1 Lagrangiana Clássica para uma Partícula Car-
regada num Campo Eletromagnético
A força que atua não necessariamente pode ser escrita pela gradiente de uma
função da posição. Por exemplo, uma partícula carregada num campo eletro-
magnético, a força depende também de velocidade da partícula (a força de
Lorentz). Consideramos o movimento de uma partícula carregada num campo
elétrico ~
E=~
E(~r; t)e magnético ~
B=~
B(~r; t). A força que atua para a partícula
com carga eé dada por
~
F=eh~
E+~v Bi:(1)
Agora, escolhendo o potencial escalar =(~r; t)e o potencial vetorial ~
A(~r; t),
podemos sempre escrever1
~
E=@~
A
@t r; (6)
~
B=r ~
A; (7)
Assim, em termos destes potenciais, a força de Lorentz é expressa por
~
F=e"@~
A
@t r+~v r ~
A#:
Mas
~v r ~
A=r(~v ~
A)(~v r)~
A; (8)
então
~
F=e"@~
A
@t r+r(~v ~
A)(~v r)~
A#:(9)
Agora, o campo vetorial ~
Adepende no tempo e na posição,
~
A=~
A(~r; t):
1A orige m dest a repre sentaçã o dos ca mpo s eletro magn éticos é q ue dentr o das 4 eq uaçõe s
de Max well,
r ~
E=
"0
;(2)
r ~
B= 0;(3)
r ~
E=@~
B
@t ;(4)
r ~
B=0~
J+0"0
@~
E
@t ;(5)
a segun da e a terc eira não d epen dem da c ondiç ão exte rna (ca rga e corr ente) e po rtanto ,
~
Ee~
Btem qu e satisf azer es sas dua s semp re. Is to suge re que n a verdad e ~
Ee~
Bnão são
indep end entes, m as exist e algo ma is básic a do que e les. C om esse p oten cial e~
A; as dua s
equa ções são a utom aticam ente sa tisfeit as.
1
