‖^2 =
∑^ ∞
a=
|〈eαa , y〉|^2. (30.24)
2
A express˜ao (30.24) pode ser interpretada como uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Pit´agoras para dimens˜ao infinita.
Prova do Teorema 30.5. Pela desigualdade de Bessel (30.19) sabemos que
∑^ ∞
a=
|〈eαa , y〉|^2 ≤ ‖y‖^2 ; Pela Proposi¸c˜ao 30.4,
p´agina 1355, isso diz-nos que a seq¨uˆencia de vetores sn =
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa converge em H a um vetor que chamaremos
de y′:
y′^ = lim n→∞
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa =
∑^ ∞
a=
〈eαa , y〉 eαa.
Queremos provar que y′^ = y. Para tal, tomemos um elemento arbitr´ario eα em B e calculemos o produto escalar 〈eα, y − y′〉. H´a dois casos a considerar: 1. eα ∈ By^ e, portanto, α = αk para algum k ∈ N e 2. eα 6 ∈ By^ e, portanto, 〈eα, y〉 = 0 e α 6 = αk para todo k ∈ N.
No caso 1 temos, usando a continuidade do produto escalar,
〈eα, y′〉 =
eα, lim n→∞
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa
= lim n→∞
eα,
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa
= 〈eαk , y〉 = 〈eα, y〉. (30.25)
Logo, 〈eα, y − y′〉 = 〈eα, y〉 − 〈eα, y′〉
(30.25) = 0. No caso 2 temos tamb´em
〈eα, y′〉 =
eα, lim n→∞
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 eαa
= lim n→∞
∑^ n
a=
〈eαa , y〉 〈eα, eαa 〉 = 0 ,
pois α 6 = αk para todo k e, portanto, 〈eα, eαa 〉 = 0. Logo, 〈eα, y − y′〉 = 〈eα, y〉 − 〈eα, y′〉 = 0 − 0 = 0.
Em ambos os casos o resultado ´e o mesmo, ou seja, 〈eα, y − y′〉 = 0 para todo eα ∈^ B. Pela defini¸c˜ao de^ B^ como conjunto ortonormal completo, o ´unico vetor ortogonal a todos os elementos de B ´e o vetor nulo. Logo, y = y′.
Por (30.15), o vetor mais pr´oximo de y no subespa¸co gerado por {eα 1 ,... , eαn } ´e
∑^ n
a=
〈eαa , y〉eαa. Segue de (30.16)
que (^) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥
y −
∑^ n
a=
〈eαa , y〉eαa
2 = ‖y‖^2 −
∑^ n
a=
|〈eαa , y〉|^2.
〈eα, x〉 = 0 para todo eα ∈ B. Ent˜ao, o conjunto {x}⊥^ ´e um subespa¸co linear fechado que cont´em B e span (B) (por que?). Como span (B) ´e, por defini¸c˜ao, o menor fechado que cont´em span (B), vale tamb´em que span (B) ⊂ {x}⊥. Como {x}⊥^ ´e um subconjunto pr´oprio de H (pois n˜ao cont´em x nem o subespa¸co gerado por x), conclu´ımos que span (B) ´e um subconjunto pr´oprio de H, uma contradi¸c˜ao com a hip´otese que 2 ´e verdadeiro.
A equivalˆencia provada acima entre bases topol´ogicas e conjuntos ortonormais completos justifica o fato de conjuntos ortonormais completos serem tamb´em denominados bases ortonormais completas.
- Espa¸cos de Hilbert separ´aveis
Recordemos duas no¸c˜oes introduzidas na Se¸c˜ao 22.4, p´agina 1020. Seja um espa¸co X dotado de uma topologia τ. Dizemos que um conjunto A ⊂ X ´e denso em X se o fecho de A for igual a X, ou seja, se n˜ao houver outro conjunto fechado que n˜ao X contendo A. Um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser separ´avel se possuir um subconjunto denso cont´avel.
