Probabilidade e Estatística uff semestre, Exercícios de Probabilidade

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

Probabilidade

Probabilidade e Estatística

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Probabilidade

Experimento Aleatório

Um experimento é dito aleatório quando satisfaz as seguintes condições:

• Pode ser repetido indefinidamente
• É possível descrever todos os resultados do experimento, sem predizer com certeza qual ocorrerá
• Obedece à regularidade estatística, ou seja, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma configuração definida

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Espaço Amostral

É o conjunto Ω de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório

Exemplo:

Considere o experimento aleatório sendo o lançamento de duas moedas não viciadas.

E = “duas moedas não viciadas são lançadas” Seja cara = k e coroa = c Ω = {(k,k), (k,c), (c,k), (c,c)}

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Tipos de Espaço Amostral

1. Finito : tem um número finito de elementos Exemplo: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Infinito enumerável ou contável : tem um número infinito de elementos enumeráveis Exemplo: Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que ocorra uma coroa (c) Ω = {c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ... }

3. Infinito não enumerável ou não contável : tem um número infinito de elementos não enumeráveis Exemplo: Observar o tempo de vida de uma lâmpada Ω = {x / x ϵ R, x ≥ 0 }

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Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω

a) União

Ω

Operações com Eventos

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b) Intersecção

Ω

Operações com Eventos

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d) Complementar

Operações com Eventos

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e) Mutuamente Excludentes

Ω

Operações com Eventos

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Exemplos:

2 ) Numa pesquisa, das pessoas entrevistadas, 120 assistem a emissora A, 150 assistem a emissora B, 40 assistem as duas emissoras e 120 não assistem nenhuma das emissoras. Quantas pessoas foram entrevistadas? Resposta: 350 pessoas

3 ) Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral Ω. Exprimir os eventos abaixo utilizando as operações de união, intersecção e complementar. a) Somente o evento B ocorre. Resposta: Ac^ ∩ B ∩ Cc b) Pelo menos um evento ocorre. Resposta: A U B U C c) Os três eventos ocorrem. Resposta: A ∩ B ∩ C d) Exatamente dois eventos ocorrem. Resposta: (A ∩ B ∩ Cc) U (A ∩ Bc^ ∩ C) U (Ac^ ∩ B ∩ C)

Operações com Eventos

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Exemplos:

4. Exprimir os eventos hachurados nos diagramas abaixo utilizando as operações de união, intersecção e complementar.

Operações com Eventos

Ocorre o evento A

Ocorre o evento (A ∩ B) U (A ∩ C)

Ocorre o evento A ∩ B Ocorre o evento B U C

Ocorre o evento (A ∩ Bc^ ∩ Cc)

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Propriedades das operações com evento

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Partição de um Espaço Amostral

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2) Definição Clássica (Atribuída à Laplace)

Seja um espaço amostral finito Ω, formado por eventos equiprováveis. Sendo A um evento de Ω, então a probabilidade de ocorrência de A é dada por: Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

n Ω

n A

P A =^ , com 0^ ≤^ P(A)^ ≤^ 1,

Onde:

n(A) é o número de elementos do evento A

n(Ω) é o número de elementos do espaço amostral Ω

Definições de Probabilidade

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Exemplo:

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma cara em dois lançamentos consecutivos de uma moeda não viciada?

Solução:

cara = k e coroa = c Ω = {k 1 k 2 , k 1 c 2 , c 1 k 2 , c 1 c 2 }

A = “sair pelo menos uma cara” A = {k 1 k 2 , k 1 c 2 , c 1 k 2 }

75 % 4

3 ( )

( ) ( ) = = n Ω

n A P A =

Definições de Probabilidade