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Uma introdução detalhada aos números complexos, incluindo sua definição, representações algébrica, trigonométrica e exponencial, bem como as operações básicas de adição, multiplicação e divisão. São abordados conceitos importantes, como a parte real e imaginária, o conjugado de um número complexo, o módulo e o argumento. Além disso, o documento explora a extração de raízes de índice natural e a resolução de equações envolvendo números complexos. Com exemplos e explicações passo a passo, este material é uma referência valiosa para estudantes de matemática, física e engenharia que desejam compreender profundamente os números complexos e suas aplicações.
Tipologia: Resumos
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Elementos de An´alise Complexa
Licenciatura em Engenharias
Universidade Eduardo Mondlane Faculdade de Ciˆencias Departamento de Matem´atica e Inform´atica
*** 3 de Junho de 2021 ***
1 N´umeros complexos Introdu¸c˜ao Conjunto do plano complexo. Sucess˜oes de n´umeros complexos
O conjunto de n´umeros complexos designa-se por C e representa a totalidde de todos os
pares ordenados (x, y) de n´umeros reais x e y, para os quais s˜ao definidas as seguintes
opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao:
Dados dois n´umeros complexos z 1 = (x 1 , y 1 ) e z 2 = (x 2 , y 2 ), tem-se:
z 1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ C
z 1 · z 2 = (x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 2 ) ∈ C
sendo, tamb´em definida a condi¸c˜ao de igualdade de z 1 e z 2 :
z 1 = z 2 , ou seja (x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ), sse x 1 = x 2 ∧ y 1 = y 2
Dado um n´umero complexo z = (x, y) diz-se que x ´e sua parte real e y parte imagin´aria
e escreve-se x = Re z, y = Im z. Chama-se conjugado de um n´umero complexo
z = (x, y) ao n´umero z¯ = (x, −y), verifica-se ent˜ao que z · ¯z = (x^2 + y^2 , 0).
O conjunto de n´umeros complexos designa-se por C e representa a totalidde de todos os
pares ordenados (x, y) de n´umeros reais x e y, para os quais s˜ao definidas as seguintes
opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao:
Dados dois n´umeros complexos z 1 = (x 1 , y 1 ) e z 2 = (x 2 , y 2 ), tem-se:
z 1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ C
z 1 · z 2 = (x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 2 ) ∈ C
sendo, tamb´em definida a condi¸c˜ao de igualdade de z 1 e z 2 :
z 1 = z 2 , ou seja (x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ), sse x 1 = x 2 ∧ y 1 = y 2
Dado um n´umero complexo z = (x, y) diz-se que x ´e sua parte real e y parte imagin´aria
e escreve-se x = Re z, y = Im z. Chama-se conjugado de um n´umero complexo
z = (x, y) ao n´umero z¯ = (x, −y), verifica-se ent˜ao que z · ¯z = (x^2 + y^2 , 0).
z = x + iy e z¯ = x − iy, sendo que i
2 = − 1.
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ,
com r = |z|, ϕ = arg z, sendo v´alida a f´ormula de Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ) p = cos(pϕ) + i sin(pϕ), p ∈ Z
z = r · e iϕ ,
com r = |z|, ϕ = arg z, sendo v´alida a f´ormula de Euler: e
iϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
onde r = |z| =
x^2 + y^2 ´e m´odulo do n´umero complexo dado, ϕ = arg z, −π < ϕ < π
´e argumento principal do n´umero z.
z = x + iy e z¯ = x − iy, sendo que i
2 = − 1.
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ,
com r = |z|, ϕ = arg z, sendo v´alida a f´ormula de Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ) p = cos(pϕ) + i sin(pϕ), p ∈ Z
z = r · e iϕ ,
com r = |z|, ϕ = arg z, sendo v´alida a f´ormula de Euler: e
iϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
onde r = |z| =
x^2 + y^2 ´e m´odulo do n´umero complexo dado, ϕ = arg z, −π < ϕ < π
´e argumento principal do n´umero z.
