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Números Complexos
Definição: Os números complexos podem ser definidos como pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números
reais, que são interpretados como pontos do plano complexo, com coordenadas retangulares 𝑥 e
𝑦, da mesma forma que pensamos em números reais 𝑥 como pontos da reta real.
Quando exibimos números reais 𝑥 como pontos (𝑥, 0 ) do eixo real, escrevemos 𝑥 = (𝑥, 0 ), e fica
claro que o conjunto dos números complexos inclui o dos reais como subconjunto.
Os números complexos da forma ( 0 , 𝑦) correspondem a pontos do eixo 𝑦 e são denominados
números imaginários puros se 𝑦 ≠ 0.
Os números reais 𝑥 e 𝑦 são conhecidos como as partes real e imaginária de 𝑧, respectivamente,
e escrevemos, respectivamente, 𝑥 = Re(𝑧) e 𝑦 = Im(𝑧).
Dois números complexos 𝑧 1
1
1
e 𝑧
2
2
2
são iguais sempre que tiverem as mesmas
partes reais e imaginárias. Assim, a afirmação 𝑧 1
2
significa que 𝑧
1
e 𝑧
2
correspondem ao
mesmo ponto do plano complexo, ou plano z.
1
2
se e somente se 𝑥
1
2
e 𝑦
1
2
Operações:
Adição:
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
Multiplicação:
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
Qualquer número complexo 𝑧 = (𝑥, 𝑦) pode ser escrito como 𝑧 = (𝑥, 0 ) + ( 0 , 𝑦), e verifica-se que
. Então
Se pensarmos em um número real como sendo 𝑥 ou (𝑥, 0 ) e se denotarmos por 𝑖 ou 𝑗 o número
imaginário puro ( 0 , 1 ), segue que
Convencionando que 𝑧
2
= 𝑧𝑧, obtemos
2
Sendo (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑗𝑦:
Adição:
1
1
2
2
1
2
1
2
Multiplicação:
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
Subtração:
1
1
2
2
1
2
1
2
Divisão: (assumindo 𝑧 2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
a
soma
é
fácil
de
fazer
apenas
somar
os
iguais
a
mult. e multiplicar
os
iguais
e
fazer
sua diferença
para
X
e
já
Y
,
multiplicamos
os
dif.e
realizamos
a
adição
X
. X
Y
,
Ya
↑ ↑
.
0
1
. 1
,
0
. 1
1
,
0
0 -
,
0
[
1
jj
=
ja
Então
ja
=
Desigualdades Triangulares:
Propriedades: i)
1
2
1
2
; ii)
1
2
1
2
Estas duas propriedades podem ser mostradas geometricamente e dizem que nenhum dos lados
do triângulo é maior que a soma dos outros dois lados e nem menor que a diferença dos
comprimentos dos demais lados.
Exemplo: Se 𝑧 1
= 1 + 𝑗 e 𝑧
2
= − 2 + 𝑗 3 , então
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
A desigualdade triangular pode ser generalizada por meio da indução matemática para somas
com qualquer número finito de termos, como
1
2
𝑛
1
2
𝑛
Complexos Conjugados:
O complexo conjugado, ou simplesmente o conjugado, de um número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 é
definido como o número complexo 𝑥 − 𝑗𝑦 e denotado por 𝑧 ̅, ou seja, 𝑧 ̅= 𝑥 − 𝑗𝑦.
O número 𝑧 ̅ é representado pelo ponto
, que é a reflexão pelo eixo real do ponto
que
representa 𝑧.
Propriedades:
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Forma Polar:
Sejam 𝑟 e 𝜃 as coordenadas polares do ponto
que corresponde a um número complexo 𝑧 =
𝑥 + 𝑗𝑦 não nulo. Como 𝑥 = 𝑟 cos
e 𝑦 = 𝑟 sen
, podemos escrever o nú mero 𝑧 em forma polar
como
𝑧 = 𝑟 cos
𝑧 = 𝑟[cos(𝜃) + 𝑗 sen(𝜃)]
A coordenada 𝜃 não está definida se 𝑧 = 0.