Definimos acima a no¸c˜ao de varredura linear de um conjunto A ⊂ H, que denotamos por span (A). Um conceito associado ´e o de varredura linear por racionais de um conjunto A ⊂ H, que denotamos por spanQ(A): a cole¸c˜ao, de todos os vetores de H que podem ser escrito como uma combina¸c˜ao linear finita por racionais de elementos de A:
spanQ(A) =
v ∈ V
∣ v^ =^ r 1 a 1 +^ · · ·^ +^ rnan,^ para algum^ n^ ∈^ N,^ para^ ri ∈^ QC^ e^ ai ∈^ A
onde QC denota o conjunto de todos os n´umeros complexos racionais, ou seja, de todos os n´umeros complexos cujas partes real e imagin´aria s˜ao racionais.
Como QC ´e denso em C, ´e claro que todo elemento de span (A) pode ser aproximado (na topologia de H) por elementos de spanQ(A). De fato, se {(rj )m, m ∈ N} ´e uma seq¨uˆencia de n´umeros em QC que aproxima λj ∈ C, ent˜ao (r 1 )ma 1 + · · · + (rn)man aproxima λ 1 a 1 + · · · + λnan na norma de H, pois
∥ ∥((r 1 )ma 1 + · · · + (rn)man) − (λ 1 a 1 + · · · + λnan)
∥((r 1 )m − λ 1 )a 1 + · · · + ((rn )m − λn)an
≤ |(r 1 )m − λ 1 | ‖a 1 ‖ + · · · + |(rn)m − λn| ‖an‖.
que converge a zero para m → ∞. Isso significa que para todo A ⊂ H vale spanQ(A) ⊃ span (A) e, conseq¨uente-
mente, spanQ(A) ⊃ span (A). No entanto, como spanQ(A) ⊂ span (A), vale tamb´em que spanQ(A) ⊂ span (A). Logo,
spanQ(A) = span (A).
Assim, pelo Teorema 30.6, conclu´ımos que B ⊂ H ´e uma base ortonormal completa se e somente se spanQ(B) = H. Se A ⊂ H for cont´avel, ´e muito f´acil ver que spanQ(A) ´e tamb´em cont´avel (por ser uma uni˜ao cont´avel de conjuntos cont´aveis). Logo, se B for um conjunto ortonormal completo cont´avel, o conjunto spanQ(B) ´e um conjunto cont´avel denso em H. Conclu´ımos disso que H ser´a um espa¸co topol´ogico separ´avel se possuir um conjunto ortonormal completo cont´avel.
A rec´ıproca ´e tamb´em verdadeira: se um espa¸co de Hilbert H for um espa¸co topol´ogico separ´avel, ent˜ao todo conjunto ortonormal completo de H ´e cont´avel. Para ver isso, vamos supor que H seja separ´avel e seja D ⊂ H cont´avel e denso em H: D = H. Seja tamb´em B um conjunto ortonormal completo em H. Notemos que
BD :=
x∈D
Bx
´e cont´avel, por ser uma uni˜ao cont´avel de conjuntos cont´aveis (pois D ´e cont´avel, assim como cada Bx, pelo Teorema 30.4, p´agina 1359.). Pelo Teorema 30.5, p´agina 1360, cada x ∈ D ´e um elemento de span (Bx). Conclu´ımos disso que D ⊂ span (BD). Logo, como D ´e denso em H, segue que H = span (BD). Agora, BD ´e um conjunto ortonormal (por ser subconjunto de B). Logo, conclu´ımos pelo Teorema 30.6 que BD ´e um conjunto ortonormal completo.
Disso conclu´ımos tamb´em que B = BD, pois se BD fosse um subconjunto pr´oprio de B haveria v ∈ B, v 6 = 0, que n˜ao pertence a BD. Como B ´e um conjunto ortonormal, segue que v ´e ortogonal a todos os elementos de BD. Isso contraria o fato provado que BD ´e um conjunto ortonormal completo. Vimos, ent˜ao, que todo conjunto ortonormal completo de um espa¸co de Hilbert separ´avel deve ser cont´avel.
