Baixe Probabilidades matemáticas e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Probabilidades (9.
o
ano)
Propostas de resolu¸c˜ao
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
1.1. Recorrendo `a Regra de Laplace, e verificando que, o dado tem 6, ou seja, que existem 6 casos poss´ıveis; e que o Daniel est´a interessado apenas em um deles, ou seja, 1 caso favor´avel, temos que a probabilidade, escrita na forma de fra¸c˜ao, ´e:
p =
1.2. Organizando todas os algarismos que o Jo˜ao pode obter, com recurso a uma tabela, temos:
aa aa aa aa Dado azul aaa
Dado Vermelho 1 2 3 4 5 6
Assim, ´e poss´ıvel verificar que, de entre os 36 n´umeros poss´ıveis de obter no lan¸camento dos 2 dados (ou seja 36 casos poss´ıveis), 3 deles s˜ao n´umeros ´ımpares inferiores a 20 (ou seja 3 casos favor´aveis). Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, temos que a probabilidade de o n´umero formado ser um n´umero ´ımpar inferior a 20, ´e: p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, Epoca especial´
2.1. Recorrendo `a Regra de Laplace, e verificando que, est˜ao 6 ´arvores dispon´ıveis, ou seja, 6 casos poss´ıveis; e que apenas se pretende calcular a probabilidade ser sorteada para a turma da Joana uma azinheira, havendo apenas uma ´unica azinheira, ou seja, 1 caso favor´avel, temos que a probabilidade, escrita na forma de fra¸c˜ao, ´e: p =
2.2. Como a turma do Jos´e vai plantar duas ´arvores, podemos organizar todos os pares de duas ´arvores que podem ser escolhidos, com recurso a uma tabela:
Sobreiro 1 Sobreiro 2 Sobreiro 3 Carvalho 1 Carvalho 2 Azinheira Sobreiro 1 — S S S S S C S C S A Sobreiro 2 — — S S S C S C S A Sobreiro 3 — — — S C S C S A Carvalho 1 — — — — C C C A Carvalho 2 — — — — — C A Azinheira — — — — — — Assim, podemos observar que existem 16 pares de ´arvores que podem ser sorteados, dos quais 3 s˜ao constitu´ıdos sobreiros, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e escrevendo o resultado na forma de uma fra¸c˜ao irredut´ıvel, temos:
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, 2.a^ fase
3.1. Recorrendo `a Regra de Laplace, e verificando que, s˜ao 5 amigos, ou seja, 5 casos poss´ıveis; e que apenas se pretende calcular a probabilidade da Ana ser selecionada para ´arbitro, ou seja, 1 caso favor´avel, temos que a probabilidade, escrita na forma de fra¸c˜ao, ´e:
p =
3.2. Como s˜ao escolhidos dois dos cinco amigos, podemos organizar todos os pares de elementos que podem ser escolhidos, com recurso a uma tabela:
Ana Bruno Carla David Elsa Ana — ♀♂ ♀♀ ♀♂ ♀♀ Bruno — — ♂♀ ♂♂ ♂♀ Carla — — — ♀♂ ♀♀ David — — — — ♂♀ Elsa — — — — — Assim, podemos observar que existem 10 pares de amigos que podem ser selecionados, dos quais 6 s˜ao constitu´ıdos por um rapaz e uma rapariga, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e escrevendo o resultado na forma de uma fra¸c˜ao irredut´ıvel, temos:
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, 1.a^ fase
4.1. Como ao selecionar ao acaso um dos elementos da equipa, a probabilidade de o elemento selecionado ser rapariga ´e 50%, ent˜ao nessa equipa existem tantas raparigas como rapazes, e de entre as trˆes equipas, a ´unica com esta caracter´ıstica ´e a a equipa B.
