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NÚMERO 1
Determine a soma seguinte em função de n:
S = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111, onde a última parcela é um número formado por n algarismos iguais a 1.
Solução:
Observe que poderemos reescrever a igualdade como segue:
S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + cn
onde cn é a última parcela 11...11111, um número formado por n
algarismos iguais à unidade.
Observando atentamente o segundo membro da igualdade acima, veremos que:
Primeiro termo = 1 = 100
Segundo termo = 10 + 1 = 101 + 1
Terceiro termo = 100 + 10 + 1 = 102 + 101 + 1
Quarto termo = 1000 + 100 + 10 + 1 = 103 + 102 + 10 + 1 e assim sucessivamente.
É razoável supor, baseado nas igualdades anteriores, que o termo de ordem n (n-ésimo termo) cn será dado por:
cn = 10n-1 + 10n-2 + 10n-3 + ... + 10 + 1
A soma S poderá ser reescrita como:
S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + 10n-1 + 10n-2 +
10n-3 + ... + 10 + 1 contendo n termos, ou seja, a soma dada no enunciado possui sempre n parcelas.
Ou na forma equivalente:
S = 1 + (10+1) + (102+10+1) + (103+102+10+1) + ... + 10n-1 + 10n-2 + 10n-
Vamos escrever as parcelas acima na forma abaixo, de modo a ajudar
na análise: 1 10 + 1
102 + 10 + 1
103 + 102 + 10 + 1
104 + 103 + 102 + 10 + 1
105 + 104 + 103 + 102 + 10 + 1
106 + 105 + 104 + 103 + 102 + 10 + 1 ................................................................. ......................................................................
10n-1 + 10n-2 + 10n-3 + ... + 10 + 1
Verifique que na soma acima:
O número 1 aparece em todos os termos e, portanto, aparece n vezes. O número 10 aparece em (n 1) termos e, portanto aparece (n 1) vezes.
O número 100 = 102 aparece (n 2) vezes
O número 1000 = 103 aparece (n 3) vezes e assim sucessivamente.
Portanto poderemos escrever:
S = 1.n + 10(n-1) + 102(n-2) + 103(n-3) + ... + 10n-1(n-(n-1))
S = 1.n + 10(n-1) + 102(n-2) + 103(n-3) + ... + 10n-
S = n + 10(n - 1) + 10^2 (n - 2) + 10^3 (n - 3) + ... + 10n-
Como S é uma soma de valor positivo, o máximo valor que n poderá assumir na igualdade acima será igual ao número de parcelas consideradas. Esta fórmula é a solução do problema proposto, pois expressa a soma em função de n.
Vejamos alguns exemplos:
n = 1 Þ S1 = 1
n = 2 Þ S2 = 2 + 10(2-1) = 12 = 1 + 11
n = 3 Þ S3 = 3 + 10(3-1) + 102(3-2) = 3 + 20 + 100 = 123 = 1 + 11 + 111
n = 4 Þ S4 = 4 + 10(4-1) + 102(4-2) + 103(4-3) = 1234 = 1 + 11 + 111 +
1111 n = 5 Þ S5 = 5 + 10(5-1) + 102(5-2) + 103(5-3) + 104(5-4) = 12345 = 1+11+111+1111+ e assim sucessivamente.
Vamos formar uma tabela resumo contendo os 10 primeiros resultados da soma proposta no problema:
Veja AQUI uma outra solução mais fácil para este problema .
De um jeito mais fácil
Vamos calcular a soma das n parcelas 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11... 1111, onde o último termo possui n algarismos - visto no exercício anterior - de um jeito mais tranqüilo e muito mais fácil. O método anterior, foi também uma viagem importante, porém, muito longa. Entretanto, o caminho adotado na solução anterior, nos proporcionou reflexão e conhecimento. Sigamos em frente, então. Já vimos que a soma 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99... é dada pela fórmula
Observando que 9 + 99 + 999 + ... + 99...999 = 9 (1 + 11 + 111 + ...
- 11...111) e substituindo o primeiro membro pela fórmula acima, fica:
Daí, tirando o valor da soma 1 + 11 + 111 + ... + 11...111 da igualdade acima, resulta finalmente:
Uma conclusão interessante tirada da fórmula acima é que para todo n natural maior ou igual a 1, o número 10n+1 – 9n – 10 é um número divisível por 81. Isto é óbvio, já que a soma 1 + 11 + 111 + ... + 11...111 resulta sempre num número natural.
Agora resolva este:
Calcule a soma S = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + 33...3333 que contém n parcelas, onde o último termo possui n algarismos.
Resposta: S = (1/27)(10n+1 – 9n – 10)
Paulo Marques, Feira de Santana
