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o cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto do cosseno do seu suplemento. Em símbolos, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼) e 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑐𝑜𝑠(180° − 𝛼)
Além disso, como o ponto correspondente a 0° no transferidor tem abscissa 1 e
ordenada 0, definimos 𝑐𝑜𝑠0° = 1 e 𝑠𝑒𝑛0° = 0. Analogamente, temos as seguintes
definições 𝑐𝑜𝑠90° = 0 e 𝑠𝑒𝑛90° = 1 , 𝑐𝑜𝑠180° = − 1 e 𝑠𝑒𝑛180° = 0. Observe que a
relação trigonométrica fundamental vale para ângulos de 0° a 180°, isto é,
Atividade 6: Complete a tabela e marque na figura o ângulo e,no respectivo eixo, o valor do cosseno e do seno de cada um.
Ângulo 𝛼 Se𝑛 𝛼 Cos 𝛼 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
Apresentamos agora duas relações válidas em quaisquer triângulos , não precisa ser
retângulo!
𝑐𝑜𝑠^2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛^2 𝛼 = 1
Lei dos Senos
Dado um triângulo qualquer ABC de lados a, b e c, respectivamente, opostos aos
ângulos A, B e C, valem as igualdades:
Em palavras, podemos enunciar a lei dos senos como segue.
“Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos.”
Lei dos Cossenos
Dado um triângulo qualquer ABC de lados a, b e c , respectivamente opostos aos
ângulos A, B e C , vale a seguinte relação:
𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 − 2 𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴
* Veja fotos no final da aula. Solução: Podemos usar a lei dos senos e calcular PB e BQ:
Do triângulo APB, temos 𝑃𝐵 𝑠𝑒𝑛 (𝛼+𝛽 ) =^
𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 , onde^ 𝜃=180°-^ 𝛼^ +^ 𝛽^ +^ 𝛾^.^ Daí, 𝑃𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 =^ 𝑠𝑒𝑛 𝛼^ +^ 𝛽^
𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +𝛽+𝛾 , onde na última igualdade usamos a fórmula do seno da diferença. Do triângulo ABQ, temos 𝐵𝑄 𝑠𝑒𝑛𝛽 =^
𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜑 , onde^ 𝜑=180°-^ 𝛾^ +^ 𝛿^ +^ 𝛽^.^ Daí, 𝐵𝑄 = 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜑 =^ 𝑠𝑒𝑛𝛽^
𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝛾+𝛿+𝛽 , onde na última igualdade usamos a fórmula do seno da diferença.
Queremos calcular 𝑃𝑄. Pela lei dos cossenos no triângulo BPQ, temos: 𝑃𝑄^2 = 𝑃𝐵^2 + 𝐵𝑄^2 − 2 𝑃𝐵. 𝐵𝑄. 𝑐𝑜𝑠𝛿 , donde
PQ=𝐴𝐵.
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+𝛽 𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+𝛽 +𝛾 +^
𝑠𝑒𝑛 2 𝛽 𝑠𝑒𝑛 2 𝛾+𝛿+𝛽 −^2
𝑐𝑜𝑠𝛿 .𝑠𝑒𝑛𝛽 .𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 +𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛾 +𝛿+𝛽.
Atividade 7:
Num triângulo ABC, temos AC=8 cm, BC=6 cm, 𝛼 = 𝐵𝐴𝐶 e 𝛽 = 𝐴𝐵 𝐶. Se 𝛽 = 60°, calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼.
Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60°. Calcular o outro lado.
Determine os ângulos do triângulo cujos lados medem 3 , 3 𝑒 2 3.
Prove que , a) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎^2 < 𝑏^2 + 𝑐^2 , então o triângulo é acutângulo; b) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎^2 > 𝑏^2 + 𝑐^2 , então o triângulo é obtusângulo; De a) e b), segue que se 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 , então o triângulo é ___________________. (Recíproca do teorema de Pitágoras.)
Dados os lados dos triângulos, usando o exercício 4), verifique se o triângulo é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
a) 10,24, b) 10,15, c) 9,40, d) 16,33,
Teodolito Teodolito em uso
Há muitas variedades de teodolitos, alguns para fins de Topografia e outros, com maior precisão, de uso em Astronomia. Veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Teodolito
