Baixe Números Complexos e outras Notas de aula em PDF para Teoria dos Números Complexos, somente na Docsity!
1.14 Números Complexos
1.14.1 Introdução
(a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número
positivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: 2 = 1 , 414 K, 3 = 1 , 732 K),
também a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou
à noção de número imaginário.
(b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais.
Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda
expressão de forma x + j y 1, na qual x e y são números reais e j = − 1 é a unidade imaginária.
(c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau,
az
2
são dadas pela conhecida fórmula
a
b b ac z 2
2 − ± − = (^). (12)
Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma
raiz real dupla se ele for nulo.
Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e
o trinômio az
2
- bz + c (^) = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atri-
bua à z. Por exemplo, se tentarmos resolver a equação
z
2
que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:
2 − ± − = ×
− ± − × ×
z =
que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se
− 1 fosse um número, teremos:
z =
1 Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal, já que estes últimos
usam a letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, é quase que universal a notação aij
para representar o elemento genérico. Assim sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a
unidade imaginária.
ou seja
z 1 =− 2 + 3 − 1
e
z 1 =− 2 − 3 − 1
Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são re-
almente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo − 1 como se ele fosse
mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é:
2 − = −.
Temos então:
2 1
2 1
z + z + =− + − + − + − + =
e
2 2
2 2
z + z + =− − − + − − − + =
A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau
mesmo quando temos 4 0
2 b − ac < , se operarmos com o símbolo j = − 1 como se fosse um
número. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que 1
2 j =− , e deve operar ao
lado dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais números. Temos então
os números complexos da forma x + j y onde, conforme já mencionado, x e y são reais e
j = − 1 , tais como:
4 + j 6 , 2 3
− j , 9
3 + j , 7
− 2 − j
onde o novo elemento j = − 1 é denominado unidade imaginária.
Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as
formas seguintes:
z 1 =− 2 + j 3
e
z 2 =− 2 − j 3
e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo conjuga-
do.
Solução:
Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja:
2
x
ou
x
x x x x
1.14.2 Potências de j
As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro,
ou seja:
0 j =+
j = j
1
2 2 j = − =−
j = j. j =− j
3 2
4 2 2 j = j j = − − =+
j = j. j = ( − 1 )( − j ) = j
5 2 3
6 3 3 2 j = j j = − j − j = j =−
j = j. j = ( − j ) ( + 1 ) =− j
7 3 4
8 4 4 j = j j = + + =+
j = j. j = ( + 1 ) ( j ) = j
9 4 5
.........................................................
Podemos escrever em geral:
4 4 = =
p p j j
j = ( j ) j = j
4 p + 1 4 p
4 2 4 2 = =−
j j j
p p
j = ( j ) j =− j
4 p + 3 4 p 3
Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta dividir o expoente
da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto da divisão.
Exemplo 1.
Efetuar as seguintes potências:
a)
7 j ; b)
513 j ; c)
1998 j ; d)
500 j
Solução:
a) 7 4 → j = j =− j
7 3
3 1
b) 5 ' 1 ' 3 ' 4 → j = j
513
11 128
33
1
c) ' ' ' ' 19 98 4 → 1
1998 2 j = j =− 39 499
38
2
d) 5 ' 0 ' 0 ' 4 → j j 1
500 0 = = 10 125
20
0
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo:
a) Representações:
Um número complexo pode ser geometricamente representado por um ponto no
plano complexo ou plano de Argand-Gauss, conforme mostrado a seguir:
z = x + j y
imaginário( )
Eixo y
real( )
Eixo
x^ x
y
Complexo
Plano
Fig. 1.
Da última figura depreende-se que:
x = z cos θ≤ z (37)
y = z sen θ≤ z (38)
2 2 z = x + y (39)
x
y θ arc tg (40)
Observações:
(1ª) Nos livros de origem americana encontra-se, muitas vezes, a notação
1 tg
− ao invés de
arc tg para a função inversa da tangente. Isto também ocorre nas calculadoras eletrônicas.
(2ª) Para um dado z ≠ 0 , o ângulo (argumento) θ é determinado a menos de múltiplos in-
teiros de 360º ( 2 π rad), ou seja,
θ =θ 0 + k 360 º; k = 0 , ± 1 , ± 2...
ou
θ =θ 0 + 2 k π rad; k = 0 , ± 1 , ± 2...
O valor de θ que existe no intervalo − 180 º <θ≤ 180 º( −πrad<θ≤πrad) é
chamado de valor principal do argumento de z , e notado por θ 0 nas equações acima. Na
prática, salvo observação em contrário, estaremos sempre trabalhando com o argumento
principal.
Face às orientações de ângulos já mencionadas e levando-se em conta os inter-
valos entre os limites − 180 ºe 180º, teremos:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( 0 < θ< 180 º) serão sempre positivos e orientados no
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- ângulos no 3º e 4º quadrantes ( − 180 <θ< 0 )serão sempre negativos e orientados no
sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
(3ª) Levando em conta tais convenções e limites, concluímos que quando z for um número
real negativo o seu argumento principal será π rad( 180 º)ao invés de − πrad( − 180 ), uma
vez que o valor − 180 ºnão está incluído no intervalo − 180 º<θ≤ 180 º.