O número real 𝑟 não pode ser negativo e é o comprimento do vetor radial que representa 𝑧, ou
seja, 𝑟 =
O número real 𝜃 é denominado de argumento de 𝑧 e representa o ângulo medido em radianos
que 𝑧 faz com o eixo real positivo, interpretando 𝑧 como um vetor radial.
O argumento do número complexo tem um número infinito de possíveis valores, inclusive
negativos, que diferem por algum múltiplo inteiro de 2 𝜋. Esses valores podem ser determinados
pela equação tg
, em que devemos especificar o quadrante que contém o ponto
correspondente a 𝑧.
tg
∴ 𝜃 = arctg (
) = arg
O valor principal de arg
é o único valor 𝜃 tal que −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋.
Quando 𝑧 for um número real negativo, o valor principal de arg
é 𝜋, não −𝜋.
Exemplo: O número complexo − 1 − 𝑗, que está no terceiro quadrante, tem argumento principal
− 3 𝜋/ 4 , e não 5 𝜋/ 4.
arg
Divisão:
1
2
1
cos 𝜃
1
1
2
cos 𝜃
2
2
1
2
1
2
[cos(𝜃
1
2
) + 𝑗 sen(𝜃
1
2
)]
1
2
1
𝑗𝜃
1
2
𝑗𝜃 2
1
2
1
2
𝑗
( 𝜃 1
−𝜃 2
)
1
2
1
2
arg(𝑧
1
2
⁄ ) = arg(𝑧
1
) − arg(𝑧
2
Potenciação:
𝑛
𝑛
[cos(𝑛𝜃) + 𝑗 sen(𝑛𝜃)]
𝑛
𝑛
𝑗𝑛𝜃
7
na forma retangular
7
𝑗
3 𝜋
4
)
7
7
2
𝑒
𝑗
21 𝜋
4
= ( 2
3
𝑗 5 𝜋
𝑗
𝜋
4
) = 8
7
0
𝑚+𝑛
𝑚
𝑛
𝑚−𝑛
𝑚
𝑛
− 1
𝑛
−𝑛
𝑛
𝑛
[
cos
− 𝑗 sen
)]
𝑗𝜃
−𝑛
[cos(𝜃) + 𝑗 sen(𝜃)]
𝑛
= cos(𝑛𝜃) + 𝑗 sen(𝑛𝜃)
Radiciação:
1 𝑛
⁄
𝑛
𝑛
[cos (
) + 𝑗 sen (
)]
𝑛
𝑛
𝑗
𝜃+ 2 𝑘𝜋
𝑛 , 𝑘 = 0 , 1 , … , 𝑛 − 1
Estes 𝑛 valores estão em um círculo de raio √
𝑛
com centro na origem e constituem os vértices de
um polígono regular de 𝑛 lados.
𝑛
𝑛
, com 𝑛 = 3
2
2
= 1 , 𝜃 = arctg (
3
[cos (
) + 𝑗 sen (
)] , 𝑘 = 0 , 1 , 2
0
= 1 [cos( 0 ) + 𝑗 sen( 0 )] = 1 + 𝑗 0
1
= 1 [cos (
) + 𝑗 sen (
)] = −
2
= 1 [cos (
) + 𝑗 sen (
)] = −
Potências Reais:
𝑚 𝑛
⁄
𝑚
𝑛
1 𝑛
⁄
𝑚
𝑚
1 𝑛
⁄
𝑚
𝑛
[cos (𝑚
) + 𝑗 sen (𝑚
)]
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
𝑗𝑚
𝜃+ 2 𝑘𝜋
𝑛 , 𝑘 = 0 , 1 , … , 𝑛 − 1
Regiões no Plano Complexo:
Ao estudar as regiões no plano complexo estamos interessados no conjunto de números
complexos ou de pontos no plano complexo, definidos por uma relação de propriedade entre eles.
Círculo: A equação do círculo de raio 𝑟 e centro em 𝑧 0
no plano complexo é dada por:
0
Disco: Para representar um disco, ou seja, todos os pontos situados no interior de um círculo de
raio 𝑟 e centro em 𝑧 , podemos escrever a equação:
