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Probabilidade Estatistica, Manuais, Projetos, Pesquisas de Probabilidade
Manual de iniciação a probabilidade e estatiscas
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2011
1 / 118
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CAPÍTULO I
Acontecimentos e Probabilidades
1.1. Frequência e Probabilidade
Definição 1.1.1.
Experiência Aleatória
É o processo de observação ou de acção cujos resultados, embora podendo ser descrito no
seu conjunto, não são determináveis a priori, antes de realizado a experiência
Definição 1.1.2.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória
Exemplo
A Sair fase 2 2
B Sair fase par 2, 4, 6
C Sair fase inferior a 7 1, 2, 3, 4, 5, 6
D Sair fase 7
Definição 1.1.3.
Acontecimento
É um conjunto de resultados possíveis de experiência aleatória. Em particular alguns
acontecimentos têm designação própria:
i) Acontecimento Elementar:
ii) Acontecimento Certo:
iii) Acontecimento Impossível:
Definição 1.1.4.
Dois acontecimentos
A
e
B
, são denominados Incompatíveis ou Mutuamente Exclusivos,
se eles não podem ocorrer simultaneamente. Isto é,
A B
Definição 1.1.5.
Probabilidade
Se os resultados elementares de uma experiência aleatória são em número finito e todos
igualmente possíveis, a probabilidade de qualquer acontecimento
A
associado a essa
experiência é a razão entre o número de resultados elementares
n A, que produzem
A
e o
número total de resultados
n
, isto é,
P A
n A
n
Seja uma experiência
e um espaço amostral
associado a
. A cada acontecimento
A
associamos um número real representado por
P A
e denominado probabilidade de
A
, que
satisfaça às seguintes propriedades:
0 P A 1
P 1
- Se
A
e
B
são acontecimentos mutuamente exclusivos,
P A B P A P B
- Se
A
1
, , A
n
forem, dois a dois, acontecimentos mutuamente exclusivos, então
P
i 1
A
i
P A
1
P A
n
Observe-se que da Propriedade 3, decorre imediatamente que, para qualquer
n finito,
P
i 1
n
A
i
i 1
n
P A
i
Teorema 1.1.6.
A probabilidade do acontecimento impossível é zero, isto é,
P 0
Demonstração
P A B P B P A P B Ā P A B P B Ā
P
A B
P
A
P
B
P
A B
Teorema 1.1.9.
Se
A
B
e
C
são três acontecimentos quaisquer, então
P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
Demonstração
P A B C P A B C
Aplicando o Teorema 1.1.8, obtemos
P A B C P A B P C P A B C
P A B P C P A C B C
P A B P C P A C P B C P A C B C
P
A B
P
C
P
A C
P
B C
P
A B
C
P
A
P
B
P
C
P
A B
P
A C
P
B C
P
A B C
Logo,
P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
Uma extensão do Teorema 1.1.9.
Sejam
A
1
, , A
k quaisquer
k
acontecimentos. Então,
P
i 1
k
A
i
i i
k
P A
i
i j 2
k
P A
i
A
j
i j r 3
k
P A
i
A
j
A
r
k 1
P
i 1
k
A
i
Teorema 1.1.10.
Se
A B
, então
P A P B
Demonstração
Podemos decompor
B
em dois acontecimentos mutuamente exclusivos, da seguinte forma:
B A B Ā
Assim,
P B P A P B Ā P A
pois,
P B Ā 0
, pela propriedade 1.
1.2. Álgebra de Acontecimentos
Definição 1.2.11.
