oscilações oscilações, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

SETOR DE FÍSICA EXPERIMENTAL

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LUCAS FERNANDES CARNEIRO

RELATÓRIO

OSCILAÇÕES

FEIRA DE SANTANA-BA

28 de abril de 2021

Conteúdo

• 1 Introdução
• 2 Sessão
  • 2.1 Materiais utilizados
• 3 Procedimentos experimentais
  • 3.1 Organização dos dados
• 4 Resultados experimentais
  • 4.1 Tabelas e dados referentes a oscilação do halter
  • 4.2 Tabelas e dados referentes a deformação da mola
  • 4.3 Propagação de erro de K
  • 4.4 Tabelas e dados referentes a constante da mola
  • 4.5 Determinando k através da regressão linear
  • 4.6 Propagação do erro de k
  • 4.7 Tabelas e dados referentes a dinâmica de oscilação pendular
  • 4.8 Calculando ~g através da regressão linear
  • 4.9 Cálculo do erro percentual
  • 4.10 Tabelas e dados referentes a dinâmica do pêndulo físico e pêndulo simples
  • 4.11 Cálculo do erro percentual
• 5 Conclusão
• 6 Referências bibliográcas

2 Sessão

Nesta sessão, inicialmente foram utilizados alguns modelos de equipamentos para uma execução prática dos corpos material. A idéia central foi conceituada em entender como os fenômenos físicos relacionados ao movimento que o corpo efetuava se aplicava diante das observações experimentais. A idéia de compreender quais grandezas físicas atuava no corpo no momento em que o experimento fosse iniciado seria por m a conclusão algébrica de que se trataria de um movimento oscilatório para todos os corpos, tanto para o movimento oscilatório, quanto para a deformação da mola, tanto para determinar a constante da mola, tanto para compreender a dinâmica de oscilação pendular e por m vericar as diferenças na freqüência de oscilações para um corpo material e um corpo rígido. A ênfase de outros equipamentos de medidas foi extremamente necessária para a compreensão das unidades de medidas durante o processo de execução, podendo assim, utilizar das medidas práticas experimentais e relacioná-las as conclusões algébricas para descrever a quantidade estatística e equações do movimento.

2.1 Materiais utilizados

Dos experimentos processados de forma síncrona e virtual, foram utilizados alguns equi- pamentos que seriam sucientemente necessários para auxiliar nas medidas durante o processo de movimento do corpo material. Dentro desses fatores, foi utilizado o primeiro material para representar a massa do corpo, uma halter de 3 kg de massa, a densidade ou volume do halter não será mencionado neste documento por que não será necessário a utilização desses dados diante das congurações que já se tem em mãos para descrever os conceitos referentes nesta sessão. Para o segundo equipamento utilizado no experimento, foi utilizado uma corda com presença de elasticidade em seu material. A idéia de executar o experimento com uma corda que tenha elasticidade era promover o sistema massa-mola na vertical. O terceiro equipamento utilizado durante o experimento foi um aparelho de smartphone Samsung J7 NEO. A utilização do aparelho de smartphone foi para a utiliza- ção do cronômetro digital presente como aplicativo no aparelho. Um outro equipamento foi um material de suporte, nele continha uma mola suspensa na parte superior. Um outro equipamento foi uma balança de prato, essa balança auxiliou nas medições precisas para as massas dos corpos do experimento. Outro equipamento foi uma régua para medição da deformação da mola e, por m, um aro para comparar a sua freqüência de oscilação com a freqüência de oscilação de um corpo que executava um movimento pendular simples e estudá-la de forma quantitativa. A intenção conclusiva diante da utilização dos três equi- pamentos foi de poder realizar o experimento com a maior precisão possível e observar todo o seu comportamento físico, algébrico e estatístico.