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências:
Antes de passarmos às diversas formas de um número complexo vamos instituir
as fórmulas de Euler, que são de importância capital para o prosseguimento de nosso estudo.
Admitindo que uma função F ( x )pode ser representada por uma série de potên-
cias de x , essa série deve ser da forma de McLaurin,
K ( ) +K
−
−
0 1!
1
2 3 1 n
n
F n
x F
x F
x F x F xF
em que a função e todas as suas derivadas existem para x = 0.
Desenvolvendo sen θ, cos θe
j θ e em potências de θ pela série de McLaruin te-
mos:
+ K
θ −
θ
θ θ =θ− 3! 5! 7!
sen
3 5 7
+ K
θ −
θ
θ θ = − 2! 4! 6!
cos 1
2 4 6
+ K
θ −
θ −
θ
θ
θ −
θ = + θ−
θ
2! 3! 4! 5! 6! 7!
2 3 4 5 6 7
j j j j
j e
Reagrupando os termos de
j θ e , temos:
= θ+ θ
θ −
θ
θ
θ −
θ
θ = −
θ cos sen 2! 4! 6! 3! 5! 7!
2 4 6 3 5 7
j j
j e K K.
Assim sendo temos:
= θ+ θ
θ cos j sen
j e (^) (41)
e
= θ− θ
− θ cos j sen
j e (^) (42)
conhecidas como fórmula de Euler, bem como suas decorrências:
cos
θ − θ
θ=
j j e e (43)
sen j
j θ − j θ − θ =
e e (44)
que são de grande utilidade no trato com os números complexos de um modo geral.
Observações:
1ª) Ao passarmos um complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma polar, devemos
utilizar as equações (39) e (40). Acontece que quando esta última equação é utilizada, a determi-
nação do quadrante onde se situa o complexo z = x + j y pode ser feita pela inspeção dos sinais
de x e y , a não ser que a calculadora em uso já tenha as rotinas REC → POL e POL → REC, que
já fazem as transformações diretamente.
2ª) Cumpre ressaltar que no caso da transformação acima citada, as calculadoras científicas mais
sofisticadas fornecem diretamente z e θ 0 (argumento principal), seguindo para este último as
regras de orientação de ângulos já descritas na 2ª observação da subseção 1.14.3.a:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( 0 < θ< 180 º ou 0 < θ<πrad) sempre positivos, e orientados
no sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- Ângulos no 3º e 4º quadrantes ( − 180 º <θ< 0 ou − πrad <θ< 0 ) sempre negativos, e orien-
tados no sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
Exemplo 1.
Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar:
a) 20 4
π j e ; b) 3
2
10
π − j e ; c) 6
5
2
π j e
Solução:
a) (^20 4) = 20 j^ π e 4
π = 2045 °
b) (^10 )
2
− j^ π e (^) 3
− 2 π = 10 − 120 °
c) (^2 )
5
j^ π e 6
5 π = 2 150 °
Exemplo 1.
Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular:
a) (^53) , 0 160 °
b) (^0) , 050 − 20 °
c) (^0) , 156 170 °
Observação: se a sua calculadora tem as rotinas RET → POL e POL → RET você pode e deve
fazer as transformações diretamente, e depois voltar à forma original a fim de checar seus resul-
tados.
Solução:
Pelas equações (34) , (37) e (38) temos que:
a) (^53) , 0 160 °= 53 , 0 cos 160 º+ j 53 , 0 sen 160 º=− 49 , 8 + j 18 , 1
b) 0 , 050 − 20 °= 0 , 050 cos( − 20 º) + j 0 , 050 sen(− 20 º) = 0 , 047 − j 0 , 017
c) 0 , 156 170 ° = 0 , 156 cos( 170 º) + j 0 , 156 sen( 170 º) =− 0 , 154 + j 0 , 027
Exemplo 1.
Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a polar:
a) 3 + j 4
b) − 3 + j 4
c) − 3 − j 4
Solução:
Se a sua calculadora não possuir as rotinas REC → POL e POL → REC, você de-
ve tomar cuidado com os sinais das partes real e imaginária dos complexos, a fim de identificar
com acerto o quadrante onde estão situados os números. A figura seguinte é de grande utilidade.
x
y
0
− 4
− 3
− 2
− 1
4
(^123)
z 3 =− 3 − j 4
z 2 =− 3 + j 4 z 1 = 3 + j 4
3
2
1
− 3 −^2 −^1
5
5
5
θ 3 θ 2 θ 1
α
β
Fig. 1.
a) Pelas equações (39) e (40) temos que:
e
θ 3 = 180 º+β= 233 , 1 º
o que implica em
z 3 (^) = 5 233 , 1 °, que não é uma forma usual, visto que o argumento principal deve estar entre
os valores − 180 º<θ≤ 180 º, o que nos leva então a escrever (^5) z (^) 3 = − 126 , 9 ° (que é a res-
posta da calculadora CASIO fx-82LB).
