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CURSO DE PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Capítulo I - Conceitos Básicos da Teoria da Probabilidade
1.1 - Espaço Amostral (S) : É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
1.2 - Evento : É um conjunto composto de resultados possíveis de um experimento aleatório pertencentes ao espaço amostral. Eventos especiais: Evento certo (S) ; Evento impossível (∅) e Evento elementar {si}. 1.3 - Medida de Probabilidade
1.3.1- Frequência Relativa.
Considere um experimento aleatório repetido n vezes, onde nA representa o número de vezes que o evento A, de interesse para este experimento, ocorre nas n repetições do experimento. Denomina-se de freqüência relativa de ocorrência do evento A (fA) a relação: fA = nA / n
1.3.2 - Definição de Probabilidade
- Definição Clássica : Considerando-se que os resultados possíveis de um experimento aleatório, pertencentes ao espaço amostral, são igualmente prováveis de ocorrer, então a probabilidade de ocorrência de um evento A, definido para o experimento aleatório, é dada por:
P(A) = NA / N onde:
NA - é o número de resultados favoráveis (pertencentes) ao evento A. N - é o número total de resultados possíveis ou pertencentes ao espaço amostral.
- Definição de Freqüência Relativa :
P(A) = lim fA = lim nA / n n → ∞ n → ∞ desta forma deduz-se que para se obter a probabilidade de ocorrência do evento A é necessário repetir o experimento infinitas vezes.
- Definição Axiomática : a) 0 ≤ P(A) ≤ 1 b) P(S) = 1
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, A∩B = ø então:
P(AUB ) = P(A) + P(B)
d) Se A 1 , A 2 , ..., An , .... são, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, então: ∞ ∞ P(U Ai) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(An) + ... = ∑ P(Ai ) i = 1 i = 1
1.4 – Propriedades da Probabilidade
a) Se φ é o evento impossível (vazio ou nulo ), então: P(φ) = 0 _ b) Se A é o evento complementar do evento A, então: _ P(A) = 1 - P(A)
c) Se A e B são eventos quaisquer, então:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
d) Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)
1.5 - Probabilidade Marginal
Sejam A 1 , A 2 , ..., An n eventos mutuamente exclusivos entre si, e associados a um espaço amostral S, onde: U ni =1 Ai = S. Diz-se, neste caso, que os eventos Ai`s constituem uma Partição do espaço amostral S. Seja B um evento também associado ao espaço amostral S, que ocorre conjuntamente (possui interseção) com um e somente um dos eventos Ai. B = B ∩ S = B ∩ ( U ni =1 Ai ) = (B ∩ A 1 ) U (B ∩ A 2 ) U... U (B ∩ An) B = (U ni =1 Ai ∩ B), então P[B] = ∑n i =1 P[Ai ∩ B] , a qual é chamada de Probabilidade Marginal
1.6 - Probabilidade Condicional
Ex. 1- Considere o experimento aleatório que consiste na retirada aleatória de dois componentes de um lote formado de 10 componentes defeituosos e 40 não defeituosos. Para este experimento são definidos os seguintes eventos: A = {O primeiro componente retirado é defeituoso}. B = {O segundo componente retirado é defeituoso}. Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes são retirados sem reposição. Solução: a) P(A) = 10/50 P(B) = 9/49 ( Se A ocorreu ) ou P(B) = 10/49 ( Se A não ocorreu ) Agora os eventos são redefinidos: A = {O primeiro componente retirado é perfeito}. B = {O segundo componente retirado é defeituoso}. Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes são retirados sem reposição. Solução: b) P(A) = 40/50 P(B) = 10/49 ( Se A ocorreu ) ou P(B) = 9/49 ( Se A não ocorreu )
O que pode-se concluir desses resultados é que a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência anterior do evento A, portanto existe a necessidade de se introduzir o conceito de probabilidade condicional (ou condicionada).
1.7 - Probabilidade total.
Dá-se o nome de probabilidade total à probabilidade marginal computada com o uso da probabilidade condicional, onde a ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência anterior do evento Ai.