Figura 1: Halter

Figura 2: Corda com elásticidade

Figura 3: Smarthphone

Figura 4: Pêndulo simples

3 Procedimentos experimentais

Nesta sessão, estará presente a relação de todos os procedimentos experimentais para uma análise física das oscilações dos experimentos que ocorreram de forma síncrona através de chamada de vídeo utilizando a plataforma Google Meet. Para o primeiro experimento, um halter de 3 kg de massa foi utilizada para ser suspensa no experimento na vertical. Uma corda com elasticidade foi amarrada acima na parte do teto e abaixo a corda foi amarrada no halter, de maneira que permanecesse imóvel. Após a corda ser amarrada na parte do teto e no halter que se localizava na parte inferior próximo ao solo, dois movimentos diferentes foram realizados, os seis primeiros movimentos foram na vertical. Para os seis próximos movimentos, o corpo efetuou um movimento pendular onde o corpo foi solto efetuando 20 ciclos de oscilação para cada movimento de ida e volta. Para o segundo tipo diferente de movimento, foram realizados três movimentos com grande am- plitude da corda em relação ao eixo vertical, executando um movimento pendular durante 20 ciclos e foram realizados mais três movimentos com pequena amplitude da corda em relação ao eixo vertical, executando um movimento pendular durante 20 oscilações. Para o segundo experimento, temos o experimento da mola, pesos foram colocados na mola para determinar a sua deformação e para o terceiro experimento posterior que foi feito com a mesma mola,a mesma idéia foi utilizada para determinar a quão rígida era mola. Para o quarto experimento da dinâmica de oscilação pendular, a idéia central foi caracterizar as dependências de oscilação da freqüência de oscilação para um corpo sus- penso que oscilava executando um movimento de um pendulo simples. Para isso, foram efetuados movimentos periódicos de oscilação de massas suspensas por uma corda e fa- zendo variações de grandezas físicas para entender a dinâmica e dependência de oscilação da freqüência de oscilação dos corpos que executavam um movimento pendular. Ainda neste quarto experimento, o corpo oscilou com diferentes massas, diferentes comprimen- tos da corda e diferentes ângulos, a idéia central foi entender se havia uma dependência da freqüência de oscilação com essas grandezas físicas e por m, determinar a aceleração gravitacional no local do experimento utilizando o pêndulo simples. Para quinto experi- mento, dois diferentes corpos oscilaram, um deles era um corpo rígido na qual a ideia foi comparar os resultados do pendulo simples e do pendulo físico e vericar se as freqüências de oscilações para ambos os corpos mudam mesmo tendo a mesma massa.

3.1 Organização dos dados

Passo 1 - Vê como o movimento do corpo se comporta Passo 2 - Anotação no caderno de laboratório Passo 3 - Descrição das quantidades estatísticas envolvidas Passo 4 - Representação do diagrama do corpo livre Passo 5 - Descrever as equações do movimento Passo 6 - Determinar os erros associados Passo 7 - Comparação estatística e conclusão

4 Resultados experimentais

4.1 Tabelas e dados referentes a oscilação do halter

Para o 1° movimento periódico na vertical do corpo suspenso por uma corda elástica, foram registrados dados do período em relação ao número de oscilação, juntamente com esses dados, foi associado ao experimento o MDE ( menor divisão de escala ) que chamare- mos de σ 1 pelo equipamento digital de cronometragem que foi associado ao experimento. Relacionaremos ao experimento o erro estatístico, o desvio padrão do tempo em cada período de oscilação, onde chamaremos de σ 2. Para o erro total, chamaremos de σtotal onde associará todos os erros calculados durante o experimento.

Figura 7: Diagrama de corpo livre da massa oscilando na vertical

Fonte: Lucas Fernandes Carneiro

Para o movimento do corpo na vertical suspenso por uma corda elástica obteve-se os seguintes dados para as 10 oscilações

Tabela 1: Movimento do corpo na vertical com 10 oscilações

(t ± 0 .01)s ciclos 22,43 10 22,27 10 22,46 10

Para o movimento do corpo na vertical suspenso por uma corda elástica obteve-se os seguintes dados para as 20 oscilações.

Figura 8: Diagrama de corpo livre da massa pendulando

Fonte: http://sicanalixa.blogspot.com

Para o movimento do corpo solto inicialmente com velocidade inicial igual a zero e pendulando com pequenas amplitudes obteve-se os seguintes dados para as 20 oscila- ções.

Tabela 5: Movimento do corpo pendulando com pequenas amplitudes

(t ± 0 .01)s ciclos 58,96 20 59,27 20 59,19 20

Para o movimento do corpo solto inicialmente com velocidade inicial igual a zero e pendulando com grandes amplitudes obteve-se os seguintes dados para as 20 oscilações.

Tabela 6: Movimento do corpo pendulando com grandes amplitudes

(t ± 0 .01)s ciclos 59,90 20 58,12 20 59,15 20

Para o movimento do corpo solto inicialmente com velocidade inicial igual a zero e pendulando com pequenas amplitudes obteve-se os seguintes erros associados ao expe- rimento.

