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PS1.2212 - CICRCUITOS ELÉTRICOS II 2º Prova Semestral 30/10/09 1º Questão (3,0 pontos) GABARITO A função de rede do circuito da Figura 1 no sistema internacional de unidades é dada por 2X) sH tu) E,(s) 942843] O) L + “(9 R$ cDolvy ANA R Figura 1 Pede-se: (1,0) a) Determine a expressão de i(t) para t>0, assumindo condições iniciais nulas e a excitação dada por e,(t)=e' tH(t) (Vs). Resolução: A qu de Laplace da excitação é dada por El)= TE A transformada de Fapihsa da resposta forçada é igual a s+1 K9)=E,(s) &9)= RI s2428+3 “(nfs WD) (s+1+ 02) Para obter a expressão de i(t) para t>0, basta calcular a antitransformada de I(s). Ra expansão em frações parciais, obtemos A A; T(s = Z 2 ()= E s+1— 2 “eaD Calculando os resíduos, obtemos A =I(sXs+Dl.,=0,5 A, =T9)(s+- 2) .=-0,25 AS =-0,25 de -0,25 -0,25 Ks)= sl s+1— iN2 REI Antitransformando, chega-se a i()=0,5* Ê +cos(V2 t + 180º) [H1€), (AS). o (1,0) b) Determine a resposta permanente i(t) para a excitação e, (t) =100cos(100t+30º) (V,s). Resolução: Em RPS temos a resposta em fregiiência jo+1 0) = + 2j043" O fasor da resposta permanente pode ser calculado como 1=É,G6100) = 100e*” OA =g 84, (1100)* + 200 +3 Portanto, a resposta permanente vale i(t) = cos(100t—59,4º) (A,s). (1,0) e) Determine a resposta livre do circuito (expressão de i(t) para t>0), sabendo-se que (O )=1A, v(0)=-4V, R,=10 e L=1H. Resolução: Da função de rede, obtém-se a equação diferencial que descreve o circuito, ou seja, Si de, (t d O) 3, di(t) +3i0= e, (1) dt dt dt Aplicando a transformada de Laplace com e, (t)=0, obtemos +e(t). SI(s)-si(O) +25T(s)-2i(0.)+31(5) = 0 =0. O )s+ no) + “io n | di(t) Para continuar, é necessário calcular o valor de —— t=0 Ks) = s+28+3 Aplicando a 2º LK em t=0 , obtemos di(t) Ri(0 )+L— 0)=0 dO +v(0) t=0 = EO) =-v(0 )-i(0 )=-(—4)-1=3 A/s dt t=0. Portanto, K9- s+5 0 A; A = = + 2 $ 42843 s+I-W2 s++iV2 A =15e00” e A,=1,5005”, Assim, i(t)=3e*cos(V2t-70,53º), (A). 1092 e outros valores adequados dos parâmetros obteve-se sf s+ÊLs+2 27 $+5s+6s (1,0) b) Com Ro = 1/G, E(s) = A partir desse resultado determine os valores iniciais e finais de in(t) e transcreva as respostas para os espaços abaixo. lim i(t) +50, lim i(t) = t50 (1,0) e) Nas mesmas condições do item anterior e com C=0,2F, obteve-se (s'+45+3,6) ls) = dor2)(5+3) Obtenha uma expressão para i»(t) válida para t>0. x Gabarito a) Escrevendo as equações pedidas resulta: : , 1 ii Et [EO]- [5940 di E 1IE(9O scEs SL G+sC+Ht— 7 De onde decorre por inspeção: w=-5. Do v=traR 1 X=G+s+— . Z=75€ sÊ ; b nO=(E- E).G,= (6-8). Ai Jas(sasõeso) 5 o(stss-a) “to s(s+2)(543) Ss — s(e+2)(0+3) 9) = lim sh(s) = 64 son bi(co) = lim sh(s) = 34 ; SR S “h6) =h65)- us) = 16)- (Esls) — Esc do. CBistnRs as 39 75. 75(s2 +45 +3,6)) t 6) “56FDGI9” soa(S Ss sGFDGI9 )- o(s +83) 15s+36 ” —9s2-30s— 18 É Es +2(8+3) (G+2Xs E Ea sfs+ 24543) —3 =3 - no En it) =(-3- 367% — 3829 H(0) (4) 4 — Determine a transformada de Laplace da f(t), dada na Figura 3. e“(asenBt — BcosBt) Dica: ) e senpt = + p [A 1 a ) $+1 -s e $+1 b) lr+e'” (1- e) (S+1) e) nda. d) Figura 3 (&) D Ditamce do lesewa do Aedocacelo tio Huapo to(4-9) t>8 gr 4 > A<6 A+ de ga DOgÓ 9600 E 1 2 ps oi Lis lt 2 A Cel 4-2 E => (4249) YO = 442 gdich 42(42+1) 4244 p 0) 2) 04 7) 2 4 dé |-2 da FS — aa. |- £ ' ps La ef 2 -2N4 NAS . e) (24) (&- ct) (es DD) o Tr 0 t Eaa 8-Sabe-se que F(s) = TEDta DES b) —13 co 2 d) 0 e) nda. ça 2 SPU Pode-se dizer que lim ft) vale: Ecs tes um pólo tm p= +, portudo 5 Jesretsido vas fera Es pooh 2en Has pabewos que £o - A EN B = fe Ah At3 AFA Hc co ftno A + Besc Ra ADO him Les E to - 0, pe A
