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NOÇÕES DE CONJUNTOS
Introdução à Teoria dos Conjuntos Os fundamentos da teoria dos conjuntos foram lançados no final do século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845-1918). A partir de então, está teoria passou por um forte processo de desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da Computação. O conceito de conjunto é fundamental para a Ciência da Computação, uma vez que grande parte de seus conceitos, construções e resultados são escritos na linguagem dos conjuntos ou baseados em construções sobre conjuntos (MENEZES, 2008), existindo aplicações em áreas como Banco de Dados e Linguagens Formais, por exemplo. Neste capítulo, introduziremos os principais conceitos da teoria dos conjuntos, que serão indispensáveis para estudos posteriores.
Três noções são consideradas primitivas : Conjunto; elemento; pertinência entre elemento e conjunto. Conjunto –notação: letras maiúsculas Pode ser designada, intuitivamente, como uma coleção de objetos de qualquer natureza, considerados globalmente. Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado apenas uma vez. A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante
Elemento -notação: letras minúsculas Os objetos que constituem um conjunto denomina-se elementos do conjunto.
Pertinência - notação: Є Relacionam elemento com conjunto. Qualquer objeto que faça parte de um conjunto é chamado “membro” ou “elemento” daquele conjunto ou ainda é dito pertencer aquele conjunto. Para denotar que o elemento x pertence ao conjunto A utiliza-se: X∈A Se o elemento não pertence ao conjunto A denota-se: X ∉ A Ex: Considerando o conjunto D dos dias da semana, temos que: segunda ∈ D; sábado ∈D; janeiro ∉ D
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REPRESENTAÇÃO
Um conjunto pode ser representado basicamente de duas maneiras: por extensão ou por compreensão. Extensão : os elementos são listados exaustivamente, sendo colocados entre um par de chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
Compreensão: em casos em que os números de elementos são muitos, devemos optar por descrever o conjunto por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. De forma geral, escreve-se S= {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade. Exemplos: a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {1, 3, 5, 7, ..., 15} c) C = {1, 2, 3, 4, 5,...} d) d) D = {n|n=2y, onde y é um número inteiro} ✓ A foi representado por meio da listagem de todos os seus elementos. ✓ B e C , alguns elementos foram omitidos, mas podem facilmente ser deduzidos do contexto. Nos três casos, a forma de representação utilizada foi a extensão. ✓ O conjunto D , que corresponde ao conjunto D = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, foi representado por meio da propriedade comum a seus elementos, o que constitui a forma de representação por compreensão.
Ex1: Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus elementos: a. {x|x é a capital do Pará}
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Propriedades dos Conjuntos
- Qualquer conjunto é subconjunto do conjunto universo;
- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
- Todo conjunto é subconjunto de si próprio;
- Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um conjunto B, e todo elemento de B pertence a um conjunto C, então todo elemento de A pertence a C ( propriedade da transitividade ).
RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Já introduzimos a noção de pertinência entre elementos e conjuntos. Além desta, outra noção importante é a de continência, a partir da qual podemos introduzir os conceitos de subconjuntos e de igualdade de conjuntos. Relações de pertinência são estabelecidas entre elemento e conjunto, enquanto que as relações de continência são estabelecidas entre conjunto e conjunto.
- SUBCONJUNTOS Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a e também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, A = B. Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio. Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Observe que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Com a notação A⊂B indicamos que “A” é subconjunto de “B” ou “A” está contido em “B” ou “A é parte de B”, ou ainda que B contém A, com notação B⊃A. A⊂B ↔(∀x)(x ∈A→x∈B)
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Quando A não é um subconjunto de B, ou seja, quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B, indicamos A ⊄ B.
- IGUALDADE DE CONJUNTOS Consideremos os conjuntos A={1, 3, 5} e B={1, 3, 5}. Não é preciso se esforçar para perceber que A é um subconjunto de B e B, por sua vez, também é subconjunto de A. Neste caso, dizemos que os conjuntos A e B são iguais. Formalmente, podemos dizer: dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A, ou seja: A = B ↔ (∀x)((x∈A→x∈B)∧(x∈B →x∈A))
CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F , o conjunto das partes de F será aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por P ( F ). Se o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F , P ( F ), terá 2 n^ elementos. Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F : → com nenhum elemento Ø → com 1 elemento {3}, {5}, {9} → com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9} → com 3 elementos {3, 5, 9} Podemos então escrever: P(F) = { Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} } O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por n(F). Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n (P( F )) = 2^3 = 8
CONJUNTO COMPLEMENTAR Complementar de B com respeito a A e é representada por = B - A. No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.
RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão possui 3 propriedades: → Propriedade reflexiva: AF 02 0F 0C CF 02 0 A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo. → Propriedade anti-simétrica: se AF 02 0F 0C CF 02 0 B e BF 02 0F 0C CF 02 0 A, então A = B. → Propriedade transitiva: se AF 02 0F 0C CF 02 0 B e BF 02 0F 0C CF 02 0 C, então AF 02 0F 0C CF 02 0 C.
DIAGRAMAS DE VENN
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Figura 1.2: Diagrama de Venn
Perceba que as figuras que representam os conjuntos A e B estão totalmente separadas. Isto representa que não existem elementos de A que sejam também elementos de B. Neste caso, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Reflita: E se quisermos representar dois conjuntos A e B onde seja possível que alguns elementos de A não pertençam a B e que alguns elementos de B não pertençam a A? Neste caso, a representação é como segue:
Figura 1.3: Diagramas de Venn
Portanto, dados dois conjuntos A e B , como vemos na figura acima, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos: n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B )
Observe o diagrama e comprove.
Figura 1.4: Diagramas de Venn
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n(A∪B∪C) = n(A) + n(B)+ n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
Conjuntos numéricos: Os conjuntos numéricos são os seguintes: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Figura 1.4: Diagramas de Venn
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