P[B] = ∑n i =1 P[Ai. B] Como: P[B / Ai ] = P[Ai. B ] / P[Ai ] ⇒ P[Ai. B ] = P[B / Ai ] P[Ai ] Então: P[B] = ∑n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ]
1.8- Independência de Eventos Dois eventos, A e B, são estatisticamente independentes se a ocorrência anterior de um deles não influenciar a ocorrência posterior do outro. P[A/B] = P[A] e P[B/A] = P[B] P[A.B] = P[A/B] P[B] = P[B/A] P[A] ⇒ P[A.B] = P[A] P[B]
1.9 - Teorema de Bayes
Considere que os eventos A 1 , A 2 ,.. ., An constituem uma partição do espaço amostral S, onde P[Ai] > 0. Seja B um evento que ocorre conjuntamente com um e somente um dos eventos Ai. Deseja-se determinar a probabilidade de ocorrência de um dos eventos Ai dado que o evento B ocorreu.
P[Ai / B] = P[Ai.B] / P[B]
P[B] = ∑n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ] – probabilidade total
Como P[Ai.B] = P[B / Ai ] P[Ai ], tem-se então que:
P[Ai / B] = {P[B / Ai ] P[Ai ]} / ∑ nj =1 P[B / Aj ]. P[Aj ]
Ex 1.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo, de um conjunto de 4 cartas composta de um Ás, um Rei, um Valete e uma Dama. Determine o espaço amostral desse experimento.
Ex 1.1.2- Uma moeda é lançada duas vezes. Determine um espaço amostral.
Ex 1.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de uma carta de um conjunto de 4 cartas numeradas de 1 a 4. Determine o conjunto do evento, sabendo-se que o evento é definido como sendo a retirada de uma carta par ou uma carta impar.
Ex 1.2.2- Para o exemplo anterior, o evento é definido como sendo a retirada de uma carta par.
Ex 1.2.3 - Um dado é lançado uma vez. O evento E é definido como sendo o aparecimento do número sete na face superior do dado. Determine E.
Ex 1.3.2.1- Com os dígitos 1, 4, 7, 8, e 9 são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser ímpar?
Ex 1.3.2.2- Um dado não viciado é lançado uma única vez. Qual é a probabilidade de aparecer um número par na sua face superior?
Ex 1.5.1- Testes de qualidade foram realizados nos circuitos integrados produzidos por diversos fabricantes, tendo-se obtido os seguintes resultados em relação aos defeitos encontrados:
Fabricantes Classe de Defeitos Total
Nenhum ( N ) Sério ( S ) Crítico ( C )
F1 50 15 20 85 F2 30 5 15 50 F3 20 10 5 35 Total 100 30 40 170
Qual é a probabilidade de que um circuito integrado, selecionado aleatoriamente dos 170 não apresente defeito? Apresente defeito sério e seja produzido por F1.
Ex. 1.6.1- Suponha que em uma loja existam 20 microcomputadores, conforme mostra a tabela abaixo. Alguns micros possuem 120Gbytes (120G) de memória rígida, enquanto outros possuem 80Gbytes (80G). Alguns micros têm monitor de 15 polegadas (M15) e outros têm monitor de 17 polegadas (M17).Um cliente entra na loja e escolhe, aleatoriamente, um micro e observa na ficha técnica do equipamento que o mesmo possui um monitor de 15 polegadas. Qual é a probabilidade de que este micro possua 120 Gbytes de memória rígida. 120G 80G Total M15 8 6 14 M17 2 4 6 Total 10 10 20
Capítulo II - Variáveis Aleatórias
2.1 - Conceito de Variável Aleatória. Os resultados obtidos em um experimento aleatório são especificados no espaço amostral S. Para cada resultado s ∈ S será associado um número real X(s), através de uma regra X denominada de variável aleatória. Portanto X é uma função cujo domínio é o espaço amostral S e o contradomínio é o conjunto RX composto pelos números X(s).
S RX
X X: S Rx s X(s) s
Domínio Contradomínio
X(s 1 ) e X(s 2 ) são os valores que a variável aleatória X assume.
2.2 - Probabilidade associada à Variável Aleatória Determinar a probabilidade da v.a. assumir um certo valor X(s), ou seja, P[X= X(s)]
2.3 - Variáveis aleatórias Discretas e Contínuas.
2.3.1- Variável Aleatória Discreta. Se o contradomínio RX da v.a. X é composto de um número finito ou infinito numerável de valores, ou seja, de números discretos, então a v.a. é denominada de discreta.
