NUMEROS COMPLEXOS - ALGEBRA LINEAR, Trabalhos de Teoria dos Números Complexos

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Dércio José Simbine

TEMA: CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Universidade Rovuma

Nampula 2020

Dércio José Simbine

TEMA: CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Trabalho de carácter avaliativo referente a cadeira de Álgebra Linear – I , leccionada pela Dr.ª Albertina.

Universidade Rovuma Nampula 2020

Introdução

O presente trabalho tem com tema: números complexos, no mesmo irei abordar a história do surgimento dos números complexos, retomando: conjuntos numéricos e em seguida o Conjunto dos números complexos (a forma algébrica; o Conjugado, o simétrico, o inverso, operações na forma algébrica, Módulo, Argumento, a forma trigonométrica, operações de multiplicação e divisão na forma trigonométrica, a potencialização na forma algébrica e polar). O trabalho foi desenvolvido com vista atingir os seguintes objectivos:

 Identificar um número complexo;  Distinguir parte real e imaginária de um número complexo;  Operar com números complexos;  Representar números complexos na sua forma trigonométrica ou polar;  Explicar a aplicação dos números complexos na resolução de problemas.

Quanto a sua estrutura apresenta uma Introdução, Desenvolvimento (incluindo e a Ficha de Exercícios com sua respectiva Resolução), Conclusão e Referencias Bibliográficas.

I. NÚMEROS COMPLEXOS

1. Conceitos básicos

Número complexo – é todo número que pode ser escrito na forma:

com ∈IR, sendo.

Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados ( ) cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (^ )

Quando resolvemos uma equação do segundo grau sempre buscamos uma solução, na qual as raízes encontradas poderão pertencer ao conjunto dos números reais. Entretanto na resolução de equações quadráticas Existem soluções na qual não pertencem ao conjunto descrito, reais, e se diz que a equação não possui uma solução real. Para a resolução de uma equação do segundo grau podemos obter através da expressão:

√

Onde o termo é denominado de discriminante e representado pela letra grega delta maiúsculo (Δ), tal que:

 Se o discriminante for maior que zero (Δ > 0) obteremos duas raízes reais;  Se o discriminante for igual a zero (Δ = 0) obtemos apenas uma única raiz real;  Se o discriminante for menor que zero (Δ <0) não haverá raízes reais.

Essas raízes que não são reais pertencem a um conjunto denominado de números complexos, representado por C.

É importante realçar que os números complexos são também conhecidos como números imaginários.

Com a insistência de Cardano e jurando que não divulgaria o resultado, Tartaglia revelou a solução. Porém, Cardano não cumpriu com sua palavra, e em 1545 fez a publicação num livro.

Ele somente fez uma menção de Tartaglia na sua obra e até hoje a fórmula é conhecida como “Fórmula de Cardano”. Esta descoberta foi tão inusitada que ficou conhecida como o início da matemática moderna.

Após esta “luta” surge um problema inquietante que Cardano trouxe conhecido na época como números “sofisticados”, ou seja, as raízes quadradas de números negativos.

Cardano concluiu que estas raízes seriam um número “tão sútil quanto inútil”. Ao passar dos anos seria provado que estes números não eram inúteis como Cardano achava. Mas, como resolver o problema dos números “sofisticados”? O que fazer com estes números? Fica evidente que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação. Assim, seguiram a mesma ideia que os pitagóricos seguiram quando descobriram o número raiz quadrada de 2. Neste momento da história, se introduz a ideia de aceitar o imaginário, e não somente o real.

Rafael Bombelli surge para trabalhar com este problema e mostrou que ao conhecer uma raiz de uma equação cúbica, conseguimos encontrar as outras duas. Por exemplo, se. Sabemos que a soma das outras duas raízes deve ser 4, logo a parte real da equação é 2. Bombelli teve a ideia de somar um número imaginário a esta parte real, e na outra raiz somar o inverso relativo à adição deste número imaginário. Mais tarde, essa teoria vai ficar conhecida como raiz conjugada.

