Probabilidade: Conceitos Básicos - Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I (GET00117), Exercícios de Probabilidades e Processos Estocásticos

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Universidade Federal Fluminense

Instituto de Matemática e Estatística

Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I

(GET00117)

Probabilidade

Ana Maria Lima de Farias

Departamento de Estatística

Agosto 2015

Sumário

Capítulo 1

Probabilidade: conceitos básicos

1.1 Introdução

No nosso cotidiano, lidamos sempre com situações em que está presente a incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis já sejam conhecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculino ou feminino, mas só saberemos o resultado exato quando o bebê nascer. Se estivermos interessados na face voltada para cima ao jogarmos um dado, os resultados possíveis serão 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mas só saberemos o resultado quando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfície sobre a qual foi lançado. É conveniente, então, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em cada um desses acontecimentos. Tal medida é a probabilidade.

No estudo das distribuições de frequências, vimos como essas são importantes para entendermos a variabilidade de um fenômeno aleatório. Por exemplo, quando sorteamos uma amostra de empresas para analisar a distribuição do número de empregados, sabemos que uma outra amostra fornecerá resultados diferentes. No entanto, se sortearmos um grande número de amostras, esperamos que surja um determinado padrão que irá refletir a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, construído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de frequências quando o fenômeno for observado diretamente. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e serão estudados na segunda parte deste curso. A probabilidade é a ferramenta básica na construção de tais modelos e será estudada nesta primeira parte.

1.2 Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Consideremos o lançamento de um dado, a fim de estudarmos a proporção de ocorrências das suas faces. O primeiro fato a observar é que existem apenas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segundo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que ele seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes e, portanto,

2 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS

essa proporção deve ser 16 : Nessas condições, nosso modelo probabilístico para o lançamento de um dado pode ser expresso da seguinte forma:

Face 1 2 3 4 5 6 Total Frequência teórica 16 16 16 16 16 16 1

Suponhamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculino (M) ou feminino (F). Então, as possibilidades para o sexo das três crianças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultados sejam igualmente prováveis, o que equivale a dizer que cada bebê tem igual chance de ser do sexo masculino ou feminino. Então cada resultado tem uma chance de 1 8 de acontecer. Assim, o modelo probabilístico para esse experimento seria

Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total Freq. teórica 18 18 18 18 18 18 18 18 1

Por outro lado, se só estivermos interessados no número de meninas, esse mesmo experimento nos conduzirá ao seguinte modelo probabilístico:

Meninas 0 1 2 3 Total Freq. teórica 18 38 38 18 1

Nesses exemplos, vimos que a especificação de um modelo probabilístico para um fenômeno casual depende da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, então, estabelecer algumas definições antes de passarmos à definição propriamente dita de probabilidade.

1.2.1 Experimento aleatório

Um experimento aleatório é um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, mesmo repetindo-se o experimento sob as mesmas condições, os resultados serão diferentes. Em contraposição aos experimentos aleatórios, temos os experimentos determinísticos , que, repetidos sob as mesmas condições, conduzem a resultados idênticos. Neste curso, estaremos interessados apenas nos experimentos aleatórios.

1.2.2 Espaço amostral

O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do mesmo. Iremos denotar tal conjunto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, será chamado de espaço amostral discreto. Caso contrário, isto é, quando Ω for não enumerável, iremos chamá-lo de espaço amostral contínuo.

4 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS

A : a primeira bola é branca; B : a segunda bola é branca; C : ambas as bolas são brancas;

Solução

Considerando a numeração das bolas, o espaço amostral pode ser definido como:

Ω = { (i; j) : i = 1; 2 ; 3 ; 4; j = 1; 2 ; 3 ; 4; i 6 = j } = { (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3) }

Os eventos são: A = { (i; j) : i = 1; 2; j = 1; 2 ; 3 ; 4; i 6 = j } = { (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 3); (2; 4) }

B = { (i; j) : i = 1; 2 ; 3 ; 4; j = 1; 2; i 6 = j } = { (2; 1); (3; 1); (4; 1); (1; 2); (3; 2); (4; 2) }

C = { (i; j) : i = 1; 2; j = 1; 2; i 6 = j } = { (1; 2); (2; 1) }

EXEMPLO 1.6 Cartas de um baralho

Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das seguintes cores: azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral para esse experimento e, em seguida, liste os eventos:

A : todas as cartas selecionadas são vermelhas; B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecionadas; C : três diferentes cores ocorrem; D : todas as quatro cores ocorrem.