2.3.2- Variável Aleatória Contínua. Se o contradomínio RX da v.a. é um intervalo ou uma coleção de intervalos, sendo estes formados por um número infinito não numerável de valores, então a v.a. é denominada de contínua.
2.4 - Função Densidade de Probabilidade e Função Distribuição de Probabilidade.
2.4.1- Função Densidade de Probabilidade para uma v.a. Discreta ou Função Massa de Probabilidade. Denomina-se de função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória discreta X ou função massa de probabilidade (f.m.p.) para a função p(xi) = P[X= xi], que representa a probabilidade da v.a. X assumir um determinado valor xi e que satisfaz as seguintes condições:
a) p(xi ) ≥ 0 ; ∀ xi ∞ b) ∑ p( xi ) = 1. xi = -∞
2.4.2 - Função Distribuição de Probabilidade para uma Variável Aleatória Discreta.
s 1
s 2
X (s 1 )
X (s 2 )
De uma forma geral, denomina-se de função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X para a função F(x) = P[ X≤ x ] com -∞ ≤ x ≤ ∞. Para uma variável aleatória discreta X a função distribuição de probabilidade assume a forma: x F(x) = ∑ p(xi) xi = -∞ e que representa a probabilidade da variável aleatória discreta X assumir um valor menor ou igual a x.
2.4.3- Função Densidade de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua. A função representada por f(x) é definida como sendo a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua se ela satisfaz as seguintes condições:
a) f(x) ≥ 0 ; ∀ x ∈ RX ∞ b) ∫ f(x) dx = 1
2.4.4- Função Distribuição de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua. Se f(x) é uma função densidade de probabilidade, então a função: x F(x) = ∫ f(x) dx
- ∞ é denominada de função distribuição de probabilidade da variável aleatória contínua X.
2.4.5- Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade,
a) F(x) é não decrescente, isto é, se x 1 ≤ x 2 , então F(x 1 ) ≤ F(x 2 );
b) lim F(x) = F(-∞) = 0; x→ - ∞ c) lim F(x) = F(∞) = 1 x→ ∞ d) dF(x) /dx = f(x):
e) F(x) é contínua a direita, isto é, F(x+) = F(x) , onde: F(x+) = lim F(x + ε ) ε → 0 ε > 0
Cálculo de Probabilidade: b a) Para um intervalo [a,b] a P[a ≤ X ≤ b] = ∫ f(x)dx = F(b) – F(a) ; onde a< b a b) Sendo X uma v.a. contínua a P[ X= x 0 ] = 0
x - λ xi F(x) = ∑ e λ / xi! xi = 0
2.5.2 - Variável Aleatória Contínua.
2.5.2.1 – Variável Aleatória Uniforme (Retangular) - U(a,b)
a) Função densidade de probabilidade
f(x) = { 0 ; x < a { 1/ (b-a) ; a ≤ x < b com b > a { 0 ; x ≥ b
b) Função distribuição de probabilidade F(x) = { 0 ; x < a { (x-a) / (b-a) ; a ≤ x < b { 1 ; x ≥ b
2.5.2.2 - Distribuição Gaussiana ou Normal – N( μ ; σ^2 )
a) Função densidade de Probabilidade:
- (1/2) [( x - μ) / σ] 2 f(x) = 1/ (σ √ 2 π ) e ; - ∞ < x<∞ onde: σ é o desvio padrão e μ é a média
b) Função distribuição de probabilidade x F(x) = ∫ f(u) du = Φ[(X- μ) / σ]
- ∞ 2.5.2.2.1 - Distribuição Normal Padrão (unitária) – N(0;1) É um caso particular da distribuição normal ou gaussiana, quando μ = 0 e σ = 1. Portanto a função densidade de probabilidade toma a forma:
- x^2 / 2 f(x) = (1/ √ 2 π ) e ; - ∞ < x < ∞
2.5.2.2.2 - Transformação de uma distribuição gaussiana N(μ ; σ^2 ) em normal padrão N(0;1)
Z = ( X- μ ) / σ
2.5.2.3 - Distribuição Exponencial – Exp (1/λ)
a) Função densidade de probabilidade:
- x/λ f(x) = { (1/ λ) e ; x ≥ 0 { 0 ; x < 0 b) Função distribuição de probabilidade
x -u/λ F(x) = ∫ (1/λ) e du = 1 – e –x/λ^ ; x ≥ 0 0
2.6 - Variável Aleatória Bidimensional
2.6.1 - Conceito. Seja S o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Se X e Y são duas funções que atribuem a cada resultado s ∈ S um número real X(s) e Y(s), respectivamente, então o par (X,Y) será denominado de variável aleatória bidimensional
S RXY
(X,Y)
ss
Domínio Contradomínio
[X(s 1 ),Y(s 1 )] e [X(s 2 ),Y(s 2 )] são os valores que a variável aleatória bidimensional (X,Y) assume para os resultados s 1 e s 2 pertencentes a S, respectivamente.
