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Portas Logicas, Notas de estudo de Informática

Universidade Estácio de Sá (Estácio)Informática

Conceito Portas Logicas

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 13/05/2010

jose-eustaquio-6
jose-eustaquio-6 🇧🇷

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bg1
FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ DE BELO HORIZONTE
Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores
Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.
Unidade III
Conceitos de Lógica Digital
RESUMO de proposições e conectivos
Proposição: sentença que pode assumir o valor FALSO ou VERDADEIRO.
Através de três conectivos é possível fazer a associação de duas ou mais sub-proposições de forma
que a proposição resultante só possa assumir um dos valores FALSO ou VERDADEIRO.
O conectivo E
Na hipótese das duas sub-proposições serem verdadeiras a proposição resultante também será
verdadeira.. Caso uma das proposições, ou ambas, assuma o valor FALSO, a proposição resultante
será FALSA.
É a chamada Conjunção de proposições.
Representação da Conjunção: . (ponto, símbolo usado na multiplicação) entre as sub-proposições.
Ex: A.B significando A E B
As diversas possibilidades de combinação entre proposições ligadas pelo conectivo E podem ser
expressas na chamada “Tabela verdade”.
Para duas proposições quaisquer A e B, a Tabela verdade será:
Onde: V: Verdadeiro F: Falso
Conclusão: proposições ligadas com o conectivo E têm que ser
todas verdadeiras para que a proposição resultante seja verdadeira.
O conectivo OU
Na hipótese de uma das duas sub-proposições ser verdadeira ou de ambas serem verdadeiras, a
proposição resultante também será verdadeira.. Caso as duas proposições assumam o valor FALSO,
a proposição resultante será FALSA.
É a chamada Disjunção de proposições.
Forma de representação da Disjunção: + (sinal de mais) entre as sub-proposições. Ex: A+B
significando A OU B
As diversas possibilidades de combinação entre proposições ligadas pelo conectivo OU podem,
também, ser expressas na chamada “Tabela verdade”.
Para duas proposições quaisquer A e B, a Tabela verdade para a Disjunção será:
Onde: V: Verdadeiro F: Falso
Prof. José Eustáquio do Amaral Pereira – 11/08/09
1
A B A.B
V V V
V F F
F V F
F F F
A B A+B
V V V
V F V
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pfd
pfe
pff

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Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Unidade III

Conceitos de Lógica Digital

RESUMO de proposições e conectivos

Proposição: sentença que pode assumir o valor FALSO ou VERDADEIRO.

Através de três conectivos é possível fazer a associação de duas ou mais sub-proposições de forma

que a proposição resultante só possa assumir um dos valores FALSO ou VERDADEIRO.

O conectivo E

Na hipótese das duas sub-proposições serem verdadeiras a proposição resultante também será

verdadeira.. Caso uma das proposições, ou ambas, assuma o valor FALSO, a proposição resultante

será FALSA.

É a chamada Conjunção de proposições.

Representação da Conjunção:. (ponto, símbolo usado na multiplicação) entre as sub-proposições.

Ex: A.B significando A E B

As diversas possibilidades de combinação entre proposições ligadas pelo conectivo E podem ser

expressas na chamada “Tabela verdade”.

Para duas proposições quaisquer A e B, a Tabela verdade será:

Onde: V: Verdadeiro F: Falso

Conclusão: proposições ligadas com o conectivo E têm que ser

todas verdadeiras para que a proposição resultante seja verdadeira.

O conectivo OU

Na hipótese de uma das duas sub-proposições ser verdadeira ou de ambas serem verdadeiras, a

proposição resultante também será verdadeira.. Caso as duas proposições assumam o valor FALSO,

a proposição resultante será FALSA.

É a chamada Disjunção de proposições.

Forma de representação da Disjunção: + (sinal de mais) entre as sub-proposições. Ex: A+B

significando A OU B

As diversas possibilidades de combinação entre proposições ligadas pelo conectivo OU podem,

também, ser expressas na chamada “Tabela verdade”.