ϕ = arg z =
arctg
y x
caso x = Re z > 0 π + arctg
y x
caso x = Re z < 0 ∧ y = Im z ≥ 0 −π + arctg
y x
caso x = Re z < 0 ∧ y = Im z < 0 π 2 caso x = Re z = 0 ∧ y = Im z > 0 − π 2 caso x = Re z = 0 ∧ y = Im z < 0
n
z = n
r
cos
ϕ + 2πk n
ϕ + 2πk n
, n ∈ N, k = 0, 1 , 2 ,... , (n − 1)
√ n zp^ = n^ √ rp
cos
p · ϕ + 2πk n
pϕ + 2πk n
, p ∈ Z, n ∈ N, k = 0, 1 , 2 ,... , (n − 1)
ϕ = arg z =
arctg
y x
caso x = Re z > 0 π + arctg
y x
caso x = Re z < 0 ∧ y = Im z ≥ 0 −π + arctg
y x
caso x = Re z < 0 ∧ y = Im z < 0 π 2 caso x = Re z = 0 ∧ y = Im z > 0 − π 2 caso x = Re z = 0 ∧ y = Im z < 0
n
z = n
r
cos
ϕ + 2πk n
ϕ + 2πk n
, n ∈ N, k = 0, 1 , 2 ,... , (n − 1)
√ n zp^ = n^ √ rp
cos
p · ϕ + 2πk n
pϕ + 2πk n
, p ∈ Z, n ∈ N, k = 0, 1 , 2 ,... , (n − 1)
Sobre dois n´umeros complexos dados na forma alg´ebrica, isto ´e, z 1 = x 1 + iy 1 e
z 2 = x 2 + iy 2 , efectuam-se as seguintes opera¸c˜oes:
1 Adi¸c˜ao z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )
2 Multiplica¸c˜ao
z 1 · z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )
z · ¯z = x
2
2
3 Divis˜ao z 1 z 2
z 1 · z¯ 2 z 2 · z¯ 2
z 1 · z¯ 2 x^2 + y^2
, (x 2 , y 2 ) 6 = (0, 0)
Dado
3 − i 1 − 2 i
, efectue opera¸c˜oes com n´umeros complexos e apresente a solu¸c˜ao na
forma alg´ebrica.
Resolu¸c˜ao:
( 3 − i 1 − 2 i
(3 − i) · (1 + 2i) (1 − 2 i) · (1 + 2i)
5 + 5i 5
= (1 + i) 3 = −2 + 2i
Ache os valores de ra´ızes e potˆencias de expoente racional de
3 i.
Resolu¸c˜ao: Atendendo a que | 2 − 2
3 i| = 4, arg (2 − 2
3 i) = arctg
π 3
obtemos
2 − 2
3 i = 4
cos
π 3
π 3
A seguir, achamos
z =
3 i =
cos
π 3
π 3
cos
π 3 + 2πk 2
π 3 + 2πk 2
, k = 0, 1.
Para,
k = 0 obtemos a ra´ız
z 1 = 2
cos
π 6
π 6
3 − i
k = 1 obtemos a ra´ız
z 2 = 2
cos
5 π 6
5 π 6
3 + i
Qualquer conjunto D do conjunto dos n´umeros complexos C representa por sua vez, um
conjunto dos n´umeros complexos que pode ser interpretado graficamente sobre o plano
complexo sob a forma de uma totalidade dos pontos de modo que entre em cada n´umero
complexo e a sua imagem geom´etrica exista uma correspondˆencia biun´ıvoca. Assim,
falando de um conjunto D dos n´umeros complexos, pode-se subentender o conjunto
respectivo dos pontos sobre o plano complexo e vice-versa.
Identifique a linha determinada pela equa¸c˜ao complexa
2 · |z| = Re z + 1.
