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Notas de aula sobre noções de probabilidade, incluindo definições de espaço amostral, evento, evento impossível e evento certo, além de propriedades relacionadas a eventos e a definição frequentista de probabilidade. Também é abordado um pouco da história das probabilidades, desde os jogos de azar na Idade Média até a teoria desenvolvida por Pascal e Fermat. As notas foram elaboradas pela Prof.a Ma. Walkiria M. O. Macerau do Departamento de Estatística da UEM em abril de 2013.
Tipologia: Slides
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Não perca as partes importantes!
Prof.a^ Ma. Walkiria M. O. Macerau
UEM - Departamento de Estatística
30 de abril de 2013
As probabilidades nasceram na Idade Média com os tradicionais jogos de azar que se faziam na Corte. A verdadeira teoria surgiu das correspondências entre Pascal e Fermat. O italiano Jerónimo Cardano (1501-1576) escreveu um trabalho notável sobre probabilidades - ”Libar de ludo aleal” (Livros sobre jogos de azar), que só apareceu impresso em 1663.
Laplace também enunciou pela primeira vez a definição clássica de probabilidade. Porém, foi Gauss (1777-1855) que utilizou as aplicações do cálculo de probabilidade decisivamente. Gauss criou a teoria dos erros de observação, Theoria combinationis observatorium erroriluns minimis obnoxia, 1809, e justificou o emprego na teoria dos erros da lei que designou por ”normal” hoje conhecida como lei de Gauss.
Existem dois tipos de experimentos
Determinísticos; Não determinísticos.
Os experimentos determinísticos, são aqueles que quando repetido várias vezes o resultado sempre é o mesmo, em geral, são usuais na física, por exemplo, ao aquecer a água ela entre em ebulição a 100◦, independente do seu volume. Já os fenômenos não determinísticos apresentam resultados diferentes, mesmo quando mantida inalteradas as realizações do experimento, por exemplo, retirar peças de um lote de produção ou coletar uma amostra de sangue de um paciente e verificar o tipo sanguíneo.
Exemplo 1: Lançamento de um dado. Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Exemplo 2: Retirar uma peça de um lote de produção. Ω = {′′boa′′,′′^ defeituosa′′} Ω = {B, D} Exemplo 3: Observar o tempo de vida de uma lâmpada. Ω = {t; t > 0 }
Exercício 1: Construa os seguintes espaços amostrais: (a) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. (b) Realizam-se a contagem do número de peças defeituosas em uma linha de produção. (c) Três peças são retiradas de um lote de produção. (d) Lançar uma moeda duas vezes e observar a face voltada para cima. (e) Um experimento que consiste em observar o tempo de vida de uma bateria em anos.
Exemplo 4: Jogar um dado e sair a face 4. A = Sair a face 4 no lançamento de um dado. A = { 4 } Exemplo 5: Retirar uma peça de um lote de produção e ela ser defeituosa. B = A peça retirada é defeituosa (D). B = {D} Exemplo 6: Observar o tempo de vida de uma lâmpada e ele ser inferior à 20 minutos. C = O tempo de vida da lâmpada é inferior à 20 minutos. C = {t; 0 < t < 20 }
O evento impossível é quando o evento não pode ocorrer.
Exemplo 7: Jogar um dado e sair a face 7. A=Sair a face 7 no lançamento do dado. A =
Exercício 2: Descreva os seguintes eventos, considerando os espaços amostrais do Exercício 1.
(a) A: sair a face cara. (b) B: o lote possui no mínimo três peças defeituosas. (c) C: no máximo duas peças são defeituosas. (d) D: sair no máximo uma coroa. (e) F: o tempo de vida da bateria ser superior a 5 anos.
(1)A ∪ B será o evento que ocorrerá, se e somente se A ou B, ou ambos ocorrem
(2)A ∩ B será o evento que ocorrerá, se e somente se A e B ocorrem
Exemplo 9: Lance um dado, e considere os seguintes eventos: A:ocorrência de um número impar B:ocorrência de um número par C :ocorrência de um número maior que 3 Obtenha: (a) A ∪ B; (b) A ∪ C ; (c) B ∪ C ; (d) A ∩ B; (e) A ∩ C ; (f) B ∩ C ; (g) A¯; (h) B¯; (i) C¯ ;
(a) A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = Ω (b) A ∪ C = { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 } (c) B ∪ C = { 2 , 4 , 5 , 6 } (d) A ∩ B = (e) A ∩ C = { 5 } (f) B ∩ C = { 4 , 6 } (g) A¯ = { 2 , 4 , 6 } = B (h) B¯ = { 1 , 3 , 5 } = A (i) C¯ = { 1 , 2 , 3 }
Consideremos um espaço amostral Ω com N eventos, equiprováveis, ou seja, eventos com a mesma chance de ocorrência. Seja A um evento de Ω composto de m eventos. A probabilidade do evento A ocorrer, que denotaremos por P(A), é definida por
P(A) = m N.^ (1)
Outra maneira de determinar a probabilidade de um evento ocorrer consiste em utilizar a definição frequentista de probabilidade, em que temos que a probabilidade de um evento A ocorrer é dado pela razão do número de casos favoráveis ao evento A, pelo número de casos possíveis do espaço amostral, Ω, ou seja,
P(A) = (^) nn((Ω) A)= número de casos favoráveis a Anúmero de casos possíveis(Ω). (2)