Para duas proposições quaisquer A e B, a Tabela verdade para a Disjunção será:

Onde: V: Verdadeiro F: Falso

Prof. José Eustáquio do Amaral Pereira – 11/08/09 1

A B A.B

V V V

V F F

F V F

F F F

A B A+B

V V V

V F V

F V V

F F F

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Conclusão: basta que uma das proposições ligadas com o conectivo OU seja verdadeira para que a

proposição resultante seja verdadeira.

O conectivo NÃO

O conectivo NÃO faz a Negação de uma dada proposição. Dada uma proposição A o conectivo

aplicado a ela cria uma nova proposição que pode ser lida como “É falso que A”.

Se a proposição original for verdadeira a Negação (conectivo NÃO) a torna falsa..

A tabela verdade do conectivo NÃO é bem simples.

Onde: V: Verdadeiro F: Falso

Conclusão: proposição verdadeira negada, resulta em proposição falsa, e

vice-versa.

Na construção das tabelas verdade podem ser usados outros símbolos. É comum, por exemplo, usar-

se o 1(hum) para as proposições verdadeiras e o 0(zero) para as falsas.

O conceito de tabela verdade se aplica, também, para a análise de um número de proposições

ligadas por diferentes conectivos. Ela é um importante instrumento de análise e interpretação que

nos permitirá, no estudo de circuitos lógicos, verificar os resultados (proposições de saída) ou sinais

resultantes a partir das possíveis combinações de sinais de entrada.

Leis da Álgebra das Proposições

As leis da álgebra das proposições são como propriedades que permitem a análise e simplificação

de proposições. Em outras palavras, com um número menor de conectivos ligando proposições,

pode-se obter o mesmo resultado.

Exemplo: “É falso que (o Atlético perdeu para o Santos E o Rubinho Barrichelo ganhou o

campeonato de pilotos de 2004)” tem o mesmo valor (Falso ou Verdadeiro) que a proposição “É

falso que o Atlético perdeu para o Santos OU É falso que o Rubinho Barrichelo ganhou o

campeonato de pilotos de 2004”

Esse exemplo pode ser “testado” usando-se as tabelas verdades.

Para tanto vamos chamar de A a proposição “o Atlético perdeu para o Santos” e de B a

proposição “o Rubinho Barrichelo ganhou o campeonato de pilotos de 2004”

A representação dessas proposições com seus conectivos, nas duas formas propostas, fica nas

formas abaixo:

(A. B)’ para o primeiro caso e A’ + B’ para o segundo

Na construção das tabelas verdade usaremos 1(hum) para as proposições verdadeiras e 0(zero)

para as falsas

Tabela verdade de (A. B)’ Tabela verdade de A'. B'

A B A. B (A. B)’ A B A' B' A' + B'

A A’

V F

F V

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

diferentes. Da mesma forma, na segunda tabela, a forma de associação das proposições ligadas pelo

conectivo E não gera resultados diferentes.

Leis comutativas A + B = B + A

A. B = B. A

Demonstração pelas Tabelas verdade

Leis distributivas A + (B. C) = (A + B). (A + C)

A. (B + C) = (A. B) + (A. C)

Demonstração pelas Tabelas verdade

A B C (B. C) A + (B. C) (A + B) (A + C) (A + B). (A + C)

A B C (B + C) A. (B + C) (A. B) (A. C) (A. B) + (A. C)

Leis de Identidade A + 0 = A

A + 1 = 1

A. 0 = 0

A. 1 = A

Demonstração pelas Tabelas verdade

A 0 A. 0

A 1 A. 1

A B A + B B + A A. B B. A

A 0 A + 0

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira. 0 1 0

Leis Complementares A + A’ = 1 0’ = 1

A. A’ = 0 1’ = 0

A’’ = A

Demonstração pelas Tabelas verdade

A A’ A + A’

A A’ A’’

Leis de De Morgan (A + B)’ = A’. B’

(A. B)’ = A’ + B’

Tabela verdade de (A + B)’ Tabela verdade de A'. B' A B A + B (A + B)’ A B A' B' A'. B' 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

A tabela verdade da segunda Lei de De Morgan já foi feita anteriormente.

