Baixe P1 fap2293-2009 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
IFUSP
FAP
F´ısica para Engenharia El´etrica 4
PROVA 1
Gabarito – 17 de setembro de 2009
Quest˜ao 1
O gr´afico abaixo mostra a intensidade em func¸ ˜ao do ˆangulo de observac¸ ˜ao, I(θ), num experimento de interferˆencia por duas fendas retas idˆenticas separadas pela distˆancia d = 6, 00 μm. Todo o aparato se encontra no ar.
−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50
0,
0,
0,
0,
0,
1,
θ (o)
I(θ)
I 0
(1,0): a) Determine a largura das fendas a. (0,5): b) Determine o comprimento de onda λ da radiac¸ ˜ao monocrom´atica utilizada. (0,5): c) Suponha que uma das fendas fosse obstru´ıda. Em termos de I 0 , quais seriam as intensidades observadas em θ = 0◦^ e θ = 30◦? (0,5): d) Descreva qualitativamente as mudanc¸as que seriam observadas no gr´afico I(θ) se todo aparato (2 fendas abertas + anteparo) fosse imerso em ´agua (n = 1, 33 ).
Interferˆencia e difra¸c˜ao
a) Em θ = 30◦^ coincidem o primeiro m´ınimo de difrac¸ ˜ao,
a sen 30◦^ = λ,
e o sexto m´aximo de interferˆencia d sen 30◦^ = 6λ. Assim : a = d/6 = 1, 00 μm. b) Do primeiro m´ınimo de difrac¸ ˜ao em θ = 30◦:
λ = a sen 30◦^ = a/2 = 500 nm.
c) Com apenas uma fenda aberta se observa a figura de difrac¸ ˜ao de uma fenda ´unica com abertura a. Em θ = 0◦, I 0 e o resultado da interferˆ´ encia construtiva de duas fendas, portanto:
I(0◦) = 14 I 0.
Em θ = 30◦^ se localiza o primeiro m´ınimo de difrac¸ ˜ao da fenda, portanto:
I(30◦) = 0.
d) Com o sistema imerso em ´agua, o comprimento de onda ´e reduzido pelo ´ındice de refrac¸ ˜ao, λ′^ = λ/n, de maneira que as diferenc¸as de fase para o mesmo ˆangulo θ s˜ao aumentadas pelo mesmo fator n: ∆φ′^ = 2π
∆r(θ) λ′^ = 2π
∆r(θ) λ = n∆φ.
Em conseq ¨uˆencia, o padr˜ao de interferˆencia se estreita de forma que a intensidade originalmente observada em θ passa a ser observada em θ′^ tal que n sen θ′^ = sen θ.
Quest˜ao 2
Um filme fino de uma soluc¸ ˜ao de ´agua e sab˜ao (ns = 1,40) est´a suspenso no ar (nar = 1,00) horizon- talmente atrav´es de um anel e ´e iluminado por cima com luz branca (400 nm ≤ λ ≤ 700 nm).
(1,0): a) Qual deve ser a espessura m´ınima do filme para que, por reflex˜ao em incidˆencia normal, ele seja observado na cor esverdeada correspondente a λ = 560 nm? (1,0): b) Um filme desta mesma soluc¸ ˜ao ´e depositado sobre uma lˆamina de vidro (nv = 1,50). Qual deve ser agora a espessura m´ınima do filme para que ele seja observado, nas mesmas condic¸ ˜oes anteriores, na mesma cor de λ = 560 nm? (0,5): c) Suponha que um filme da mesma soluc¸ ˜ao tenha uma espessura muito menor que as espes- suras m´ınimas dos ´ıtens anteriores. Que cores seriam observadas por reflex˜ao: i) no filme suspenso no ar e ii) no filme depositado sobre a lˆamina de vidro? Justifique.
Interferˆencia em pel´ıculas delgadas
a) Deve-se ter um m´aximo de interferˆencia na reflex˜ao pelas duas superf´ıcies do filme para λ = 560 nm. H´a invers˜ao de fase apenas na primeira reflex˜ao, quando a luz passa do ar para o filme (espessura t). Assim, a condic¸ ˜ao de m´aximo de interferˆencia fica:
2 nst = (m + 12 )λ.
A m´ınima espessura corresponde a m = 0, ou seja:
tm´ın = λ 4 ns = 100 nm.
b) Agora h´a invers˜ao de fase nas duas reflex ˜oes, e portanto a condic¸ ˜ao de m´aximo se escreve
2 nst = mλ,
e a m´ınima espessura corresponde a m = 1:
tm´ın =
λ 2 ns = 200 nm.
c) Se t tm´ın a eventual diferenc¸a de fase ´e devida apenas `as invers ˜oes de fase nas reflex ˜oes. No primeiro caso h´a apenas uma invers˜ao de fase, de forma que ∆φ = π e os dois feixes refleti- dos interferem destrutivamente para qualquer comprimento de onda: o filme ´e observado como preto. No segundo caso h´a invers˜ao de fase nas duas reflex ˜oes, de forma que ∆φ = 0 e os dois feixes re- fletidos interferem construtivamente para qualquer comprimento de onda: o filme ´e observado como branco.