Resumimos nossas conclus˜oes no seguinte:
Proposi¸c˜ao 30.9 Se um espa¸co de Hilbert H possui um conjunto ortonormal completo cont´avel ent˜ao ´e um espa¸co topol´ogico separ´avel (ou seja, possui um subconjunto cont´avel denso). Por outro lado, se um um espa¸co de Hilbert H for separ´avel, ent˜ao todas os seus conjuntos ortonormais completos s˜ao cont´aveis. 2
O seguinte corol´ario ´e evidente:
Corol´ario 30.1 Se um espa¸co de Hilbert H possui um conjunto ortonormal completo cont´avel ent˜ao todas os demais conjuntos ortonormais completos de H s˜ao cont´aveis. 2
Nesse contexto, a seguinte observa¸c˜ao ´e relevante:
Proposi¸c˜ao 30.10 Se um espa¸co de Hilbert H possui uma conjunto ortonormal n˜ao-cont´avel ent˜ao H n˜ao ´e separ´avel. 2
Prova. Seja C um conjunto ortonormal n˜ao-cont´avel de H. Se C for um conjunto ortonormal completo n˜ao h´a o que provar. Se n˜ao o for, podemos acrescentar elementos a C pertencentes a C⊥^ de modo a obter um conjunto ortonormal completo. Esse conjunto ortonormal completo n˜ao pode ser cont´avel, pois cont´em C.
Os espa¸cos de Hilbert L^2 ([a, b], dx), L^2 ([a, b], r(x)dx) com r positiva e integr´avel no intervalo [a, b], assim como L^2 (R, dx), s˜ao separ´aveis. Esses fatos decorrem dos resultados apresentados na Se¸c˜ao 27.5, p´agina 1185. O espa¸co de Hilbert AP (R) das fun¸c˜oes almost-peri´odicas ´e n˜ao-separ´avel, pois possui um conjunto ortonormal n˜ao-cont´avel, a saber, aquele de (30.11).
Finalizamos mencionando que no caso de espa¸cos de Hilbert separ´aveis podemos refrasear o Teorema 30.5, acima, da seguinte forma:
Teorema 30.7 Seja y um vetor de um espa¸co de Hilbert separ´avel H e B um conjunto ortonormal completo (e, portanto, cont´avel) em H. Vamos escrever os elementos de B como ea com a ∈ N. Ent˜ao, vale que
y = lim n→∞
∑^ n
a=
〈ea, y〉 ea (30.26)
e que
‖y‖^2 =
∑^ ∞
a=
|〈ea, y〉|^2. (30.27)
2
A ´unica diferen¸ca em rela¸c˜ao ao Teorema 30.5 ´e que agora as somas acima n˜ao precisam mais ser restritas apenas aos elementos de By^ , mas s˜ao feitas sobre todos os elementos de B, independente do vetor y ∈ H considerado. Eventualmente alguns termos dessas somas ser˜ao nulos (tal ´e o caso se para um dado a tivermos ea ∈ Zy, ou seja, 〈ea, y〉 = 0), mas isso n˜ao alterar´a o resultado.
30.2.2 Conjuntos Totais
Um subconjunto T de um espa¸co de Hilbert H ´e dito ser um conjunto total de H se T⊥^ = { 0 }. Como o estudante percebe, toda base ortonormal completa em um espa¸co de Hilbert ´e um conjunto total do mesmo espa¸co. Os dois conceitos, por´em, n˜ao podem ser confundidos. A seguinte proposi¸c˜ao ´e relevante nesse contexto por fornecer uma caracteriza¸c˜ao alternativa importante da no¸c˜ao de conjuntos totais.
Proposi¸c˜ao 30.11 Um subconjunto T de um espa¸co de Hilbert H ´e total se e somente se span (T) for um conjunto denso em H (isto ´e, span (T) = H), ou seja, se e somente se todo elemento de H puder ser aproximado na norma de H por uma seq¨uˆencia de vetores compostos por combina¸c˜oes lineares finitas de elementos de T. 2
Prova. O ponto central da demonstra¸c˜ao ´e provar que sob as hip´oteses de acima vale para todo n ∈ N a invers˜ao repre-
sentada pela igualdade dn dan
R
ψ(x) ga(x) dx =
R
ψ(x) dn dan^
ga(x) dx. Para tal faremos uso do Teorema da Convergˆencia
Dominada, Teorema 26.6, p´agina 1117.
Para a ∈ R definamos Kn(a) :=
R
ψ(x)
dn dan^
ga(x) dx.
Vamos provisoriamente restringir a a um intervalo aberto finito (α, β) com −∞ < α < β < ∞.
