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1 Noções de Probabilidade
Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma
amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária para se fazer ligações
entre a amostra e a população, de modo que a partir de informações da amostra se possa fazer afirmações sobre
características da população.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. O estudo
das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo estatístico
A teoria de probabilidades tem por objetivo o estudo de fenômenos aleatórios. Um fenômeno é chamado
de aleatório se ele tem a seguinte propriedade: quando observado repetidamente sob as mesmas condições ele
produz resultados diferentes. Mesmo que a chance da ocorrência seja alta, os resultados não são conhecidos
antes de ocorrer, mas de certa forma, mantém uma certa regularidade, o que permite determinar a chance de
ocorrência; a Probabilidade.
Exemplos:
- Jogar uma moeda repetidamente e observar o resultado da face de cima;
- Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior;
- Número de filhos de um casal;
Observação: quando a possibilidade de repetir o fenômeno está na mão do experimentador, este fenô-
meno aleatório é chamado de experimento aleatório.
1.1 Espaço Amostral e Eventos
Espaço amostral (Ω) - é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Um espaço amostral é Exemplo:
- Lançamento de um dado não viciado. Neste caso o espaço amostral é
- Lançar uma moeda duas vezes e observar as faces obtidas
Ω = {(Ca, Co), (Ca, Ca), (Co, Ca), (Co, Co)}
No lançamento de um dado pode-se interessar, por exemplo, somente na ocorrência de número ímpares.
O subconjunto A = { 1 , 3 , 5 } do espaço amostral Ω representa o evento A definido pela ocorrência de números
ímpares.
Evento - é um subconjunto do espaço amostral que representa um resultado definido. Ponto amostral - é apenas um elemento do espaço amostral.
1.1.1 Operação com eventos
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral O evento intersecção de A e B, denotado A∩B,
e o evento em que A e B ocorrem simultaneamente.
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente
A ∩ B = ∅.
O evento União de A e B, denotado A ∪ B, e o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos).
O evento complementar de A, denotado Ac, é o evento em que A não ocorre.
Exemplo: Seja o espaço amostral Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e considere os eventos:
A = { 1 , 3 , 5 } B = { 2 , 4 , 6 } C = { 3 , 4 , 5 , 6 }
Vamos fazer as seguintes operações:
A ∩ B = ∅ Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjunto A ∩ C = { 3 , 5 } A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = Ω A ∩ Bc^ = { 1 , 3 , 5 } = A os elementos de Ω que não estão no conjunto B ⇒ Bc{ 1 , 3 , 5 }
1.2 Probabilidade
Probabilidade - freqüência relativa associada a um variável descritora de uma população. Num espaço
amostral Ω, a probabilidade de ocorrer um evento A, representado por P (A), é dado pela medida de A em
Ω nas seguintes condições: Exemplo: A probabilidade de ocorrer face ímpar no lançamento de um dado não
viciado é
P (A) = n N
=^3
=^1
Sempre que calculamos P (A|B), estamos essencialmente calculando P (A) em relação ao espaço amostral
reduzido devido a B ter ocorrido, em lugar de faze-lo em relação ao espaço amostral original Ω.
Dados dois eventos A e B , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por
P (A|B) e definida por
P (A|B) = P^ (A^ ∩^ B) P (B)
, P (B) 6 = 0.
Isso significa que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é igual à probabilidade de ocorrência
simultânea de A e B dividida pela probabilidade de ocorrência de B.
Exemplo: Na tabela a seguir temos dados referentes a alunos matriculados em três cursos de uma uni-
versidade em dado ano.
Tabela 1: Dados referentes a alunos de uma dada universidade. Cursos Sexo Total Feminino Masculino Administração 70 40 110 Psicologia 10 20 30 Geologia 20 15 35 Total 100 75 175
Qual a probabilidade de escolhermos um aluno ao acaso e ele ser:
- Homem (H) e da Administração (Adm)?
P (H ∩ Adm) = 40 175
b) Homem (H) ou da Administração (Adm)?
P (H ∪ Adm) = P (H) + P (Adm) − P (H ∩ Adm) = 75 175
+^110
=^145
- Psicologia (P si) ou Geologia (Geo)?
P (P si ∪ Geo) = P (P si) + P (Geo) − P (P si ∩ Geo) = 175 30 + 17535 − 0 = 175 65 = 0, 3714
- De ser um aluno da psicologia dado que é mulher.
P (P si|M ) = P^ (P si^ ∩^ M^ ) P (M )
=
10 175 100 175
Das expressões acima resulta a regra do produto, que se refere ao cálculo da probabilidade do evento
interseção,
P (A ∩ B) = P (A|B).P (B)
A ordem do condicionamento pode ser invertida. Para três eventos, por exemplo, pode-se escrever:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A).P (B|A).P (C|A ∩ B) (1)
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência
do outro, isto é, P (A|B) = P (A) ou P (B|A) = P (B), ou ainda, a seguinte forma equivalente:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
1.3 Árvores de probabilidade
A contrução de uma árvore de probabilidade fornece uma ferramenta muito útil para a solução de
problemas envolvendo duas ou mais etapas. A árvore consiste em uma representação gráfica na qual diversas
possibilidades são representadas, juntamente com as respectivas probabilidades condicionadas a cada situação.