Solução

Vamos denotar por A; V ; P e B as cores azul, vermelha, preta e branca, respectivamente. Então,

Ω = { (x 1 ; x 2 ; x 3 ) : xi = A; V ; P; B; i = 1; 2 ; 3 }

Os eventos são:

A = { (V ; V ; V ) }

B = { (V ; A; P); (V ; P; A); (A; V ; P); (A; P; V ); (P; V ; A); (P; A; V ) }

C =

(V ; A; P); (V ; P; A); (A; V ; P); (A; P; V ); (P; V ; A); (P; A; V );

(V ; A; B); (V ; B; A); (A; V ; B); (A; B; V ); (B; V ; A); (B; A; V );

(V ; B; P); (V ; P; B); (B; V ; P); (B; P; V ); (P; V ; B); (P; B; V );

(B; A; P); (B; P; A); (A; B; P); (A; P; B); (P; B; A); (P; A; B)

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 5

Como temos quatro cores diferentes e apenas três extrações, não é possível obter todas as cores. Logo,

D = ∅

1.3 Operações com eventos aleatórios

1.3.1 Interseção

O evento interseção de dois eventos A e B é o que equivale à ocorrência simultânea de A e B (ver Figura 1.1). Seguindo a notação da teoria de conjuntos, a interseção de dois eventos será representada por A ∩ B:

Figura 1.1 – Interseção de dois eventos: A ∩ B

Note que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B (1.1)

EXEMPLO 1.7 Lançamento de dois dados - continuação

Consideremos o experimento “lançamento de dois dados” os eventos A =“soma das faces é um número par” e B = “soma das faces é um número maior que 9”. Calcule A ∩ B.

Solução

O espaço amostral desse experimento, que tem 36 elementos, é

Ω = { (1; 1); (1; 2); : : : ; (1; 6); (2; 1); : : : ; (2; 6); : : : ; (6; 6) }

Para que um elemento pertença à interseção A ∩ B; ele tem de pertencer, simultaneamente, aos eventos A e B. O evento B é

B = { (4; 6); (5; 5); (5; 6); (6; 4); (6; 5); (6; 6) }

Dos seus elementos, os únicos que pertencem ao evento A, isto é, aqueles que têm soma das faces par, são os elementos (4; 6)^ ; (5; 5)^ ; (6; 4)^ e (6; 6). Logo, A ∩ B = { (4; 6) ; (5; 5) ; (6; 4) ; (6; 6) } : Note que não precisamos listar o evento A, que tem 18 elementos!

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 7

Consideremos o experimento “lançamento de duas moedas”, em que o espaço amostral é Ω = { K K ; K C ; C K ; CC }. Sejam os eventos A = “ocorrência de exatamente 1 cara” e B = “duas faces iguais”. Então A = { K C ; C K } e B = { CC ; K K } ; logo, A ∪ B = Ω e A ∩ B = ∅: Seja C o evento “pelo menos uma cara”e, então, C = { K C ; C K ; K K } e B ∪ C = Ω e B ∩ C = { K K } 6 = ∅:

1.3.4 Complementação

O complementar de um evento A, denotado por A ou Ac; é a negação de A: Então, o complementar de A é formado pelos elementos que não pertencem a A (ver Figura 1.4).

Figura 1.4 – Complementar do evento A = A

Observe que x ∈ A ⇔ x / ∈ A (1.3)

e também que A ∪ A = Ω (1.4)

EXEMPLO 1.10 Lançamento de um dado

Consideremos o experimetno “lançamento de um dado” e seja A = “face par”. Então, A é o evento “face ímpar”. Note que A = { 2 ; 4 ; 6 } e A = { 1 ; 3 ; 5 } e Ω = A ∪ A:

1.3.5 Diferença

A diferença entre dois eventos A e B, representada por A __ B; é o evento formado pelos elementos do espaço amostral que pertencem a A, mas não pertencem a B (ver Figura 1.5). Perceba que podemos pensar em A __ B como o complementar de B relativo ao evento A.