Tabela 7: Erros associados ao movimento do corpo pendulando com pequenas amplitudes

σ 1 ± σ 2 ± σtotal± 0,01 0,16 0,

Para o movimento do corpo solto inicialmente com velocidade inicial igual a zero e pendulando com grandes amplitudes obteve-se os seguintes erros associados ao experi- mento.

Tabela 8: Erros associados ao movimento do corpo pendulando com grandes amplitudes

σ 1 ± σ 2 ± σtotal± 0,01 0,42 0,

Para descrever as equações do movimento do corpo, inicialmente iremos deduzir as leis que serão aplicadas para a execução do movimento. Inicialmente, o corpo é puxado para baixo em um espaçamento que será chamado de amplitude. Analisando as condições de energia mecânica neste ponto, entende-se que a energia potencial máxima será no ponto de equilíbrio onde a energia cinética será nula e onde o corpo se encontra em repouso. Para energia total do sistema quando o corpo se encontra na amplitude, temos.

Et =

∫ A

0

ky dy +

0

mv dv

Et =

kA^2 2

kA^2 =

∫ (^) y

0

ky dy +

∫ (^) v

0

mv dv = kA^2 = ky^2 + mv^2

Isolando a velocidade, temos:

v =

k m

A^2 − y^2 (2)

Para descrever a equação do movimento do corpo para os ambos os movimentos rea- lizados no experimento, será preciso utilizar a equação diferencial do oscilador harmônico simples para obter melhores resultados com a descrição do movimento. Para isso, será necessário obter a posição do corpo em relação do tempo. Para velocidade do corpo na vertical, tem-se

v =

k m

A^2 − y^2

dy dt

k m

A^2 − y^2

Passando o termo

A^2 − y^2 para o outro lado da equação para integrar em relação ao diferencial dy e integrando ambos os lados, tem-se que

dy √ A^2 − y^2

k m

dt

Para a frequência do corpo que efetua o movimento períodico, tem-se que:

ν =

τ

ω 2 π

Entendendo as forças resultantes que atuam no halter suspenso por uma corda elástica. Para um primeiro momento, o corpo se encontra em repouso e em equilíbrio. Logo, a resultante das forças verticais inicialmente se anulam quando a corda não é esticada.

F r^ ~ =

∑^ n

n=

F 1 + F 2 + ...F n = 0

T^ ~ (~y) + P~ ( −~y) = 0 Entendendo as forças resultantes que atuam no halter suspenso por uma corda elás- tica. Para um segundo momento, o corpo é esticado na direção do solo, deformando assim a corda elástica. Neste momento, a corda sofre uma alteração de comprimento que chamaremos de ∆ι e percorre uma distância no mesmo sentido da força peso. Para essa situação temos as seguintes expressões

T^ ~ (~y) + P~ ( −~y) = F r~

T − P = F r => k(∆ι − x) − mg = −kx

kx + k(∆ι − x) − mg = 0

k(x + ∆ι − x) = mg

k(∆ι) = mg => k =

mg ∆ι Se k depende da massa do corpo e de sua elongação então podemos denir uma equa- ção geral para o movimento.

Sendo k =

mg ∆ι

Então, para a frequência angular temos

ω =

k m

=> ω =

√ (^) mg ∆ι m

ω =

g ∆`

Logo, para este movimento, a freqüência angular não depende da massa do corpo suspenso, mas apenas da variação do seu comprimento e da aceleração gravitacional que o corpo se encontra. Para a equação da posição com velocidade inicial igual a zero e

posição inicial igual à amplitude em to = 0, temos que para o movimento em torno do eixo y: y(t) = Acos(ωt) (7)

y(t) = Acos(

g ∆`

t)

A posição do corpo em função do tempo dependerá de sua amplitude, da variação do comprimento da corda que deslocou o corpo e da aceleração gravitacional no qual o corpo está, para todos os termos, a representação vetorial na equação foi retirada por que o movimento é totalmente unidimensional.

Entendendo as forças resultantes que atuam no halter pendulando. Inicialmente, a corda xa no halter é suspensa para a lateral de tal forma que a cor de comprimento ∆ι faz um angulo θ com o eixo vertical que é perpendicular ao solo. A descrição das forças nesse movimento surge a partir de uma análise vetorial da descrição do mesmo. Traçando um eixo de coordenadas y que é paralelo ao comprimento da corda esticada e traçando outro eixo de coordenadas x que é tangente ao percurso no qual o corpo material percorre. Para a força peso, neste movimento o que irá nos interessar é seu comportamento no eixo de coordenadas x no qual referenciei para descrever o movimento. Fazendo a decomposição vetorial no eixo x, temos que:

sen(Θ) =

P y P

=> P y = P sen(Θ) = mgsen(Θ)

mgsen(Θ) = F Para a equação diferencial do movimento harmônico simples se aplicar a esta condição, consideraremos que sen(Θ) ∼= Θ, logo.