Isso permite, pela utilização direta da regra do produto das probabilidades, associar a cada nó terminal da árvore
a respectiva probabilidade.
O uso das árvores de probabilidade ajudam e simplificam o entendimento da aplicação de dois teoremas
que serão apresentados a seguir, conforme será visto no exemplo.
Exemplo: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80m de altura. Por outro
lado, 40% dos estudantes são homens. Sorteando-se um estudante aleatoriamente, qual a probabilidade de:
- Ser mulher (M ) e ter mais de 1,80m?
P (M ∩ > 1 , 80) = 0, 60 × 0 , 02 = 0, 012
As probabilidade dos pontos amostrais são:
P (CCC) =
5 =^
P (CCE) =
5 =^
P (CEC) =
5 =^
P (CEE) = 1
P (ECC) = 4
P (ECE) = 4
P (EEC) = 4
P (EEE) = 454545 = 12564
Pode-se construir uma tabela, em que X é o número de questões corretas e f(x) é a probabilidade de
ocorrer o resultado X.
x 0 1 2 3 f(x) 64/125 48/125 12/125 1/
Nesta tabela X assume os valores (X = 0, 1 , 2 , 3) que são valores numéricos que descrevem os resulta-
dos da experiência, logo os valores de X são de uma variável aleatória.
Uma função que transforma em resultados de um espaço amostral em números reais, chama-se variável
aleatória.
- X é o nome da variável aleatória definida. Ex. número de questões corretas;
- x são os valores assumidos pela variável. Ex. x = 0, 1 , 2 , 3.
1.5 Função de Probabilidade Discreta
É uma função f (x) que associa a cada valor x da variável aleatória a sua respectiva probabilidade. Esta
função deve atender duas condições:
f (x) ≥ 0 ;
f (x) = 1
Ex.: Para a três questões, considerando X número de acertos e x=(0,1,2,3)
x 0 1 2 3 f(x) 64/125 48/125 12/125 1/
Verificação da duas condições:
- f (x) ≥ 0 ;
- Para x < 0 → f (x) = 0
- Para 0 ≤ x ≤ 2 → f (x) > 0
- Para x > 2 → f (x) = 0
f (x) =
125 +^
Uma função de probabilidade discreta pode ser representada por
f (x) ou P (x) ou P (X = x)
Outra forma de representar uma distribuição de probabilidade de uma variável aleaória é por meio de sua
função de distribuição acumulado, que é definida por
F (x) = P (X ≤ x) =
∑^ n
i=
P (X = xi)
Utilizando o exemplo das questões, temos que a função de distribuição é
x 0 1 2 3 f(x) 64/125 48/125 12/125 1/
Assim a função de distribuição acumulado é dada por
x 0 1 2 3 F(x) 64/125 112/125 124/125 125/
E sua representação gráfica:
1.5.1 Esperança Matemática e Variância de uma VAD
Definição: Seja X uma V.A.D., com valores possíveis x 1 , x 2 , ..., xn; Seja P (xi) = P (X = xi), i =
1 , 2 , ..., n. Então, o valor esperado de X (ou Esperança Matemática de X), denotado por E(X) é definido como
E(X) =
∑^ ∞
i=
xiP (xi)
Ex.: O tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questão de um teste é uma
variável aleatória contínua com função dada por
f (x) =
{ (^) x 4 para^1 ≤^ x^ ≤^3 0 para outros valores
Pela notação verifica-se que o estudante gasta um tempo entre 1 e 3 minutos. Verificar as duas condições
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
- Para x < 1 → f (x) = 0
- Para 1 ≤ x ≤ 3 → f (x) > 0
- Para x > 3 → f (x) > 0
R
f (x)dx = 1
∫ (^) ∞
−∞
f (x)dx =
−∞
x 4
dx =
1
x 4
dx =^1 4
1
xdx =^1 4
x^2 2
] 3
1
=^1
2 2
=^1
=^1
Para obter a probabilidade utiliza-se a integral, por exemplo,
P (2 < x < 3) =
2
x 4 dx
=
2
xdx
= 14 x
2 2
] 3
2 = 1 4
2 2
=^5
1.6.1 Esperança Matemática e Variância de uma fdp
Definição: Seja X uma V.A. continua, com fdp f (x). Então, o valor esperado de X (ou Esperança
Matemática de X), denotado por E(X) é definido como
E(X) =
−∞
xf (x)dx
esta expressão é também denominado o valor médio de X.
Definição: Seja X uma V.A.D.. Define-se a variância de X, denotada por V (X) ou σ X^2 , da seguinte
maneira:
V (X) =
−∞
(x − E(X))^2 f (x)dx ou V (X) = E(X^2 ) − (E(X))^2
em que
E(X^2 ) =
−∞
x^2 f (x)dx
e a raiz quadrada positiva de V(X) é denominada o desvio-padrão de X, e denotado por σX.
No exemplo da o tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questão de um teste,
temos que:
E(X) =
−∞
xf (x)dx =
1
x x 4
dx = 2, 17
V (X) =
−∞
(x − E(X))^2 f (x)dx =
1
(x − 2 , 17)^2 x 4
dx = 9, 70
E(X^2 ) =
−∞
x^2 f (x)dx =
1
x^2
x 4 dx^ = 0,^30 V (X) = E(X^2 ) − (E(X))^2 = 5 − (2, 17)^2 = 0, 30