Resolu¸c˜ao: A equa¸c˜ao da curva dada |z| =
x^2 + y^2 e Re z = x, obteremos
√ 2 ·
x^2 + y^2 = x + 1 ou 2(x 2
Depois das transforma¸c˜oes simples levaremos esta equa¸c˜ao para a forma
(x − 1) 2
2
y 2
1
= 1, que representa uma elipse.
Diz-se que um n´umero complexo L ´e limite de uma sucess˜ao zn quando o n´umero real
ε > 0 existe um n´umero real n 0 , dependente de ε, tal que para todos os termos zn de
ordem n = n 0 cumpre-se a rela¸c˜ao |zn − L| < ε.
Uma sucess˜ao que tem limite diz-se convergente. Uma sucess˜ao n˜ao convergente
chama-se divergente. Uma sucess˜ao convergente tem s´o um limite.
Seja zn uma sucess˜ao de n´umeros complexos e sejam zn = xn + iyn, L = a + ib. Ent˜ao,
para que lim n→+∞
zn = L ´e necess´ario e suficiente que lim n→+∞
xn = a e lim n→+∞
yn = b.
Neste caso lim n→+∞
zn = lim n→+∞
(xn + iyn) = a + ib = L. Seja zn = rn(cos ϕn + i sin ϕn),
onde rn = |zn|, ϕn = arg (zn). Se lim n→+∞
rn = r 0 , lim n→+∞
ϕn = ϕ 0 ent˜ao
lim n→+∞
zn = r 0 (cos ϕ 0 + i sin ϕ 0 ).
Diz-se que um n´umero complexo L ´e limite de uma sucess˜ao zn quando o n´umero real
ε > 0 existe um n´umero real n 0 , dependente de ε, tal que para todos os termos zn de
ordem n = n 0 cumpre-se a rela¸c˜ao |zn − L| < ε.
Uma sucess˜ao que tem limite diz-se convergente. Uma sucess˜ao n˜ao convergente
chama-se divergente. Uma sucess˜ao convergente tem s´o um limite.
Seja zn uma sucess˜ao de n´umeros complexos e sejam zn = xn + iyn, L = a + ib. Ent˜ao,
para que lim n→+∞
zn = L ´e necess´ario e suficiente que lim n→+∞
xn = a e lim n→+∞
yn = b.
Neste caso lim n→+∞
zn = lim n→+∞
(xn + iyn) = a + ib = L. Seja zn = rn(cos ϕn + i sin ϕn),
onde rn = |zn|, ϕn = arg (zn). Se lim n→+∞
rn = r 0 , lim n→+∞
ϕn = ϕ 0 ent˜ao
lim n→+∞
zn = r 0 (cos ϕ 0 + i sin ϕ 0 ).
Diz-se que um n´umero complexo L ´e limite de uma sucess˜ao zn quando o n´umero real
ε > 0 existe um n´umero real n 0 , dependente de ε, tal que para todos os termos zn de
ordem n = n 0 cumpre-se a rela¸c˜ao |zn − L| < ε.
Uma sucess˜ao que tem limite diz-se convergente. Uma sucess˜ao n˜ao convergente
chama-se divergente. Uma sucess˜ao convergente tem s´o um limite.
Seja zn uma sucess˜ao de n´umeros complexos e sejam zn = xn + iyn, L = a + ib. Ent˜ao,
para que lim n→+∞
zn = L ´e necess´ario e suficiente que lim n→+∞
xn = a e lim n→+∞
yn = b.
Neste caso lim n→+∞
zn = lim n→+∞
(xn + iyn) = a + ib = L. Seja zn = rn(cos ϕn + i sin ϕn),
onde rn = |zn|, ϕn = arg (zn). Se lim n→+∞
rn = r 0 , lim n→+∞
ϕn = ϕ 0 ent˜ao
lim n→+∞
zn = r 0 (cos ϕ 0 + i sin ϕ 0 ).