Quest˜ao 4
Considere o modelo de Bohr para o ´atomo de hidrogˆenio. (0,5): a) Determine, usando a regra de quantizac¸ ˜ao de Bohr, os raios rn das ´orbitas permitidas em func¸ ˜ao das constantes universais e, h, 0 e me e no n ´umero quˆantico n. (1,0): b) Calcule a freq ¨uˆencia angular ωn da ´orbita de raio rn em func¸ ˜ao das constantes e do n ´umero quˆantico n. (1,0): c) Classicamente, a freq ¨uˆencia da radiac¸ ˜ao emitida por uma carga em movimento circular ´e igual a sua freq ¨uˆencia de rotac¸ ˜ao. Determine a freq ¨uˆencia angular ω da radiac¸ ˜ao emitida em transic¸ ˜oes entre ´orbitas consecutivas (n+1 → n). Mostre que para n ´umeros quˆanticos grandes, n 1 , a freq ¨uˆencia da radiac¸ ˜ao emitida ´e iguala freq ¨uˆencia de rotac¸ ˜ao ωn.
Modelo de Bohr
a) Regra de quantizac¸ ˜ao de Bohr: L = mvr = nℏ. Segunda lei de Newton (k = 1/ 4 π 0 ):
mv^2 r
= k e^2 r^2
⇒ mv^2 r =
L^2
mr
= ke^2 ⇒ r =
L^2
mke^2
Assim: rn =
ℏ^2
mke^2
n^2 = a 0 n^2 ,
com a 0 = ℏ^2 /mke^2. b) A freq ¨uˆencia angular de rotac¸ ˜ao ser´a
ωn = vn rn
Ln mr n^2
nℏ ma^20 n^4
⇒ ωn =
ma^20
n^3
mk^2 e^4 ℏ^3
n^3
c) A energia do f ´oton emitido ser´a:
hf = ℏω = ∆E = En+1 − En.
Como En = −
ke^2 2 a 0
n^2
ℏω = ke^2 2 a 0
[
n^2
(n + 1)^2
]
ke^2 2 a 0
[
(n + 1)^2 − n^2 n^2 (n + 1)^2
]
ke^2 a 0
n(n + 1)^2
Para n 1 ω ≈ ke^2 ℏa 0
n^3
ma^20
n^3
mk^2 e^4 ℏ^3
n^3 = ωn.
IFUSP
FAP
F´ısica para Engenharia El´etrica 4
Formul´ario Prova 1 — 22/09/
c = 3, 00 × 108 m/s e = 1, 60 × 10 −^19 C
μ 0 = 4π× 10 −^7 N A−^2 = 1, 26 × 10 −^6 N A−^2 λC = h mec
= 2, 43 × 10 −^3 nm
0 = 1/μ 0 c^2 = 8, 85 × 10 −^12 F/m me = 9, 11 × 10 −^31 kg = 0,511 MeV/c^2
h = 6, 63 × 10 −^34 J s = 4, 14 × 10 −^15 eV s h √ 2 me
= 4, 91 × 10 −^19 J^1 /^2 m = 1,226 (eV)^1 /^2 ·nm
hc = 2, 00 × 10 −^25 J m = 1240 eV nm a 0 = 4π 0 ℏ^2 /mee^2 = 0, 529 A˚ σ = 5, 67 × 10 −^8 W m−^2 K−^4 mp = 1, 673 × 10 −^27 kg = 938,3 MeV/c^2 b = 2, 90 × 10 −^3 K m mn = 1, 675 × 10 −^27 kg = 939,6 MeV/c^2
θi = θr n 1 sen θi = n 2 sen θt
v = ω k = λf = c n
φ ≈ 2 π d sen θ λ
I = Imax cos^2 (φ/2) d sen θbril = mλ d sen θesc =
m+ (^12)
λ
Φ ≈ 2 π
a sen θ λ I = Imax
[
sen (Φ/2) (Φ/2)
] 2
a sen θesc = mλ (m = ± 1 ,± 2 ,... ) θmin ≈ λ/a; θmin ≈ 1 , 22 λ/D
2 nt =
m+ (^12)
λ 2 nt = mλ
d sen θbril = mλ (m = 0,± 1 ,± 2 ,... ) 2 d sen θ = mλ (m = 0,± 1 ,± 2 ,... )
I = I 0 cos^2 θ
En = nhf ; n = 0, 1 , 2 , 3 ,...
RT = σT 4 λmaxT = b = 2, 90 × 10 −^3 K m
E = hf = hc λ ; p =
E
c
h λ Kmax = hf − φ = e∆Vs
E =
(pc)^2 + (mc^2 )^2 λ′^ − λ 0 = λC (1 − cos θ) λC = h mec
L = nℏ En=−
Z^2 e^2 8 π 0 a 0
n^2
Z^2
n^2 13 ,6 eV