6.1. Recorrendo `a Regra de Laplace, e verificando que, existem 6 grupos, ou seja, 6 casos poss´ıveis; e que se pretende que apenas uma face (a face com o n´umero 5), fique voltada para cima, ou seja, 1 caso favor´avel, temos que a probabilidade, escrita na forma de fra¸c˜ao, ´e:
p =
6.2. Como os dois grupos s˜ao sorteados de entre um conjunto de 5, podemos organizar todas os pares de grupos que ´e poss´ıvel sortear com recurso a uma tabela:
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 1 – 1 e 2 1 e 3 1 e 4 1 e 5 Grupo 2 – – 2 e 3 2 e 4 2 e 5 Grupo 3 – – – 3 e 4 3 e 5 Grupo 4 – – – – 4 e 5
Assim, podemos observar que existem 10 pares diferentes de grupos que podem ser sorteados, dos quais apenas 4 incluem o grupo 1, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fra¸c˜ao, temos:
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2018, 1.a^ fase
- Observando que o n´umero de rapazes da turma da Ana ´e 3 + 8 + 2 = 13, e que existem 29 alunos na turma, calculando a probabilidade, com recurso `a Regra de Laplace, de ser selecionado um rapaz e apresentado o resultado na forma de fra¸c˜ao, temos: p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, Epoca especial´
- Podemos organizar todas os pares de escolhas da Diana e do Eduardo com recurso a uma tabela:
aa aa aa aa Eduardo aaa
Diana Ponto A Ponto B Ponto C
Ponto A A A B A C A Ponto B A B B B C B Ponto C A C B C C C
Assim, podemos observar que existem 9 pares de pontos que podem ser escolhidos, dos quais 7 s˜ao constitu´ıdos por pontos da mesma circunferˆencia, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, temos: p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, Epoca especial´
- Como no histograma est˜ao representados todos os alunos a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, ter uma massa corporal inferior a 45 kg, ´e exatamente a frequˆencia relativa da classe [40,45[, ou seja, o valor de k
Como a soma de todas as frequˆencias relativas, em percentagem ´e 100 %, ent˜ao podemos determinar o valor de k, resolvendo a equa¸c˜ao seguinte:
k + 17 + 24 + 29 + 22 = 100 ⇔ k + 92 = 100 ⇔ k = 100 − 92 ⇔ k = 8
Resposta: Op¸c˜ao C
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, 2a^ fase
- Como os dois alunos s˜ao sorteados simultaneamente, podemos organizar todas os pares de alunos que ´e poss´ıvel sortear com recurso a uma tabela:
Rapariga M 1 Rapariga M 2 Rapaz H 1 Rapaz H 2 Rapariga M 1 – M 1 M 2 M 1 H 1 M 1 H 2 Rapariga M 2 – – M 2 H 1 M 2 H 2 Rapaz H 1 – – – H 1 H 2
Assim, podemos observar que existem 6 pares diferentes que podem ser sorteados, dos quais 4 s˜ao cons- titu´ıdos por um rapaz e uma rapariga, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fra¸c˜ao, temos:
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, 2.a^ fase
11.1. Recorrendo `a Regra de Laplace, e verificando que, existem 3 salas com sess˜oes de divulga¸c˜ao do curso de Espanhol (as salas 3, 4 e 5), ou seja, 3 casos poss´ıveis; e que apenas uma delas tem um n´umero par (a sala 4), ou seja, 1 caso favor´avel, temos que a probabilidade, escrita na forma de fra¸c˜ao, ´e:
p =
11.2. Organizando todas as hip´oteses poss´ıveis para o Daniel assistir `as duas apresenta¸c˜oes, com recurso a uma tabela, temos:
aa aa aa aa Alem˜ao aaa
Espanhol Sala 3 Sala 4 Sala 5
Sala 3 A3 E3 A3 E4 A3 E Sala 4 A4 E3 A4 E4 A4 E Assim, podemos verificar que existem 6 alternativas para as escolhas dos pares de sess˜oes, dos quais quatro s˜ao em salas diferentes, pelo que, recorrendo `a Regra de Laplace, para calcular a probabilidade do Daniel escolher as sess˜oes em salas diferentes e apresentando o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel, temos: p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, 1.a^ fase