Analogia entre a Álgebra das Proposições e Circuitos elétricos

Circuito em série (com chaves em série)

Supondo que os dois fios à esquerda sejam colocados na tomada e que as setas representam chaves

ou interruptores (X e Y), em que situação a lâmpada se acenderá?

A 1 A + 1

A A’ A. A’

X

Atenção: isto é uma lâmpada

X Y

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

representam o conectivo E e OU serão mostradas como proposições em circuitos série e em

paralelo.

Ex:

A equação da álgebra das proposições que equivale ao circuito acima é: A. (B + A’)

A chave ou proposição A está ligada em série a um circuito em paralelo que tem B como uma das

chaves ou proposição e a negação de A como outra chave ou proposição.

Também para esse tipo de circuito é possível fazer a tabela verdade.

A B A' B + A' A. (B + A')

Ex 2:

O circuito equivalente é: (A. B’) + (A’ + C). B

A tabela verdade é:

A B C A' B' A. B' A' + C (A' + C). B (A. B') + (A' + C). B

Ex3: Dada a expressão (A’. B) + (A’. (B’ + A + B)), construir o circuito correspondente

A

B

A

A B’

B

C

A

A B

A

A

B’

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Ex 4 : Baseado nas Leis da Álgebra das Proposições, simplificar a expressão acima e desenhar o

novo circuito correspondente.

(A’. B) + (A’. (B’ + A + B))

Como B’ + B = 1, a expressão fica: (A’. B) + (A’. (A + 1))

Como A + 1 = 1, a expressão fica: (A’. B) + (A’. 1)

Como A’. 1 = A’, a expressão fica: (A’. B) + A’

Pela Lei distributiva (A’. B) + A’ = (A’ + A’). (B + A’) = A’. (B + A’)

Os circuitos equivalentes são:

A análise desses circuitos nos leva à seguinte conclusão: há um caminho nos circuitos que só

depende do valor da proposição A. Se ela for falsa, sua negação será verdadeira e a proposição

conjunta será verdadeira, independente do valor da proposição B. Em outras palavras, B é

dispensável nesse circuito. Sem ela, a proposição B, teríamos como circuitos resultantes A’ em

paralelo com A’ no primeiro, e A’ em série com A’, no segundo. Relembrando as Leis

Idempotentes da Álgebra das proposições teríamos como circuito resultante:

Na verdade, a situação das duas expressões/circuitos acima poderia levar à conclusão da inutilidade

da proposição B pela aplicação de uma outra Lei ou propriedade da Álgebra das proposições.

São as Leis da absorção.

A + A. B = A

A. (A + B) = A

A + A’. B = A + B

A. (A’ + B) = A. B

A análise dos circuitos correspondentes às duas últimas expressões também permite concluir que,

no caso, a proposição A’ não tem função, ou seja, ela não altera o resultado final do circuito.

Esses circuitos são:

B

A B

A

A B

’ A ’ A ’ A ’ A

B

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

1 o^ passo: Construir a expressão equivalente

A. B + A. B’ + A’. B’

2 o^ passo: Lei distributiva nas duas primeiras parcelas da soma

A. (B + B’) + A’. B’

3 o^ passo: Lei complementar - B + B’ = 1

A. 1 + A’. B’

4 o^ passo – Lei de identidade - A. 1 = A

A + A’. B’

5 o^ passo: Lei da absorção

A + B’

Redes e Portas eletrônicas

Um circuito digital admite a presença de dois valores lógicos que, em geral, são representados por

sinais elétricos: entre 0 e 1 volt, representa um desses valores (o binário 0) e entre 2 e 5 volts, o

outro valor (o binário 1).

As portas lógicas “trabalham” com valores lógicos desse tipo e realizam diversas funções e são a

base do hardware dos computadores digitais.

Toda a lógica digital baseia-se no fato de que os transistores podem operar como uma chave binária

(aberta – fechado) cujo tempo de comutação é extremamente pequeno.

Os transistores, isoladamente ou em conjunto, são capazes de implementar os conectivos lógicos.

Esse grupo específico de transistores que implementam os conectivos é chamado de portas lógicas.