Conjunto Universal
É identificado como o espaço amostral
de experiência aleatória e cada acontecimento
A
por uma região interior a
Aplicando aos acontecimentos de
as operações sobre conjuntos, obtemos outros
acontecimentos de
. Assim,
- Se
A
e
B
são acontecimentos,
A B
é o acontecimento que ocorre se, e somente se,
A
ou
B
(ou ambos) ocorrem;
- Se
A
e
B
são acontecimentos,
A B
é o acontecimento que ocorre se, e somente se,
A
e
B
ocorrem;
- Se
A
é acontecimentos,
é o acontecimento que ocorre se, e somente se,
A
não
ocorre;
- Se
A
1
, , A
n é uma qualquer colecção finita de acontecimentos, então
i 1
n
A
i
é o
acontecimento que ocorre se, e somente se, ao menos um dos acontecimentos
A
i ocorrer;
- Se
A
1
, , A
n é uma qualquer colecção finita de acontecimentos, então
i 1
n
A
i
é o
acontecimento que ocorre se, e somente se, todos os acontecimentos
A
i ocorrerem;
- Se
A
1
, , A
n
é uma qualquer colecção finita de acontecimentos, então
i 1
A
i
é o
acontecimento que ocorre se, e somente se, ao menos um dos acontecimentos
A
i ocorrer;
EXERCÍCIO 1.1. (Ficha 1)
1. Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de
cartas. Determine a
probabilidade de a carta ser:
a) Um às;
RESOLUÇÂO:
A A carta extraída ser um às
P A
4
52
1
13
b) Valete de copas;
RESOLUÇÂO:
A A carta extraída ser valete de copas
P A
1
52
c) Três de paus ou seis de ouros;
RESOLUÇÂO:
A A carta extraída ser três de paus
B A carta extraída ser seis de ouros
P A B P A P B
1
52
1
52
2
52
1
26
d) Uma carta de copas;
RESOLUÇÂO:
A A carta extraída ser copas
P A
13
52
1
4
e) De qualquer naipe excepto copas;
RESOLUÇÂO:
Ā A carta extraída não ser copas
P Ā 1 P A 1
1
4
3
4
f) Um dez ou uma carta de espadas;
RESOLUÇÂO:
A A carta extraída ser um dez
B A carta extraída ser espadas
P A B P A P B P A B
4
52
13
52
1
52
16
52
4
13
g) Nem quatro nem carta de paus.
RESOLUÇÂO:
Ā A carta extraída não ser quatro
B
A carta extraída não ser paus
P Ā B
P A B 1 P A B
1 P A P B P A B
4
52
13
52
1
52
16
52
36
52
9
13
2. Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém
bolas vermelhas,
brancas e
azuis. Determine a probabilidade de a bola extraída ser:
a) Vermelha;
RESOLUÇÂO:
A A bola extraída ser vermelha
P A
6
15
2
5
b) Branca;
RESOLUÇÂO:
A A bola extraída ser branca
P A
4
15
c) Azul;
RESOLUÇÂO:
A A bola extraída ser azul
P A
5
15
1
3
c)
P B
RESOLUÇÂO:
P B
1 P B 1
1
2
1
2
d)
P Ā B
RESOLUÇÂO:
P Ā B
P A B 1 P A B 1
5
8
3
8
e)
P Ā B
RESOLUÇÂO:
P Ā B
P A B 1 P A B 1
1
4
3
4
f)
P A B
RESOLUÇÂO:
P A B
P A P A B
3
8
1
4
1
8
g)
P B Ā
RESOLUÇÂO:
P
B Ā
P
B
P
B A
1
2
1
4
1
4
5. Sejam
A
e
B
dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória
. Se
P A B
3
4
P
2
3
e
P A B
1
4
, qual o valor de:
a)
P A
RESOLUÇÂO:
P
A
1 P
2
3
1
3
b)
P B
RESOLUÇÂO:
P A B P A P B P A B
3
4
1
3
P B
1
4
P B
2
3
c)
P A B
RESOLUÇÂO:
P A B
P A P A B
1
3
1
4
1
12
6. Dispõe-se de dois dados, um normal e outro com duas faces numeradas com
e as
outras com os números
. Lançam-se os dois dados ao acaso. Determine a
probabilidade de que:
a) A soma dos pontos obtidos seja
RESOLUÇÂO:
A A soma dos pontos obtidos seja 6
P
A
6
36
1
6
b) A soma dos pontos obtidos seja inferior a
RESOLUÇÂO:
A A soma dos pontos obtidos seja inferior a 5
P A
9
36
1
4
c) A soma dos pontos obtidos seja superior a
RESOLUÇÂO:
P A
2
6
1
3
9. Dados os seguintes valores obtidos numa dada cidade:
Rendimento familiar (u.m.) Nº de famílias
Menos de
mais de
Indique qual a probabilidade de uma família escolhida ao acaso ter um rendimento:
a) Inferior a
u.m.;
RESOLUÇÂO:
A Uma família ter um redimento inferior a 10000 u.m.