14.2. Organizando numa tabela todos os conjuntos de lan¸camentos dos dois dados, e assinalando as si- tua¸c˜oes em que o Ant´onio ´e vencedor (A), em que ´e declarado empate, e em que a Beatriz vence (B), temos:
aa aa aa aa Ant´onio aaa
Beatriz 1 2 3 4 5 6
1 Empate B B B B B 2 A Empate B B B B 3 A A Empate B B B 4 A A A Empate B B 5 A A A A Empate B 6 A A A A A Empate
Assim, ´e poss´ıvel verificar que, de entre as 36 configura¸c˜oes poss´ıveis de obter no lan¸camento dos 2 dados (ou seja 36 casos poss´ıveis), em 15 delas o Ant´onio tem um n´umero maior (ou seja 15 casos favor´aveis). Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, calculando a probabilidade de que o Ant´onio ven¸ca a nova jogada, e tornando a fra¸c˜ao irredut´ıvel, ´e:
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2016, 1.a^ fase
- Como foi escolhido um dos convidados que gostam de gelatina, existem 8 escolhas poss´ıveis (a Ana, o Paulo, o Rui, a Maria, o Jos´e, a Rosa, o Tom´e e o Tiago). Destes 8, apenas 3 gostam de mousse de chocolate (a Ana, o Paulo e o Rui).
Desta forma, recorrendo `a Regra de Laplace, existem 8 casos favor´aveis para os convidados que gos- tam de gelatina e 3 casos favor´aveis para que um desses convidados tamb´em goste de mousse moussede chocolate, pelo que a probabilidade ´e p =
Escrevendo a probabilidade na forma de percentagem, temos p = 37,5 %
Resposta: Op¸c˜ao B
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, Epoca especial´
16.1. Considerando o acontecimento A: sair o n´umero oito , o acontecimento contr´ario ´e A: n˜ao sair o n´umero oito pelo que, como existem 4 cart˜oes (4 casos poss´ıveis) em que 3 deles n˜ao tˆem o n´umero 8 (existem 3 casos favor´aveis), calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, temos:
P
A
16.2. Como a retirada dos dois cart˜oes ´e feita simultaneamente, o mesmo cart˜ao n˜ao pode ser retirado por duas vezes, e n˜ao existe uma ordena¸c˜ao dos cart˜oes, pelo que podemos organizar todas os produtos que ´e poss´ıvel obter com recurso a uma tabela, × 2 5 7 8 2 – 10 14 16 5 – – 35 40 7 – – – 56 Assim, podemos observar que existem 6 produtos poss´ıveis, dos quais apenas 1 ´e ´ımpar, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fra¸c˜ao, temos que p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, 2.a^ fase
- Os alunos que tˆem uma altura inferior a 155 cm s˜ao os que medem 150 cm ou 154 cm. Assim, o n´umero de alunos com altura inferior a 155 cm ´e 6 + 3 = 9
Logo, existem 9 casos favor´aveis e 25 casos poss´ıveis, pelo que, recorrendo `a Regra de Laplace, a pro- babilidade de um aluno escolhido ao acaso ter altura inferior a 155 cm ´e
p =
a que corresponde uma probabilidade de 36%
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, 1.a^ fase
- Como cada aluno do 5o^ ano recebe uma rifa, ser˜ao distribu´ıdas 20 rifas a alunos do 5o^ ano. Como cada aluno do 6o^ ano recebe duas rifas, ser˜ao distribu´ıdas 30 × 2 = 60 rifas a alunos do 6o^ ano. Assim total ser˜ao distribu´ıdas 20 + 60 = 80 rifas. Desta forma, recorrendo `a Regra de Laplace, existem 60 casos favor´aveis para que o aluno premiado seja do 6o^ ano e 80 casos poss´ıveis, pelo que a probabilidade ´e
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2014, 2.a^ chamada
- Observando os dados do gr´afico, podemos concluir que o n´umero total de alunos da turma ´e 10+5+7 = 22, dos quais 5 tˆem olhos azuis. Assim, temos que, recorrendo `a Regra de Laplace, existem 5 casos favor´aveis para que o aluno escolhido tenha olhos azuis e 22 casos poss´ıveis, pelo que a probabilidade ´e
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2014, 1.a^ chamada