René Descartes escreveu no seu livro Géométrie a seguinte frase: “Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias”. Com esta citação ficou definido que o número raiz quadrada de -1 seria chamado de número imaginário e que poderia ser manipulado de acordo com as regras da álgebra.

Abraham de Moivre foi um grande matemático e ficou conhecido pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria. Provavelmente Moivre descobriu esta relação em 1707. Tudo na matemática possui uma simbologia, seja o sinal de divisão, seja uma integral, então como ficariam definidos estes números imaginários?

Foi Leonhard Euler que criou vários símbolos, assim à raiz quadrada de -1 seria simbolizada por , em 1777. Segundo Euler, os números complexos também podem possuir uma parte real.

Logo,o número complexo é do tipo: , onde e são números reais e , mas esta ideia só foi aceita quando Gauss introduziu esta ideia. Em 1797, Caspar Wessel trabalhou geometricamente os números complexos, fazendo uma correspondência objectiva entre estes e os pontos do plano, mas somente foi publicado em 1806, por Jean Argand. Hoje, Argand recebe o mérito por esta representação.

Em 1798 o matemático Carl Friedrich Gauss demonstrou em sua tese de doutorado que toda equação algébrica de grau ( ) e coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa. Esse é o chamado Teorema Fundamental da Álgebra.

Tal teorema resolveu a questão das soluções de equações algébricas. Em 1831, Gauss retomou a

ideia Argand e pensou nos números (√ ), como coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, tendo assim (a, b). Deu-se também uma interpretação geométrica para a adição e multiplicação dos símbolos. Esta representação geométrica, fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade quanto aos números imaginários, pois estes agora podiam ser visualizados no sentido de que cada ponto no plano corresponde a um número complexo e vice – versa. E para finalizar, em 1832, Gauss introduz a expressão número complexo.

Legenda: : Conjunto dos números Naturais; : Conjunto dos números Inteiros; : Conjunto dos números Racionais; : Conjunto dos números Irracionais; : Conjunto dos números Reais e : Conjunto dos números complexos.

então , diz – se real e identifica – se com

Exemplos: a) ; b)

2. Operações com números complexos Igualdade: dois números complexos e diz – se iguais se têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginarias também iguais.

Conjugados: dois números complexos que têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginarias simétricos, dizem – se números complexos conjugados. Os números complexos e ̅ são conjugados

Propriedades: i. ̿ ii. ̅ (^ ) iii. Z - ̅ (^ ) iv. ̅ ∈ Simétricos: dois números complexos que têm as partes reais e os coeficientes das partes imaginarias simétricos, diz – se números complexos simétricos. Os números complexos e são simétricos.

Podemos fazer todas as operações elementares da matemáticas nos números complexos e para especificar cada uma delas vamos considerar que: e Operação de adição Na adição dos números complexos, o ressoltado será pela operação matemática entre da parte real com real e imaginária com imaginária. e

( ) ( ) ( ) ( )

Operação de subtracção Na subtracção dos números complexos, o ressoltado será pela operação matemática entre da parte real com real e imaginária com imaginária. e ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo: considere os seguintes complexos: e Determine: a) Solução: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) b) Solução: ( ) ( ) ( ) (^) ( ( )) ( )

Operação de Multiplicação e divisão

Em relação a multiplicação e divisão, estas possuem regras próprias e um pouco distintas das anteriores. Quando realizamos o produto entres dois números complexos, temos que realizar o seguinte procedimentos: ( ) ( ) Aplicando a propriedade distributiva temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para podermos continuar o procedimento algébrico, é importante lembrar que quando o número imaginário i é elevado a um número n ( ), sendo n um número natural, temos dois resultados possíveis se n for par, i será um numero real e se n for impar este será um imaginário puro.

Solução: ( ) ( )

3. O inverso de um número complexo Dado o numero complexo definimos o inverso de como: i. Escreve – se o inverso desejado na forma de uma fracção:

ii. Multiplica – se o numerador e o denominador da fracção pelo conjugado de Z:

( )

iii. Lembrar que então temos:

( )

4. Módulo e Argumento de números complexos. Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenada é chamado de plano de Argand – Gauss. É composto por dois segmentos de rectas perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias.