Note que

x ∈ A __ B ⇔ x ∈ A e x / ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B (1.5)

e também que A = (A __ B)^ ∪ (A ∩ B)^ (1.6)

Além disso, A __ B 6 = B __ A; conforme ilustrado na Figura 1.6.

De maneira análoga, B __ A é o complementar de A relativo ao evento B.

8 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS

Figura 1.5 – Diferença A __ B

Figura 1.6 – Diferença B __ A

EXEMPLO 1.11 Lançamento de dois dados

Consideremos, novamente, o lançamento de dois dados e os eventos A = “soma das faces é par” e B = “soma das faces é maior que 9”. Vamos considerar as duas diferenças, A __ B e B __ A. Temos

A =

B = { (4; 6); (5; 5); (5; 6); (6; 4); (6; 5); (6; 6) }

Logo,

A \ B =

B \ A = { (5; 6)^ ; (6; 5) }

1.3.6 Propriedades das operações

Sejam A; B; C eventos de um espaço amostral Ω: Então, valem as seguintes propriedades.

1. Identidade

A ∩ ∅ = ∅ A ∪ Ω = Ω (1.7)

10 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

Figura 1.7 – Ilustração da propriedade distributiva: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ilustração da segunda propriedade está na Figura 1.8. Na linha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A ∪ (B ∩ C ): no diagrama à esquerda, temos o evento A e, no diagrama do centro, o evento B ∩ C : Para determinar a união desses dois eventos, basta tomar todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta no diagrama à direita, onde temos o evento A ∪ (B ∩ C ) : Na linha inferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ): no diagrama à esquerda, temos o evento A ∪ B e, no diagrama do centro, o evento A ∪ C. Para determinar a interseção desses dois eventos, basta considerar todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta no diagrama à direita, onde temos o evento (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) : Analisando os diagramas à direita nas duas linhas da figura, vemos que A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).

8. Absorção

A ∩ (A ∪ B)^ = A A ∪ (A ∩ B) = A (1.15)

9. Leis de De Morgan

A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B (1.16)

Na primeira linha da Figura 1.9, ilustra-se a primeira propriedade A ∩ B = A ∪ B. Observe que, no diagrama à esquerda, temos o evento A ∩ B. Já nos dois diagramas centrais, temos, respectivamente, A e B; e no diagrama à direita, A ∪ B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A ∩ B = A ∪ B:

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 11

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

Figura 1.8 – Ilustração da propriedade distributiva: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Na segunda linha da Figura 1.9, ilustra-se a segunda propriedade A ∪ B = A ∩ B: no diagrama à esquerda temos A ∪ B; nos dois diagramas centrais, respectivamente, A e B; e no diagrama à direita, A ∩ B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A ∪ B = A ∩ B:

A (^) B A B A B A (^) B

Figura 1.9 – Ilustração das leis de De Morgan

Capítulo 2

Probabilidade: axiomas e propriedades

2.1 Introdução

Considere, mais uma vez, o experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado equilibrado. Como já visto, o espaço amostral desse experimento é Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , e alguns eventos de interesse são A =“sair face 2”, B =“sair face par”, etc. A questão que se coloca, agora, é como atribuir probabilidade a esses eventos. Ou seja, queremos determinar um número que expresse a verossimilhança de cada um desses eventos.

Uma solução seria lançar o dado um grande número de vezes e observar a proporção dos lançamentos que resultam no evento A. Se denotarmos por n(A) o número de vezes que ocorreu o evento A em n lançamentos, a definição de probabilidade com base na frequência relativa é

P(A) = lim n →∞ n(A) n

Essa definição tem alguns problemas, a saber: quão grande deve ser n? quem garante que a razão n( nA ) converge e converge sempre para o mesmo número cada vez que repetimos o experimento? Temos que buscar, então, uma nova forma de definir probabilidade.

2.2 Definição axiomática de probabilidade

A abordagem que adotaremos será a utilização da definição axiomática da probabilidade. Isto é, vamos estabelecer algumas propriedades mínimas que se espera sejam satisfeitas pela probabilidade de qualquer evento. Tais propriedades são os axiomas da probabilidade.^1.