- Como o casal tem 3 filhos, duas filhas (que vamos designar por M 1 e M 2 ) e um filho (que vamos designar por H), podemos organizar uma lista de todas as disposi¸c˜oes poss´ıveis para a fotografia:
H M 1 M 2 H M 2 M 1 M 1 H M 2 M 1 M 2 H M 2 H M 1 M 2 M 1 H
Observando os seis casos poss´ıveis, podemos verificar que em 4 deles as filhas do casal ficam juntas, pelo que, recorrendo `a Regra de Laplace, temos que a probabilidade ´e
p =
Resposta: Op¸c˜ao C Prova Final 3.o^ Ciclo – 2014, 1.a^ chamada
- Dos 60 turistas estrangeiros hospedados no hotel, 30% s˜ao franceses, o que corresponde a um n´umero absoluto de turistas franceses de 60 ×
Assim, existem 18 turistas franceses (n´umero de casos favor´aveis) num total de 100 turistas (n´umero de casos poss´ıveis), recorrendo `a Regra de Laplace, a probabilidade ´e
a que corresponde uma percenta- gem de 18%
Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 12.04.
- N˜ao. Quando se repete muitas vezes uma experiˆencia aleat´oria, a frequˆencia relativa de uma observa¸c˜ao tende a aproximar-se da probabilidade de acontecer essa observa¸c˜ao. Assim, se repetirmos o procedimento da Maria um milh˜ao de vezes, e metade das bolas no saco tem o n´umero 1, ´e expect´avel que a frequˆencia relativa do n´umero 1 se aproxime muito de 0,
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2012, 2.a^ chamada
- Como a probabilidade de selecionar uma carta vermelha ´e de 75%, significa, que no conjunto de todas as cartas, as 12 cartas vermelhas s˜ao 75% do total, pelo que podemos calcular quantas cartas correspondem a 100%
12 —— 75% t —— 100%
t =
12 × 100
Assim, temos que existem 12 cartas vermelhas num total de 16 cartas, e como s´o existem cartas vermelhas e pretas, o n´umero de cartas pretas ´e 16 − 12 = 4 Resposta: Op¸c˜ao B
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2012, 2.a^ chamada
27.1. Como sabemos que metade dos jovens s˜ao portugueses e n˜ao existem jovens com dupla nacionalidade, temos que a probabilidade de selecionar um jovem espanhol ter´a de ser inferior a 50 %, (25 % ou 30 % de acordo com as hip´oteses apresentadas).
Como sabemos que existem mais espanh´ois que italianos, a probabilidade de selecionar um jovem espanhol ter´a de ser 30 % de acordo com as hip´oteses apresentadas (se fosse 25 %, seria metade dos jovens espanh´ois e italianos, o que significaria que existiam tantos espanh´ois como italianos).
Resposta: Op¸c˜ao B
27.2. Construindo uma tabela para identificar todos os pares de jovens compostos por um de cada tenda, que existem, temos
P E I
P
E
PP
PE EE
PE PI
EI
Tenda 1 Tenda 2
Assim, podemos concluir que escolhendo um jovem de cada tenda, existem 6 escolhas poss´ıveis diferentes,e que em 2 delas os jovens s˜ao da mesma nacionalidade, pelo que, recorrendo `a Regra de Laplace temos que a probabilidade de os dois jovens escolhidos terem a mesma nacionalidade, ´e
p =
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2012, 1.a^ chamada
28.1. Como, na turma A os alunos com 15 anos s˜ao 67% do total, a probabilidade de escolher ao acaso um aluno desta turma e ele ter 15 anos ´e p =
Como 0, 5 < 0 , 67 < 0 , 75 ⇔
, logo p ∈
]
[
Resposta: Op¸c˜ao C
28.2. Como na turma B, existem 3 raparigas com 15 anos e um rapaz da mesma idade, construindo uma tabela para identificar todos os pares de alunos da turma B, com 15 anos, que se podem formar, temos Rapariga 1 Rapariga 2 Rapariga 3 Rapaz Rapariga 1 — ♀♀ ♀♀ ♀♂ Rapariga 2 — — ♀♀ ♀♂ Rapariga 2 — — — ♀♂ Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, podemos concluir que escolhendo, ao acaso, dois alunos da turma B com 15 anos, a probabilidade de os dois alunos escolhidos serem do mesmo sexo ´e
p =
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 10.05.