As portas lógicas elementares são:

As portas E e OU podem ser vistas em outras publicações em um formato um pouco diferente.

Aqui, por questões de simplicidade, foram usadas Autoformas padrão do MSWord.

A + B OU

A. B E

A’ NÃO

A

B

A

B

A

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

As portas E e OU admitem mais de 2 entradas e uma única saída. Cada uma das entradas assim

como a saída pode assumir o valor 0 (falso) ou 1 (verdadeiro).

Reflita sobre a relação entre a Álgebra Booleana e as portas lógicas.

Cada uma das portas implementa um conectivo da Álgebra Booleana.

A saída da porta E será igual a 1 (verdadeira) se e somente se todas as entradas forem iguais a 1

(verdadeiras). A porta OU será igual a 0 (falsa) se e somente se todas as entradas forem iguais a 0

(falsas). Em outras palavras, para que a porta E seja igual a 0 (falsa) basta que uma das entradas seja

igual a 0; para que a porta OU seja igual a 1, basta que uma das entradas seja igual a 1.

Entendidas as portas lógicas, podemos fazer entender a função das expressões lógicas e dos

circuitos elétricos vistos anteriormente.

Como será o circuito lógico (formado por Portas Lógicas) representado pela expressão:

(A’. B) + (A’. (B’+ A + B))

Lembrando da simplificação feita nessa expressão usando as Leis da Álgebra das proposições, o

circuito lógico acima tem a mesma função que o circuito abaixo:

Exercício 1- Dado o circuito lógico abaixo, aplicando as Leis da Álgebra das Proposições,

determinar um outro circuito equivalente com o menor número possível de portas. 1o^ passo:

determinar a Expressão equivalente ao primeiro circuito e efetuar as possíveis simplificações.

A expressão correspondente ao circuito é (A + B.C)’ + B

1 o^ passo: Lei de De Morgan – (A’. (B.C)’) + B

2 o^ passo: Lei distributiva – (B + A’). (B + (B.C)’)

3 o^ passo: Lei de De Morgan - (B + A’). (B + (B’ +C’))

4 o^ passo: Lei complementar – (B + A’). (1 + C’)

5 o^ passo: Lei identidade – (B + A’). 1

A A’

A B C A B

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Exercício 3: Dado o circuito elétrico abaixo, desenhar o circuito lógico equivalente.

Exercício 4: Considerando as operações básicas da multiplicação de números binários, como porta

ou portas lógicas poderiam implementar essas operações?

Uma porta E é suficiente para implementar as operações básicas da multiplicação.

Exercício 5: Considerando as operações básicas da soma de números binários, como porta ou

portas lógicas poderiam implementar essas operações?

Apenas uma porta OU não é suficiente para implementar as operações básicas da soma binária. A

operação 1 + 1 = 10 não pode ser implementada com uma única porta.

O circuito que pode efetuar essas somas é mostrado abaixo.

A B C A A` B C A 1 1 0 0 (A. B) 1 0 0 0 B 1 0 1 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Ex 6: Provar, pelas tabelas verdade, que os circuitos abaixo são equivalentes

A B C A’ B’ C’ x = A. B’ y = A’ + C’ z = y. C x + z w = A’. C x + w 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0

Exercício 7. Analise o circuito lógico abaixo. Para qual (ou quais) combinações de sinais (valores 0

ou 1) de A e B, o sinal de C determina o sinal de saída? Em outras palavras, a pergunta pressupõe

que, para algumas combinações de sinais de entrada, o sinal de C não influencia o resultado. Para

qual ou quais combinações de A e B, o sinal de C deve ser considerado?

Sugestões: Análise da Tabela verdade;

A B C A B C A B C

Curso Superior de Tecnologia em Redes de Computadores

Disc: Arquitetura de Computadores Prof: José Eustáquio do Amaral Pereira.

Como esse circuito é muito utilizado convencionou-se uma forma de representá-lo como se fosse

uma porta com duas entradas e uma saída, mas na verdade, é um circuito com 5 portas (2 NÃO; 2

E; 1 OU).