A título de motivação, vamos usar o experimento do lançamento de um dado, bem como (^1) Axioma : (1) Premissa imediatamente evidente que se admite como universalmente verdadeira sem exigência de demonstração. (2) Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. (dicionário Aurélio )

14 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES

a definição frequentista vista acima. A primeira observação que podemos fazer é a seguinte: dado um experimento aleatório, desejamos atribuir probabilidade aos eventos do respectivo espaço amostral, ou seja, para cada evento, queremos determinar um número que indique a probabilidade desse evento. Assim, probabilidade é uma função definida no conjunto de todos os eventos de um espaço amostral Ω. Vamos denotar tal função por P.

Uma primeira propriedade bastante intuitiva é que a probabilidade de qualquer evento deve ser um número não negativo, ou seja, para qualquer evento A, P(A) ≥ 0.

Para apresentar a segunda propriedade, considere o seguinte evento associado ao experimento do lançamento de um dado: C =“face menor que 7”. É bastante intuitivo ver que, ao lançarmos um dado, sempre obteremos uma face menor que 7, ou seja, a proporção de vezes que obteremos o evento C será sempre 1, não importa quantas vezes lancemos o dado. Note, também, que C = Ω. Assim, a segunda propriedade que vamos exigir da probabilidade é que P(Ω) = 1.

A terceira propriedade envolve a união de eventos mutuamente exclusivos. Vimos que, se A ∪ B = ∅ , então n(A ∪ B) = n(A) + n(B) e, assim, a definição frequentista da probabilidade nos daria que P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Esse é o terceiro e último axioma que precisamos para definir probabilidade.

DEFINIÇÃO Definição axiomática de probabilidade

Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Probabilidade é uma função, denotada por P, que associa a cada evento A de Ω um número real P(A), que satisfaz os seguintes axiomas:

I. Axioma 1: P(A) ≥ 0

II. Axioma 2: P(Ω) = 1

III. Axioma 3: A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Vamos, agora, apresentar propriedades da probabilidade que resultam dos Axiomas I a III.

1. P(∅) = 0

Demonstração Temos que Ω = Ω ∪ ∅ e como Ω ∩ ∅ = ∅, podemos aplicar o Axioma III para obter que P(Ω) = P(Ω) + P(∅), de onde segue que P(∅) = 0. (^) 

2. P(A) = 1 − P(A)

Demonstração

16 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES

Figura 2.2 – União de dois eventos quaisquer A ∪ B

5. Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A): Demonstração

Veja a Figura 2.3; note que

B ⊂ A ⇒ A = B ∪ (A __ B) ⇒ P(A) = P(B) + P(A __ B) ⇒ P(A) ≥ P(B)

uma vez que P(A __ B) ≥ 0.

Figura 2.3 – B ⊂ A



6. P(A) ≤ 1 para qualquer evento A ⊂ Ω: Demonstração

Esse resultado é consequência imediata da propriedade anterior, uma vez que A ⊂ Ω ⇒ P(A) ≤ P(Ω) = 1 

Eis um resumo dos axiomas e propriedades da probabilidade:

2.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 17

Axiomas P(A) ≥ 0 P(Ω) = 1 A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Propriedades P(∅) = 0 P(A) = 1 − P(A) P(A __ B) = P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) P(A) ≤ 1

2.3 Espaços amostrais finitos e equiprováveis

Vamos considerar, agora, uma situação especial, em que o espaço amostral Ω é finito e todos os seus eventos elementares são igualmente prováveis. Esse contexto leva à definição clássica de probabilidade , que foi a primeira definição formal de probabilidade, explicitada por Girolamo Cardano (1501-1576).

Sejam E 1 ; E 2 ; · · · EN os eventos elementares de Ω. Então,

Ω = E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ EN

e esses eventos elementares são mutuamente exclusivos dois a dois. Pode-se provar, por indução, que

P(Ω) = 1 = P(E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ EN ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + · · · + P(EN )

Como estamos supondo que todos eles são igualmente prováveis, resulta

P(Ei) =

N

n(Ω) ∀ i

Mas, qualquer evento A ⊂ Ω pode ser escrito como união de eventos elementares. Logo,

P(A) =

n(A) n(Ω