29.1. Construindo uma tabela para identificar todos os pares de pares de bolas que existem, e calculando o produto dos dois n´umeros, temos 1 2 3 4 1 - 1 × 2 = 2 1 × 3 = 3 1 × 4 = 4 2 - - 2 × 3 = 6 2 × 4 = 8 3 - - - 3 × 4 = 12 4 - - - - Como a extra¸c˜ao das duas bolas ´e simultˆanea, n˜ao existe a possibilidade de extrair duas bolas com o mesmo n´umero, pelo que os produtos diferentes que podemos obter s˜ao
2 , 3 , 4 , 6 , 8 e 12 ou seja, podemos obter 6 produtos diferentes.
- Como a retirada das duas bolas ´e feita sucessivamente, sem reposi¸c˜ao do primeiro, cada bola n˜ao pode ser retirado por duas vezes, pelo que podemos organizar todas os produtos que ´e poss´ıvel obter com recurso a uma tabela,
× 1 2 2 1 – 2 3 2 2 – 6 3 3 6 –
Assim, podemos observar que existem 6 produtos poss´ıveis, dos quais 4 s˜ao pares, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fra¸c˜ao, temos que
p =
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 07.02.
- Como o aluno escolhido tem menos de 15 anos, s´o pode ter 13 ou 14 anos, pelo que existem 5 + 40 = 45 casos poss´ıveis para a escolha. Como existem apenas 5 alunos com 13 anos, o n´umero de casos favor´aveis ´e 5, pelo que, calculando a probabilidade com recurso `a regra de Laplace, temos:
p =
Resposta: Op¸c˜ao C Teste Interm´edio 9.o^ ano – 07.02.
- Como s˜ao 210 as pessoas entrevistadas e 140 reponderam que a rela¸c˜ao entre o seu c˜ao e o seu gato ´e boa, temos que, calculando a probabilidade com recurso `a regra de Laplace, e escrevendo a resposta na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel, vem p =
2 × 7
3 × 7
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2010, 2.a^ Chamada
- Designado por T , P e L as jaulas do tigre, da pantera e do leopardo, respetivamente, podemos organizar uma lista de todas as ordena¸c˜oes das jaulas:
T P L T L P P T L P L T L T P L P T
Ou seja existem 2 ordena¸c˜oes come¸cando pela jaula do tigre, outras 2 se come¸carmos pela jaula da pantera e mais 2 se come¸carmos pela jaula do leopardo, num total de 6 quantas maneiras diferentes.
Resposta: Op¸c˜ao D Exame Nacional 3.o^ Ciclo– 2010, 2.a^ Chamada
- Organizando as escolhas poss´ıveis da Teresa numa tabela, temos:
Maria(M) Inˆes(I) Joana(J)
S´abado(s) Ms Is Js Domingo(d) Md Id Jd
Assim, podemos observar que existem 6 escolhas poss´ıveis, das quais apenas uma corresponde a selecionar a Maria e o s´abado para ir ao arraial, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, temos que p =
Resposta: Op¸c˜ao D Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2010, 1.a^ Chamada
- Designando por n o n´umero de rifas que a Alice comprou, como foram vendidas 250 rifas, recorrendo `a
Regra de Laplace temos que a probabilidade de a Alice ganhar o pr´emio ´e
n 205
Como sabemos que esta probabilidade ´e
, estabelecendo a igualdade e determinado o valor de n, vem n 250
⇔ n =
⇔ n = 10
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2010, 1.a^ Chamada
- Como s˜ao 30 autocolantes no total (n´umero de casos poss´ıveis), dos quais 3 tˆem imagens de aves (retirando ao n´umero total o n´umero de autocolantes com mam´ıferos e de peixes, obtemos o n´umero de autocolantes com imagens de aves30 − 16 − 11 = 3), temos que, calculando a probabilidade com recurso `a regra de Laplace, vem p =
A que corresponde uma probabilidade de 10%
Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 11.05.