−mg(θ) = F

F = −

mg L

x

Para o período do corpo xo na corda que percorre um movimento pendular, temos que:

τ = 2π

√ (^) m mg `

τ = 2π

`

g

Logo, para a descrição geral da equação do movimento do corpo com velocidade inicial igual a zero, posição inicial igual amplitude em to = 0, tem-se

y(t) = Acos(

g `

t) (9)

Para realizações mais conceituais, as forças macroscópicas estão presentes de um ponto de vista macro para denirmos todo o movimento do corpo material. Diante disso, vale

Tabela 10: Relação entre o peso e a constante da mola

P(N) ∆x(m) K(Nm ) 0,49 0,052 9, 0,98 0,103 9, 1,48 0,155 9, 2,46 0,259 9, 2,95 0,31 9,

Para a constante média da mola e o desvio padrão associado, temos

Tabela 11: Erros associados

K(Nm ) σ 9,49 ±0,

Para um estudo estatístico do movimento, temos o gráco da deformação da mola, onde temos que

Figura 10

Fonte: Lucas Fernandes Carneiro

4.3 Propagação de erro de K

Sendo K a constante da mola que depende da massa, da gravidade e da variação o des- locamento, temos o erro associado a massa e o desvio padrão associado a variação do deslocamento da mola, onde x será representado neste cálculo como variação do desloca- mento da mola. Sendo

σx = ± 0 , 05 cm

σmassa = ± 0 , 005 g

Sendo K = mgx a propagação de erro será:

∆K^2 = (

∂f ∂x 1

∆x1)^2 + (

∂f ∂x 2

∆x2)^2

∆K^2 = (

∂x

mg x

)∆x)^2 + (

∂m

mg x

)∆m)^2

∆K =

−mg(0.05) x^2

)^2 + (

g 0. 005 x

)^2

∆K =

m^20. 240 x^4

x^2

4.4 Tabelas e dados referentes a constante da mola

Nesta subseção, para o experimento, foram associados seus respectivos resultados onde t representa o tempo coletado em segundos e m representa a massa do corpo em kg. O τ representa o período de oscilação do movimento. Junto à tabela, estão presentes os erros de medidas associados aos equipamentos analógicos e digitais.

ω^2 =

m

k (11)

Para determinar uma relação estatistica e poder compreender o que acontece com alguns parâmetros do comportamento da mola, foi possivel determinar o comportamento gráco utilizando a Eq(11).

Figura 11

Fonte: Lucas Fernandes Carneiro

Tabela 15: Relação para ω e m

m−^1 (kg) ω^2 (s−^1 ) 2.78 32. 3.22 37. 3.84 44. 4.76 55. 6.25 66.

4.5 Determinando k através da regressão linear

Durante o processo gráco, foi importante conceder pontos para o calculo da regressão linear. A idéia do calculo é obter o valor da constante K da mola e poder compará-la de mesma forma utilizando o calculo da lei de hooke e vericar se os valores coincidem. Para o calculo da regressão linear, temos.

a =

∑^ n i=

(x − x) · (y − y) ∑^ n i=

(x − x)^2

Chamando x = m−^1 e y = ω^2 , obteve-se os seguintes resultados.

Utilizando a Eq(12) podemos determinar a constante k através do metódo dos minimos quadrads, por tanto, temos que

Tabela 16: Regressão linear para k

x y (x − x) (y − y) (x − x) · (y − y) 6.25 66.09 2.08 18.838 39. 4.76 55.96 0.59 8.708 5. 3.84 44.80 -0.33 -2.452 0. 3.22 37.03 -0.95 -10.222 9. 2.78 32.40 -1.39 -14.852 20.

k =

= 9. 90 N · m−^1

k = 9. 90 N · m−^1 (13)

4.6 Propagação do erro de k

Para propagar o erro de k, foram correlacionadas as condições das variaveis para o qual k dependia, onde k depende da massa do corpo que oscila suspensa a mola e da frequência angular.

k = mω^2 (14)

onde

∆k^2 = (

∂k ∂m

∆m)^2 + (

∂k ∂ω

∆ω)^2 (15)

Resolvendo a Eq(15) e derivando parcialmente a Eq(14) em relação a m e depois em relação a ω^2 , temos que