Seja n ∈ N e seja h ∈ (0, 1 /n). Podemos, ent˜ao, escrever
Kn(a) =
R
ψ(x)
lim h→ 0
∆nga(x) hn
dx ,
com ∆nga(x) definido como a n-´esima diferen¸ca finita na vari´avel a:
∆^0 ga(x) := ga(x) , ∆^1 ga(x) := ga+h(x) − ga(x) , ∆nga(x) := ∆n−^1 ga+h(x) − ∆n−^1 ga(x) , n ≥ 2 ,
com
∆nga(x) =
∑^ n
k=
(−1)n−k
n k
ga+kh(x).
Por defini¸c˜ao, a raz˜ao ∆
nga (x) hn^ converge a^
dn dan^ ga(x) quando^ h^ →^ 0, o limite existindo pontualmente para todo^ x^ ∈^ R^ (o que ´e suficiente para os prop´ositos que teremos adiante, a saber, para o Teorema da Convergˆencia Dominada). Por ser uma soma finita de elementos de L^2 (R, dx), ∆nga ´e tamb´em um elemento desse espa¸co.
Observe-se agora que
∆nG(a) hn^
hn^
∆n
R
ψ(x) ga(x) dx
R
ψ(x)
∆nga(x) hn^
dx.
Por (30.28), podemos escrever
∫
R
ψ(x)
∆nga(x) hn^ dx =
R
ψ(x)
dn dan^ ga(x)
a=ξ
dx
para algum ξ ∈ (a, a + nh). A chamada f´ormula de Rodrigues para os polinˆomios de Hermite (vide (10.115), p´agina 512), informa-nos que d
n dan^ ga(x) =^ Hn(x^ −^ a)ga(x) (com^ Hn^ sendo o^ n-´esimo polinˆomio de Hermite). Assim,
ψ(x)
∆nga(x) hn^
= ψ(x)
Hn(x − ξ)gξ(x)
Definamos agora Θn(x) := sup
|Hn(x − y)|gy (x), y ∈ (α, β + 1)
E f´^ ´ acil de ver que Θn ∈ L^2 (R, dx) e ´e evidente que ∣ ∣ ∣ ∣ψ(x)
∆nga(x) hn
∣ψ(x)
Hn(x − ξ)gξ (x)
∣ψ(x)
∣ Θn(x) (30.29)
para todo∣ x ∈ R e qualquer ξ ∈ (a, a + nh) ⊂ (α, β + 1). Como ψ e Θn s˜ao elementos de L^2 (R, dx), a fun¸c˜ao majorante ∣ ∣ψ(x)
∣ Θn(x) do lado direito de (30.29) ´e um elemento de L^1 (R, dx) (pela desigualdade de Cauchy-Schwarz). Assim,
podemos afirmar que
lim h→ 0
∆nG(a) hn^
= lim h→ 0
R
ψ(x)
∆nga(x) hn^
dx =
R
ψ(x)
lim h→ 0
∆nga(x) hn
dx
R
ψ(x)
dn dan^
ga(x) dx =
R
ψ(x) Hn(x − a)ga(x) dx ,
sendo que na segunda igualdade evocamos o Teorema da Convergˆencia Dominada, Teorema 26.6, p´agina 1117, para justificar a troca de limites pela integral. Isso estabeleceu que d
n dan^ G(a) existe para todo^ a^ ∈^ (α, β) e que vale dn dan^
G(a) =
R
ψ(x) Hn(x − a)ga(x) dx.
Como as afirma¸c˜oes acima valem para qualquer intervalo (α, β), a restri¸c˜ao de a a esse intervalo ´e agora dispens´avel.
- Conjuntos totais de fun¸c˜oes Gaussianas
A afirma¸c˜ao mais importante que desejamos estabelecer na presente se¸c˜ao ´e a seguinte: para qualquer intervalo aberto I = (α, β) ⊂ R a cole¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes Gaussianas centradas em pontos de I ´e um conjunto total em L^2 (R, dx). Esse ´e o conte´udo do teorema que segue.
Teorema 30.8 Para cada intervalo aberto (α, β) ⊂ R, com −∞ < α < β < ∞, o conjunto T(α, β) :=
ga, a ∈ (α, β)
´e um conjunto total em L^2 (R, dx). Conseq¨uentemente, TR :=
ga, a ∈ R
´e tamb´em um conjunto total em L^2 (R, dx). 2
Passemos `a demonstra¸c˜ao desse teorema, ap´os a qual adicionaremos alguns coment´arios pertinentes.