- Esta contagem pode ser realizada atrav´es de uma lista. Designado a cor amarela por ”A”, a cor verde por ”V”e a cor rosa por ”R”, vem:
- A-V-R
- A-R-V
- V-A-R
- V-R-A
- R-A-V
- R-V-A
Podemos verificar que, para pintar a primeira tira, a Rita tem 3 op¸c˜oes poss´ıveis. Depois de escolher a primeira cor, para a segunda tira s´o existem 2 op¸c˜oes poss´ıveis (excluindo a cor j´a utilizada antes) e, depois de selecionadas as primeiras duas cores, para a ´ultima tira deve ser usada a ´unica cor que ainda n˜ao foi usada. Assim o n´umero de op¸c˜oes pode ser calculada como
3 × 2 × 1 = 6
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 11.05.
44.2. Considerando que um dos elementos da fam´ılia (por exemplo a m˜ae) tem 3 hip´oteses diferentes de escolher a cor, ent˜ao o elemento seguinte (por exemplo o pai) j´a s´o pode escolher de entre 2 cores poss´ıveis e o ´ultimo elemento a escolher(por exemplo o filho) ter´a de selecionar a cor restante - s´o tem 1 escolha poss´ıvel. Assim, o n´umero de maneiras diferentes podem ser distribu´ıdos os autom´oveis, um por cada um dos trˆes elementos da fam´ılia ´e 3 × 2 × 1 = 6 Ou, fazendo uma lista de contagem, temos M˜ae Pai Filho cinzento branco preto cinzento preto branco branco cinzento preto branco preto cinzento preto cinzento branco preto branco cinzento
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2009, 2.a^ Chamada
- Podemos observar que o n´umero de clientes que compraram viagens no mˆes de mar¸co ´e 2400, e estes s˜ao todos os clientes que s˜ao considerados para o sorteio (os casos poss´ıveis). Podemos ainda verificar que, de entre os 2400 clientes do mˆes de mar¸co, 528 compraram viagens para Paris, ou seja, s˜ao estes os casos favor´aveis, pelo que, recorrendo `a Lei de Laplace, e escrevendo o resultado na forma de d´ızima, temos p =
Exame Nacional 3o^ Ciclo – 2009, 1a^ Chamada
46.1. Como na gaveta 1 existem trˆes maillots (1 preto, 1 cor-de-rosa e 1 lil´as), s˜ao 3 os casos poss´ıveis, dos quais 2 s˜ao favor´aveis (os maillots cor-se-rosa e lil´as, n˜ao s˜ao pretos). Assim, recorrendo `a Lei de Laplace, a probabilidade de a Marta n˜ao tirar o maillot preto ´e
p =
Resposta: Op¸c˜ao C
46.2. Como a Marta pode escolher um de entre 3 maillots, um de entre 2 pares de sapatilhas e uma de entre 2 fitas para o cabelo, o n´umero de formas diferentes que a Marta pode se pode apresentar agora numa aula de ballet ´e 3 × 2 × 2 = 12 Ou, fazendo uma lista de contagem, temos maillots sapatilhas fitas preto preto preta preto preto cor-de-rosa preto cor-de-rosa preto preto cor-de-rosa cor-de-rosa cor-de-rosa preto preta cor-de-rosa preto cor-de-rosa cor-de-rosa cor-de-rosa preto cor-de-rosa cor-de-rosa cor-de-rosa lil´as preto preta lil´as preto cor-de-rosa lil´as cor-de-rosa preto lil´as cor-de-rosa cor-de-rosa Teste Interm´edio 9.o^ ano – 11.05.