P A
500
5000
1
10
b) Entre
e
u.m.;
RESOLUÇÂO:
A Uma família ter um redimento entre 10000 e 20000 u.m.
P A
1000
5000
1
5
c) Inferior a
ou superior a
u.m..
RESOLUÇÂO:
A Uma família ter um redimento inferior a 10000 u.m.
B Uma família ter um redimento superior a 50000 u.m.
P A B P A P B
500
5000
400
5000
900
5000
9
50
10. De um grupo de
crianças,
estão vacinadas contra a varíola,
contra o
sarampo e
contra a varíola e o sarampo. Se uma for escolhida ao acaso qual a
probabilidade de:
a) Estar vacinada contra a varíola ou sarampo;
RESOLUÇÂO:
A A criança estar vacinada contra a varíola
B A criança estar vacinada contra o sarampo
P
A
60
120
1
2
P B
50
120
5
12
P
A B
20
120
1
6
P A B P A P B P A B
60
120
50
120
20
120
90
120
3
4
b) Não estar vacinada nem contra a varíola nem contra o sarampo.
RESOLUÇÂO:
Ā A criança não estar vacinada contra a varíola
B
A criança não estar vacinada contra o sarampo
P Ā B P A B 1 P A B 1
3
4
1
4
11. Uma cidade com
habitantes possui apenas três jornais diários
A
B
e
C
Uma investigação mostrou que:
Nº pessoas Jornal que lêem
20000 A
10000 C
16000 B
12000 A
e
B
3000 B
e
C
7000 A
e
C
1000 A
B
e
C
Qual a probabilidade de que um habitante, escolhido aleatoriamente, leia pelo menos
um jornal?
RESOLUÇÂO:
A Um habitante ler o jornal A
B Um habitante ler o jornal B
C Um habitante ler o jornal C
P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
20000
50000
16000
50000
10000
50000
12000
50000
7000
50000
3000
50000
1000
50000
25000
50000
1
2
C nº impar 1, 3, 5
P A P 2 4 6
2
21
4
21
6
21
12
21
4
7
P
B
P
2
21
3
21
5
21
10
21
P C P 1 3 5
1
21
3
21
5
21
9
21
3
7
P Cara Coroa 1 2 p p 1 p
1
3
c) A probabilidade de um nº par ou um nº primo ocorra;
RESOLUÇÂO:
A nº par 2, 4, 6
B nº primo 2, 3, 5
P A B P A P B P A B
12
21
10
21
2
21
20
21
Cálculo Auxiliar
P A B P 2
2
21
d) A probabilidade de um nº impar primo ocorra;
RESOLUÇÂO:
B nº primo 2, 3, 5
C nº impar 1, 3, 5
P B C P 3, 5 P 3 5
3
21
5
21
8
21
e) A probabilidade de que
A
ocorra, mas
B
não.
RESOLUÇÂO:
P A B
P A P A B
12
21
2
21
10
21
1.3. Probabilidade Condicionada
Considere um lote com 100 peças, das quais, 80 são não-defeituosas e 20 são defeituosas.
Suponha-se que escolhemos duas peças desse lote:
a) Com reposição;
b) Sem reposição.
Definamos os dois acontecimentos seguintes:
A A primeira peça é defeituosa
B A segunda peça é defeituosa
a) Com reposição;
P A
20
100
1
5
P B
20
100
1
5
b) Sem reposição.
P A
20
100
1
5
P B ?
É evidente que, a fim de calcularmos
P B
, deveremos conhecer a composição do lote no
momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deveremos saber se
A
ocorreu ou não. Este
exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito.
Sejam
A
e
B
dois acontecimentos associados à experiência
. Denotamos por
P B A
a probabilidade condicionada do acontecimento
B
, quando
A
tiver ocorrido. Assim,
P B A
19
99 , porque se
A
tiver ocorrido, então para a segunda extracção restarão
somente
peças, das quais
delas serão defeituosas.
Definição 1.3.12.
Probabilidade Condicionada
P B A
P A B
P A
ou
P A B
P A B
P
B
desde que
P A , P B 0
Teorema 1.3.13. (Teorema de Multiplicação)