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pilares curtos
Tipologia: Notas de estudo
1 / 40
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1
F (^) d
l
e (^2)
F (^) d
M (^) 1d
M1d
e 2 e 1 =M1d/F (^) d
F (^) d
F (^) d
3
h/
h/
h
LN
x c
N (^) d e
Md
c
N (^) d
O problema
7
ck cd
yk yd
cd
d
σ
cd
d
σ
yd
cd
σ
As tabelas são restritas aos concretos do Grupo I (concretos com f (^) ck ≤ 50 MPa).
Exemplo:
4
4
40
20cm
e
Nk
c
Aço CA-50: f (^) yk = 500 MPa.
N (^) k = 410 kN; e = 25 cm;
f (^) ck = (^20) MPa;
(Seção com duas camadas de armadura)
cd =^ ck = ≅
f f MPa (^) ⇒ f (^) cd = 1 , 4 kN/cm 2
yk yd
f f kN/cm 2
9
N (^) d = 1 , 4 Nk = 1 , 4 x 410 ⇒ Nd = 574 kN M (^) d = Nde = 574 x 25 ⇒ Md = 14350 kNcm
bh x x
cd
d
cd
d
h
d ⇒
0 , 71 x 20 x 40 x f
A bh yd
cd s = =
Se μ = 0,37:
ω = anterior + diferença x 0,
Regra prática
Interpolação linear
13
Fórmulas aproximadas para flexo-compressão normal
Fórmulas apresentadas por Montoya: válidas para seções retangulares com duas camadas de armadura.
ν ≤ 1 ⇒μ= ( 0 , 5 −δ) βω+ 0 , 468 ν( 1 −ν) (1) ν > 1 ⇒μ= ( 0 , 5 −δ) β( ω+ 1 −ν) (2)
Resolvendo o exemplo anterior com a fórmula:
De (1):
( ) ( )
yd
cd As bh f
f (^) ck ≤ 50 MPa
15
L N
x
x (^) o
y N (^) d
α
O problema fica mais complicado, pois a inclinação da linha neutra passa a ser incógnita.
Empregando o diagrama retangular, devemos trabalhar com
σ (^) cd = α cf cd , se a largura não diminuir
σ (^) cd = 0 , 9 α cf cd , se a largura diminuir
Temos os dois casos Adotar ⇓ σ (^) cd = 0 , 95 α cf cd
Se f (^) ck ≤ 50 MPa, obtém-se σ (^) cd = 0 , 80 fcd.
y
x
ex
ey
Nd
xsi
ysi
Esforço normal: Nd
Momentos fletores: M (^) xd = Nde x e M (^) yd = Nde y
A cc = área comprimida com
barra (^) i A si = área da barra i
19
Exemplo:
20cm
40 x
y 4
4 Concreto:^ f^ ck =^20 MPa Aço CA-50 ( f (^) yk = 50 kN/cm 2 ) Dados:
M (^) xk = 2000 kNcm M (^) yk = 4000 kNcm
cd =^ ck ≅
f f MPa;
yk yd
f f kN/cm 2 ; h (^) x = 20 cm; h (^) y = 40 cm.
Ac = hxhy = 20 x 40 ⇒ Ac = 800 cm 2
N (^) d = 1 , 4 Nk = 1 , 4 x 800 ⇒ Nd = 1120 kN M (^) xd = 1 , 4 Mxk = 1 , 4 x 2000 ⇒ Mxd = 2800 kNcm M (^) yd = 1 , 4 Myk = 1 , 4 x 4000 ⇒ Myd = 5600 kNcm
A x
c cd
d
= = ⇒ x ≅ c x cd
xd x (^) A h x x
= = ⇒ y ≅ c y cd
yd y A h x x
21
Tabela A2.2: Interpolando ⇓
= = ⇒ s = yd
c cd s A
x x f
cm 2.
25
A rigidez equivalente também pode ser determinada considerando uma carga horizontal p^ , uniformemente distribuída.
ph EI (^) eq tot 8
4 = (^) (modelo de carga uniforme)
PROCEDIMENTO RECOMENDADO
A) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes estruturais e/ou pilares-parede
cs c
V tot (^) E I
h (estrutura indeslocável) (6.2.6)
E cs = módulo secante do concreto, I (^) c = momento de inércia da seção de concreto simples.
O coeficiente (^) α (^) lim é função do número de andares (^) n do edifício e do estado de fissuração do elemento de contraventamento.
n
n
27
resistência à tração característica inferior do concreto, f (^) ctk ,inf, para
saber o estado de fissuração do elemento de contraventamento.
B) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por pórticos
modelo de carga uniforme.
U , considera-se a rigidez EI = 0 , 70 Ecs Ic , para os pilares, e EI = 0 , 35 Ecs I c , para as vigas.
α = ≤ α lim eq
V
lim =^0 ,^661 − ≤ n
C) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito pela associação de pórticos com paredes e/ou pilares-parede
31
Exemplo 1:
Verificar se o pilar-parede da fig. 6.2.2 é suficiente para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 8 andares, cuja altura total desde a fundação é igual a 25 m. A soma de t odas as cargas verticais de
serviço é igual a 25.000 kN e o concreto possui f (^) ck = 20 MPa.
x (^) c
y (^) c
y
x
0,15 0,50^ 2,70m^ 0,50^ 0,
0,
1,
0,
c
Fig. 6.2.2 - Pilar-parede de contraventamento
xc = 2 m ; yc = 0 , 63 m. (coordenadas do centróide)
13 ⎟^ ≅ ⎠
E = x ⎛^ + cs MPa
E 25760 x 103 cs =^ kN/m
2
Substituindo n = 8 nas equações (6.2.7) e (6.2.8), obtém-se:
33
x x
O pilar-parede sozinho é suficiente para garantir a indeslocabilidade nesta direção, independentemente do seu estado de fissuração.
x x
O pilar-parede sozinho não é suficiente para garantir a
fissurado.
Exemplo 2: Determinar a rigidez equivalente do pórtico
1
2
15
5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
Vigas: 20cm x 60cm
Pilares: 20cm x 50cm
f (^) ck = 25 MPa
Pilares: EI = 0 , 70 Ecs Ic ; Vigas: EI = 0 , 35 Ecs Ic
Ecs = 27200 MPa
htot = 60 m
37
M (^) 1d =F (^) d e 1
F (^) d
M (^) 1d
F (^) d
l
ec e 2 e (^1)
F (^) d
F (^) d
Excentricidade de segunda ordem:
( ) h
l e o^0 ,^5
2 2
c cd
d o (^) A f
A c = área da seção de concreto; h = altura na direção considerada
Excentricidade de fluência:
∞ 1 e k^1
k P F
F ec e e
ϕ
e = base do logaritmo neperiano;
Carga de Euler: (^2)
2
e
cs c e l
Esforços para dimensionamento:
N (^) d = F d e M (^) d = Fd ( e 1 + e 2 + ec ).
39
Excentricidade acidental Excentricidade mínima
e a
l e =
(leva em conta as imperfeições do eixo do pilar)
e 1 (^) , min = 1 , 5 + 0 , 03 h , cm
(cobre os erros de avaliação do momento inicial)
Excentricidade de primeira ordem : e (^) 1 = ei + ea ; F
e (^) i = i
canto extremidade
intermediário
Pilar intermediário : podemos desprezar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas; situação de projeto: compressão centrada.
Pilar de extremidade : considerar os momentos iniciais; situação de projeto: flexo-compressão normal.
Pilar de canto : considerar os momentos iniciais nas duas direções; situação de projeto: flexo-compressão oblíqua.