O segmento de recta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na fura abaixo, o ângulo ente o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por.

Argumento de Z No triângulo rectângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:

( ) (^) e ( ) Sendo o argumento de Z.

Para encontrar o argumento de Z podemos utilizar as fórmulas:

( ) ( ) i. Argumento : ∈ ii. Argumento principal: ∈ , , iii. Argumento positivo mínimo: ∈ , , Módulo de Z Aplicando o famoso teorema de Pitágoras teremos:

( ) √ Propriedades: i. ii. | | ; iii. ( ) Exemplo 1 : Dado o numero complexo , determine o módulo e o argumento de Z. Solução : pelo número complexo sabemos que , logo: √ (^) √ √ √

( ) ( ) √ √

Com os valores de seno e co-seno percebemos que é um arco notável, assim podemos afirmar

que.

( ) ( )^ √

O argumento é um ângulo cujo co-seno e o seno é (^) √ , neste caso é Ou. Dessa forma, a

forma trigonométrica do número complexo será: , ( ) ( )- (^) √ , ( ) ( )- √ 0. /. /

6. Produto e divisão de números complexos na forma polar ou trigonométrica Algumas operações com números complexos são mais facilmente efectuadas quando os números complexo estão na forma trigonométrica. Consideremos dois números complexos na forma trigonométrica: ( ) ( ) O produto é dado por: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) (^) ( ) Lembrando das fórmulas de adição de arcos: ( ) ( )

Assim teremos: , (^ )^ (^ ) Observações: o produto de é um numero complexo cujo módulo é o produto dos módulos dos factores e cujo argumento é a soma dos argumentos dos factores.

Na divisão dos números complexos na forma polar, consideremos os números seguintes:

( ) e ), o quociente é dado por: ( ) ) ( ) ( )*^

( ) ( ) ,( )( - ,( )( )- ,( )( - ,( )( )- , - [ ( ) ] , ( ) - [ ] , - [ ] Relação fundamental da trigonometria: ,( ) ( )-

,( ) ( ) - g

Lembrando das fórmulas de deferências de arcos: ( ) ( ) ( ) ( )

Observações: o quociente é um numero complexo cujo módulo é o quociente dos módulos do

dividendo e divisor, cujo argumento é a diferença dos argumentos do dividendo e do divisor. Exemplo 1 : Calcule o produto de

. / e. /

( ) ( ) ( ) ( )^ ( )^ ( )^ ( )

De uma forma alternativa podemos calcular potência de número imaginário com expoente natural, recorrendo ao Binómio de Newton.

7.2.Na forma trigonométrica

Consideremos um número complexo qualquer escrito na forma trigonométrica: , ( )^ ( ) Queremos obter uma expressão para o cálculo , onde n é natural.

Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma: ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( )) ( ( ) ( )) Que podemos simplificar para: , ( ) ( )-. Que é chamada de forma de Moivre para a potenciação de números complexos. Exemplo 1 : Dado o número complexo 0 ( ) ( )1. Determine o valor de.

Solução: utilizando a forma de Moivre, temos que:

, (^) ( ) ( )- (^0) ( ) ( ). , (^) ( ) ( )-.

II. FICHA DE EXERCÍCIOS

1. Resolve as equações a) b) c)
2. Potência i Calcule: a) b) c) f) ( ) ( )
3. Forma algébrica de um número complexo a) Determine o valor de k de modo que o número complexo ( ) seja imaginário puro. b) Encontre o valor de m de modo que o complexo (^ )^ seja um número real. c) Qual é a condição para que o complexo (^ )^ (^ )^ seja imaginário puro. d) Para que o valor de o número complexo (^ )^ é imaginário puro? e) Determine m , tal que (^ )^ (^ )^ seja real e não nulo f) Ache o m de modo que (^ )^ seja um numero real.
4. Igualdade entre complexos a) Determinar e de modo que a igualdade abaixo seja verificada: ( ) ( ) b) Para que valores de e são iguais os complexos ( ) e ( )? c) Determine e , de modo que seja igual a
5. Conjugado de complexo Dê o conjugado de cada complexo: a) f) b) g) c) (^) √ √ h)