2.6.2 - Probabilidade associada a Variável Aleatória bidimensional. Objetivo é determinar P[ X=X(s), Y= Y(s)], ou seja, a probabilidade da V. A. X assumir o valor X(s) e a V. A. Y assumir o valor Y(s).
2.6.3 - Variáveis aleatórias bidimensionais Discretas e Contínuas.
Se RXY é composto de números discretos, então a V. A. será discreta. Se RXY é composto de números contínuos , então a V. A. será do tipo contínua.
2.7 - Função Densidade de Probabilidade Conjunta e Função Distribuição de Probabilidade Conjunta para uma variável aleatória bidimensional.
2.7.1- Função Densidade de Probabilidade Conjunta para uma V.A. bidimensional Discreta.
É uma função definida por p(xi, yJ) = P[X= xi , Y= yJ] e que satisfaz as seguintes condições:
a) p(xi, yJ) ≥ 0 ∀ xi ,yJ ∈ RXY
s 1
s 2
[X(s 1 ),Y(s 1 )]
[X(s 2 ),Y(s 2 )]
A variável aleatória Bidimensional (X,Y) é composta de duas variáveis aleatórias unidimensionais X e Y. Se estivermos interessados em estudar as características de apenas uma das variáveis aleatórias que compõem a variável aleatória bidimensional, então as características desta variável aleatória são denominadas de marginais. Para tanto é necessário que nenhuma restrição seja imposta com relação aos valores que a outra variável aleatória possa assumir
2.9.1- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta
É a função designada por pX(xi) = P[X=xi , sem nenhuma restrição sobre a v. a. y]. A v. a. Y pode assumir todos os valores desde -∞ até +∞, ou seja: pX(xi) = P[X=xi ,Y=y 1 ;ou X=xi , Y=y 2 ; ou ...] ∞ ∞ pX(xi) = ∑ P[X=xi ,Y=yJ] → pX(xi) = ∑ p(xi , yJ) yJ= -∞ yJ= -∞
2.9.2- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta.
É a função representada por: FX (x) = P[X ≤ x, sem nenhuma restrição sobre a V. A. Y] FX (x) = P[X ≤ x, Y≤ ∞] = F(x, ∞) x ∞ x FX (x) = ∑ ∑ p(xi, yJ) → FX (x) = ∑ pX (xi) xi= -∞ yJ = - ∞ xi= -∞
2.9.3- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua.
Por analogia com a função densidade de probabilidade Marginal obtida para uma variável aleatória discreta, tem-se que a função densidade de probabilidade marginal para uma variável aleatória contínua é dada por:
∞ fX(x) = ∫ f(x,y) dy
2.9.4- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua.
Sabe-se que F(x,∞) = FX(x) representa a função distribuição de probabilidade marginal da V. A. X, então: x ∞ x FX (x) = ∫ ∫ f(u,y) dydu → FX (x) = ∫ fX (u)du
2.10 - Função Densidade de Probabilidade Condicional e Função Distribuição de Probabilidade Condicional.
2.10.1 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória Discreta.
Sabe-se que P[A/B] = P[AB] / P[B]. Se A ={ X=xi } representa o evento a v. a. X assumir o valor xi e B = {Y= yJ } representa o evento a v. a. Y assumir o valor yJ. Então tem-se que: P[ X= xi / Y= yJ] = P[X= xi , Y= yJ] / P[Y= yJ] , representa a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor xi dado que a variável aleatória Y assumiu um valor yJ, que pode ser expressa pela equação: pX/Y(xi /yJ) = p(xi ,yJ) / pY(yJ) que é a função densidade de probabilidade condicional para uma variável aleatória discreta.
