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AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO
Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas , 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044. Páginas 442-451. HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas , Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 445-456.
6. A Transformada Z
6.1. Definição
Vimos que qualquer sequência x [ n ]cuja soma dos módulos é finita pode ser
facilmente computada no domínio da frequência pela transformada de Fourier X ( e j^ ω).
No entanto, existem dois problemas na abordagem por transformadas de Fou- rier. O primeiro é o fato de que estas transformadas são de tempo contínuo. A solução para este problema, como também já vimos, é a definição da TFD e da FFT.
O segundo problema ainda não foi resolvido: existem muitos sinais úteis na
prática – como u [ n ]e nu [ n ]- para os quais a transformada de Fourier de tempo
discreto não existe.
Sendo assim, consideraremos agora uma extensão da transformada de Fourier de Tempo Discreto para resolver este segundo problema. Esta extensão é chamada de Transformada Z. Sua versão bilateral (ou de dois lados) provê ou- tro domínio no qual uma classe maior de sequências e sistemas pode ser ana- lisada enquanto que a versão unilateral (ou de um lado) pode ser usada para obter resposta de sistemas com condições iniciais e mudanças na entrada.
6.2. A Transformada Z Bilateral
A transformada Z de uma sequência x [ n ]é dada por
( ) n
n
X z x n x n z
∞ − =−∞
= Z ^ ^ ^ = ∑ ^
em que z é uma variável complexa.
O conjunto de valores de z para os quais X ( z )existe é chamada de região de
convergência (RDC) e é dada por
R x − < z < Rx + (2)
para números positivos R (^) x − e R (^) x +.
A transformada z inversa de uma função complexa X ( z )é dada por
[ ] = −^ [ ( )] = ∫ C X ( ) z zn^ − dz
j
x n Z^1 X z^1
em que C é um contorno no sentido anti-horário englobando a origem e con- tido na RDC.
Comentários :
1. A variável complexa z é chamada de frequência complexa e é dada por z = z ej^ ω, em que z é a atenuação e ω é a frequência real. 2. Como a RDC (1) é definida em termos do módulo z , a RDC terá sempre a
forma de um anel aberto como mostrado a seguir. Note que R (^) x − pode ser igual a zero e R (^) x + pode ser ∞.
3. Se R (^) x + < Rx −então a RDC é um espaço nulo e a transformada Z não existe.
em que B ( z )é o polinômio numerador e A ( z )é o polinômio denominador.
As raízes de B ( z )são chamadas de zeros de X ( z )e as raízes de A ( z )são cha-
madas de pólos de X ( z ). Desta forma, podemos representar x [ n ] por um dia-
grama de pólos e zeros no qual os zeros são denotados por ‘◦’ e os pólos por ‘×’.
Exercícios
2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 82) Desenhe o diagrama de pólos e zeros do sinal do Exercício 1.
3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 82) Seja x 2 [ n ] = − bn^ u [− n − 1 ], 0 < b <∞. ( Esta
sequência é chamada de tempo negativo ). Determine X 2 ( z ), sua RDC e dese-
nhe seu diagrama de pólos e zeros.
4. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 83) Seja:
x 3 [ n ] = x 1 [ n ] + x 2 [ n ] = an^ u [ n ] − bnu [− n − 1 ].
( Esta sequência é chamada de sequência de dois lados ). Determine X 3 ( z ), sua
RDC e desenhe seu diagrama de pólos e zeros.
Observando as RDC’s dos exercícios anteriores, podemos estabelecer as se- guintes propriedades:
I. A RDC é sempre limitada por uma circunferência já que a condição de convergência está relacionada ao módulo z.
II. A sequência x 1 [ n ] = anu [ n ]do Exercício 1 é um caso especial de uma sequência
à direita , definida como uma sequência x [ n ] que vale zero para n < n 0. Do
Exercício 1 a sequência RDC para sequências à direita é sempre o exterior de um círculo de raio R (^) x −. Se n 0 (^) ≥ 0 , então a sequência à direita é também chamada de sequência causal.
III. A sequência x 2 [ n ] = − bn^ u [ − n − 1 ]do Exercício 3 é um caso especial de uma
sequência à esquerda , definida como uma sequência x [ n ]que vale zero para
n ≥ n 0. Se n (^) 0 ≤ 0 , a sequência resultante é chamada de anti-causal. Do Exercí- cio 3 a RDC de sequências de lado esquerdo é sempre o interior de uma cir- cunferência de raio Rx (^) +.
IV. A sequência x 3 [ n ]do Exercício 4 é uma sequência de dois lados. A RDC
para sequências com dois lados é sempre um anel aberto R^ x − <^ z < Rx + se ela existir.
V. As sequências que valem zero para n < n 1 e n > n 2 são chamadas de se-
quências de duração finita. A RDC para tais sequências é o plano z inteiro. Se n 1 (^) < 0 então z =∞ não está na RDC. Se n (^) 2 > 0 então z = 0 não está na RDC.
VI. A RDC não pode incluir pólos já que X ( z )converge uniformemente nesta
região.
VII. Existe ao menos um pólo na periferia de uma RDC para uma X ( z )racio-
nal.
VIII. A RDC é uma região contínua; isto é, a RDC não pode ser dividida em pedaços.
Em processamento digital de sinais, os sinais são considerados causais já que quase todos os dados digitais são adquiridos em tempo real. Assim, a única RDC de interesse para nós é a dada no comentário 2.