Vamos a seguir apresentar as rotinas de operações para as transformações RET → POL e
POL → RET para duas minicalculadoras usuais no mercado
1.º) CASIO fx-82LB
a) RET → POL:
x a^ y b^ 2nd^ F a^ | z | b^ θ
b) POL → RET:
| z | a^ θ b^ 2nd^ F b^ x b^ y
2.º) CASIO fx-6300 G
a) RET → POL:
SHIFT + (^) x SHIFT ( (^) y ) EXE (^) | z | ALFA ) EXE (^) θ
b) POL → RET:
SHIFT − (^) | z | SHIFT ( (^) θ ) EXE (^) x ALFA ) EXE (^) y
(*) Em Português → Retangular (RET)
Em Inglês → Rectangular (REC)
c.5) Algumas Formas Polares Especiais
entradas
(convocamos a transformação para polares → r θ)
saída
entradas
(convocamos a transformação para retangular → xy )
saída
convocamos a transformação POL (
convocamos a ,
entradas saída
convocamos J
convocamos a transformação REC* (
convocamos a ,
entradas
convocamos J
saída
As equações (41) , (46) e (47) conduzem a uma nova interpretação para o número
imaginário puro j , anteriormente definido como sendo j = − 1 ou =− 1
2 j. Se 2
π θ = rad nas
referidas equações, j
j
π e^2 , de modo que j é um número complexo com módulo unitário e fase
igual a 90º, ou seja:
2 = =
π e
j j^90 °^ (48)
por outro lado,
2 2
− j π j j
j
j
e −^90 °^ (49)
Finalmente,
1 = 1 0 °^ (50)
e
− 1 = 1 180 °^ (51)
x
y
0
− 1
− j
j
− 1
1
1
− 90 º
180 º 90 º
Fig. 1.
c-6) Complexo Conjugado:
O complexo conjugado de z = x + j y é definido, na forma retangular, por
2 :
z = x − j y
(52)
e tem a mesma parte real que o complexo z , porém, a parte imaginária é simétrica.
2 Alguns autores preferem usar z ao invés de
z para representar o complexo conjugado porém, na área da Eletri-
cidade a notação
z é uma unanimidade.
1.14.4 Operações com Números Complexos
a) Igualdade:
Dois números complexos z 1 (^) = x 1 + y 1 = z 1 e^1 = z 1
j θ j θ 1 e z (^) 2 = x 2 + y 2 = z 2 e^2 = z 2
j θ j θ 2
são iguais se, e somente se x 1 (^) = x 2 e y 1 (^) = y 2 ou, equivalentemente, z 1 (^) = z 2 e θ 1 =θ 2.
b) Adição e Subtração:
A adição e a subtração são facilmente efetuadas se os números estiverem na forma retangular,
embora as calculadoras mais sofisticadas (HP48GX por exemplo) sejam capazes de efetuarem
tais operações quer os números estejam na forma polar ou na retangular, e ainda darem a opção
de obter o resultado final em uma forma ou outra. Na forma retangular,
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
x x y y
z z x y x y x y x y
j
j j j j
e
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
x x y y
z z x y x y x y x y
j
j j j j
ou seja,
z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + j ( y 1 + y 2 ) (56)
e
z 1 − z 2 = ( x 1 − x 2 ) + j ( y 1 − y 2 ) (57)
A figura 1.20, logo a seguir, ilustra as operações realizadas graficamente. Na parte
(b) da mesma é fácil verificar que z 1 (^) − z 2 = z 2 − z 1 é a distância entre os pontos do plano com-
plexo definidos, respectivamente, pelos complexos z 1 e z 2.
A partir das equações (56) e (57) decorre então que:
z z ( x y ) ( x y ) 2 x
e
z z ( x y ) ( x y ) 2 y
− = + j − − j = j
ilustradas na figura 1.21,
x
y
0
y 1 (^) + y 2
y 1
y 2
x 1 x 2 x 1 (^) + x 2
z 1
z 2
z 1 (^) + z 2
x
y
0
y 1
y 2
x 1 (^) − x 2
z 1 z 2
z 1 (^) + z 2
z 1 (^) − z 2
z 1 (^) − z 2
− z 2
(a) (b)
Fig. 1.
ou seja,
z z 2 x 2 Re ( z )
z z x
= (^) (58b)
e
z z 2 y 2 Im ( z )
− = j = j (59a) → 2
j
z z x
= (^) (59b)
Temos também que:
z 1 (^) + z 2 = x + x − j y + y = x − j y + x − j y
ou seja:
2
1
z 1 (^) + z 2 = z + z (60)
o que significa que o conjugado da soma é a soma dos conjugados.
Similarmente, é fácil também mostrar que
2
1
z 1 (^) − z 2 = z − z (61)