Prova do Teorema 30.8. Tomemos um intervalo aberto (α, β) ⊂ R. Seja φ ∈ T⊥ (α, β). Ent˜ao vale, 〈φ, ga〉 = 0 para
todo a ∈ (α, β), ou seja,
R φ(x)^ ga(x)^ dx^ = 0. Isso obviamente implica que para todo^ n^ ∈^ N^ e todo^ a^ ∈^ (α, β) vale dn dan
R φ(x)^ ga(x)^ dx^ = 0. Pela Proposi¸c˜ao 30.12, p´agina 1364, teremos
0 = dn dan
R
φ(x) ga(x) dx =
R
φ(x) Hn(x − a)ga(x) dx.
Assim, estabelecemos que
R
φ(x) Hn(x − a)ga(x) dx =
R
φ(x + a) Hn(x)e−x
2 dx = 〈φ−a, Ψn〉 ,
onde Ψn(x) := Hn(x)e−x
2
. Como j´a comentamos (vide Se¸c˜ao 27.5.2, p´agina 1188), os vetores Ψn ∈ L^2 (R, dx), n ∈ N, formam uma base ortogonal completa em L^2 (R, dx). Disso, conclu´ımos que φ−a deve ser o vetor nulo em L^2 (R, dx), por ser ortogonal a todos os elementos de uma base ortogonal de L^2 (R, dx). Isso implica que φ ´e o vetor nulo em L^2 (R, dx), provando que T⊥ (α, β) = { 0 } e, portanto, que T(α, β) := {ga, a ∈ (α, β)} ´e um conjunto total em L^2 (R, dx).
Como TR ⊃ T(α, β), conclu´ımos que TR ´e tamb´em um conjunto total em L^2 (R, dx).
Temos quatro coment´arios a fazer sobre o Teorema 30.8. O primeiro coment´ario ´e que um aspecto do mesmo pode ser substancialmente generalizado, a saber, segundo um teorema devido a Wiener^20 , se ψ ´e um vetor n˜ao-nulo qualquer de L^2 (R, dx), ent˜ao a cole¸c˜ao {ψa, a ∈ R} de todos os transladados de ψ ´e um conjunto total de L^2 (R, dx). Com essa generalidade n˜ao ´e permitido, contudo, restringir as transla¸c˜oes a um aberto finito (α, β) com −∞ < α < β < ∞, ou seja, a cole¸c˜ao {ψa, a ∈ (α, β)} n˜ao ´e necessariamente um conjunto total em L^2 (R, dx) para qualquer ψ ∈ L^2 (R, dx) n˜ao-nulo. Se, por exemplo, ψ tiver suporte compacto, digamos no intervalo [0, 1], ent˜ao as fun¸c˜oes ψa com a ∈ (α, β) ter˜ao suporte no intervalo [α, β + 1] e suas combina¸c˜oes lineares finitas n˜ao poder˜ao aproximar fun¸c˜oes de L^2 (R, dx) com suporte fora de [α, β + 1].
O segundo coment´ario concerne um aspecto um tanto surpreendente do Teorema 30.8, a saber, que para fun¸c˜oes Gaussianas a cole¸c˜ao T(α, β) := {ga, a ∈ (α, β)} ´e um conjunto total, n˜ao importa o qu˜ao pequeno seja o intervalo finito (α, β) com −∞ < α < β < ∞. O ponto surpreendente, ou contra-intuitivo, ´e que as fun¸c˜oes de T(α, β) s˜ao Gaussianas centradas em (α, β) e que, portanto, decaem rapidamente fora desse intervalo. Assim, pode parecer estranho que uma fun¸c˜ao de L^2 (R, dx) e que tenha, digamos, um m´aximo longe do intervalo (α, β) possa ser aproximada na norma de L^2 (R, dx) por combina¸c˜oes lineares finitas de elementos de T(α, β). O fato que ilude nossa intui¸c˜ao, e que esclarece o que se passa, ´e que diferen¸cas finitas de fun¸c˜oes de T(α, β) podem ter m´aximos fora do intervalo (α, β). Por exemplo, se
(^20) Norbert Wiener (1894–1964).