2.10.2 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória Discreta. Esta função representa a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um determinado valor yJ. Então: x FX/Y (x/yJ) = P[X ≤ x / Y= yJ] ⇒ FX/Y (x/yJ) = ∑ pX/Y (xi/yJ) xi= -∞
2.10.3 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória Contínua.
É a função representada por fX/Y (x/y) e por analogia com a função densidade de probabilidade para uma variável aleatória discreta tem-se que: fX/Y (x/y) = f (x,y) / fY(y)
2.10.4 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória Contínua.
Esta função pode ser representada por FX/Y (x / y) ou FX/Y (x /Y ≤ y) e pode ser interpretada de duas formas, tendo os seguintes significados:
a) FX/Y (x / y) = P[X ≤ x / Y= y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um valor igual a y. por analogia com a função distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta tem que: ∞ FX/Y (x / y) = ∫ f(x,y) dx / fY(y)
b) FX/Y (x / Y≤ y) = P[X ≤ x / Y ≤ y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um valor menor ou igual a y.
Ex 2.1.1- Duas cartas são retiradas ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartas de número 1, 2, 3 e 6. Para este experimento aleatório a variável aleatória X representa o produto dos números que as cartas retiradas mostram. Faça a representação esquemática desta variável aleatória e obtenha o seu contradomínio RX.
Ex 2.2.1- Determine a probabilidade da variável aleatória X, definida no exemplo anterior, assumir os valores 2 e 6.
Ex 2.4.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada aleatória de duas bolas, ao mesmo tempo, de uma urna contendo três bolas azuis e duas vermelhas. Para este experimento é definida a variável aleatória X como sendo o número de bolas azuis retiradas. Determine a função densidade de probabilidade de X.
Ex 2.4.2.2- Para o experimento aleatório acima referido, determine a probabilidade da variável aleatória X assumir os seguintes valores: a){ x > 1} ; b) {0< x ≤ 1} ; {x ≤ 3}
Ex 2.4.2.3- Faça a representação gráfica da função densidade de probabilidade da v.a. X referida no exemplo 1
Ex 2.4.4.1 - A v.a. X tem f(x) = a x ; 0 ≤ x ≤ 1 = ax / 2 ; 1 ≤ x ≤ 2 = 0 ; para outros valores de x Determine: a) O valor da constante a para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade; b) F(x).
Ex 2.4.4.2- Determine P[ X ≤ 3/2] para a variável aleatória X do exemplo anterior.
Ex 2.5.1.1.1- Qual é a probabilidade de obter-se, exatamente, duas vezes o número 1 em três lançamentos de um dado não viciado?
Ex 2.5.1.1.2- Qual é a probabilidade de obter-se, no máximo, uma vez o número 1 em três lançamentos de um dado não viciado?
Ex 2.5.1.2.1- A probabilidade de ser produzida uma peça defeituosa em uma linha de produção é igual a 3 %. Qual é a probabilidade de que, em uma produção de 300 unidades, sejam encontradas no máximo 3 peças defeituosas?
Ex 2.5.2.1.1- Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída entre 10 e 20. Determine a probabilidade da variável aleatória assumir valores entre 12 e 16.
Ex 2.5.2.2.1- Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média igual a 1. e desvio padrão igual a 200. Determine a P[ 800 ≤ X ≤ 1.000].
Ex 2.5.2.3.1- Em um experimento aleatório verificou-se que a variável aleatória Y, associada ao experimento, segue uma distribuição exponencial com parâmetro igual a 1/20. Determine a probabilidade desta variável aleatória assumir valores entre 10 e 20, ou seja, P[10≤ Y≤ 20].
Ex 2.6.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartas 1 , 2 , 3 e 6. Define-se para este experimento as seguintes variáveis aleatórias: X - representa o produto dos números que as cartas retiradas apresentam; Y - representa a soma dos números que as cartas retiradas apresentam. Determine o contradomínio da v.a. bidimensional (X,Y)
Ex 2.6.2.1- Para o exemplo visto anteriormente, determine as seguintes probabilidades: a) P[ X= 2, Y= 3] ; b) P[X= 6,Y=7] ; c) P[X= 6, Y=3]
Ex 2.7.1.1- Considere o experimento de retirada de duas bolas de uma urna contendo 4 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Para esse experimento aleatório são definidas as seguintes variáveis aleatórias: X é o número de bolas azuis retiradas; Y é o número de bolas vermelhas retiradas. Determine a função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y).
Ex 2.7.2.1- Para o exemplo anterior determine as seguintes probabilidades: a) P[ X ≤ 2, Y ≤ 1] ; b) P[X ≤ 3,Y ≤ 3]
Ex 2.8.1.1- Determine o valor da constante a para que a função dada abaixo represente uma função densidade de probabilidade conjunta. f(x,y) = { a [x^2 + (xy / 3)] ; 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2 { 0 ; para outros x e y
Ex 2.8.2.1- Considerando-se o exemplo anterior e o valor de a obtido, determine P[ X≤ 1/2 , Y≤ 1]
Ex 2.8.2.2- Determine a função distribuição de probabilidade conjunta para a variável aleatória que apresenta a função densidade de probabilidade dada no exemplo 2.8.1.1.
Ex 2.9.1.1- Para um experimento aleatório, onde obteve-se a seguinte tabela, na qual estão representados os valores da função densidade de probabilidade conjunta da v.a. (X,Y), determine pY (4);
xi yj
Ex 2.9.2.1- Para o exemplo anterior determine FX (10).
3.1- Valor médio ou Média de uma Variável Aleatória. Representa a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória assume, tendo como peso a função densidade de probabilidade.
3.1.1- Valor médio para uma Variável Aleatória Discreta. ∞ E[X] = μ (^) X = ∑ xi p(xi) xi= -∞
3.1.2- Valor médio para uma Variável Aleatória Contínua. Por analogia com a equação anterior tem-se que: ∞ E[X] = μX = ∫ x f(x) dx
3.2 – Momento. É o valor médio dos valores que a variável aleatória assume elevados a uma potência r.
3.2.1- Momento para uma v. a. Discreta ∞ E[ Xr^ ] = mr = ∑ xir^ p(xi) xi = - ∞
3.2.2 - Momento para uma v. a. Contínua. ∞ E[Xr] = mr = ∫ xr^ f(x) dx
3.3 - Momento Central.
É o valor médio do desvio em relação a média da v. a. elevado a uma potência r. O desvio da média é a diferença entre os valores que a V. A. assume e a sua média, isto é, (xi-μX) ou (x-μX) para o caso de uma v. a. discreta ou contínua, respectivamente.
3.3.1- Momento Central para uma v. a. Discreta. ∞ E[ (X-μX)r^ ] = mcr = ∑ (xi-μX) r^ p(xi) xi = - ∞
3.3.2- Momento Central para uma v. a. Contínua. ∞ E[ (X-μX)r^ ] = mcr = ∫ (x-μX) r^ f(x) dx
3.4 Variância.
É definida como sendo o segundo momento central da variável aleatória, ou seja, Var[X] = σx^2 = E[(X-μx)^2 ]
3.4.1- Variância para uma Variável Aleatória Discreta. ∞ σx^2 = ∑ (xi-μX)^2 p(xi) xi = - ∞
3.4.2- Variância para uma Variável Aleatória Contínua. ∞ σx^2 = ∫ (x-μX) 2 f(x) dx
Obs. A variância é uma medida de dispersão da variável aleatória e terá um valor grande (será mais dispersa) quanto mais distante da média μX, a variável aleatória assumir valores com grandes probabilidades e terá um valor pequeno (será menos dispersa ou mais concentrada) quanto mais próximo da média a variável aleatória assumir valores com grandes probabilidades.
3.4.3- Propriedades da Variância.
a) Var[ k X] = k^2 Var[X] = k^2 σx^2 b) Se X1, X 2 , ... , Xn são v.a’s. independentes, então: Var[X 1 +X 2 + ... + Xn] = Var[X 1 ]+Var[X 2 ]+...+ Var[Xn] c) Var[X] = σx^2 = E[X^2 ] - μx^2
3.5- Desvio Padrão.
σx = + √ σx^2 3.6 - Propriedades do Valor Esperado.
a) Se k é uma constante, então E[k]= k; b) E[k X] = k E[X]; c) E[X 1 + X 2 ] = E[X 1 ] + E[X 2 ];
n n d) E[ ∑ ki Xi] = ∑ ki E[ Xi]; i=1 i= e) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: E[XY] = E[X] E[Y];
3.7- Covariância e Coeficiente de Correlação.