47.1. Como o Jo˜ao tem 14 anos, e os m´ultiplos de da idade do Jo˜ao, inferiores ou iguais a 90 s˜ao 6 (14, 28, 42, 56, 70 e 84). Assim, para que a rifa premiada tenha um n´umero m´ultiplo da idade do Jo˜ao, existem 6 casos favor´aveis num conjunto de 90 casos poss´ıveis, pelo que, recorrendo `a Lei de Laplace, a probabilidade ´e p =
Resposta: Op¸c˜ao A
47.2. Organizando todas os produtos que ´e poss´ıvel obter, com recurso a uma tabela, temos:
× 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 Assim, ´e poss´ıvel verificar que, de entre os 16 configura¸c˜oes poss´ıveis de obter no lan¸camento dos 2 dados, em 10 delas o produto dos n´umeros sa´ıdos ´e menor ou igual a seis, e nas restantes 6 o produto dos n´umeros sa´ıdos ´e maior do que 6. Desta forma podemos afirmar que ´e mais prov´avel que o produto dos n´umeros sa´ıdos seja igual ou inferior a 6, ou seja, que a Ana tem maior probabilidade de fazer a viagem.
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 09.02.
- Calculando o n´umero total de alunos da turma da Beatriz, ou seja, o n´umero de casos poss´ıveis, temos:
5 + 3 + 6 + 7 + 4 + 5 = 30
O n´umero de casos favor´aveis, que corresponde ao n´umero de raparigas que doou sangue menos do que duas vezes, ou seja, que nunca doaram sangue ou doaram apenas por uma vez, ´e de
3 + 7 = 10
Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, calculando o valor da probabilidade e apresentando o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel, temos: p =
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2008, 2.a^ Chamada
- Como entre o 5 e o 17 existem 17 − 5 + 1 = 13 n´umeros, o n´umero de casos poss´ıveis para o n´umero do bilhete retirado pelo Jo˜ao ´e 13. Como existem 6 n´umeros pares (nomeadamente os n´umeros 6, 8, 10, 12, 14 e 16), ou seja, s˜ao 6 os casos favor´aveis, ent˜ao, pela Regra de Laplace, temos que a probabilidade de que o n´umero do bilhete retirado pelo Jo˜ao ´e: p =
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2008, 1.a^ Chamada
- Organizando todas as somas que o Paulo pode obter, com recurso a uma tabela, temos:
- 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4 5
Assim, ´e poss´ıvel verificar que, de entre as 36 configura¸c˜oes poss´ıveis de obter no lan¸camento dos 2 dados (ou seja 36 casos poss´ıveis), em 15 delas a soma dos n´umeros sa´ıdos ´e um n´umero negativo (ou seja 15 casos favor´aveis). Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, temos que a probabilidade da soma ser um n´umero negativo, ´e:
p =
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2007, 2.a^ Chamada
- O valor
n˜ao representa uma probabilidade porque ´e maior que 1, logo n˜ao pode ser a resposta correta `a quest˜ao.
O valor
representa uma probabilidade inferior a 0,5 (porque 2 ´e menos que metade de 5), logo n˜ao pode ser a resposta correta a esta quest˜ao, porque sabemos que mais de metade das vezes que o Miguel vˆe televis˜ao depois das 22 horas chega atrasado `a escola, no dia seguinte, pelo que a resposta correta deve ser um n´umero superior a 0, 5
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2007, 1.a^ Chamada
- Como o Roberto tem nove primos, escolhendo, ao acaso, um deles, o n´umero de casos poss´ıveis ´e nove.
Como a probabilidade de ser um rapaz ´e de
, e existem nove casos poss´ıveis, temos que
, pelo que para nove casos poss´ıveis, existem 3 casos favor´aveis, ou seja, o Ricardo tem trˆes primos rapazes.
Como o Roberto tem nove primos, e trˆes s˜ao rapazes, o n´umero de raparigas ´e:
9 − 3 = 6
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2006, 2.a^ Chamada
- Somando todos os valores da linha da tabela relativa ao n´umero de alunos, obtemos o n´umero total de alunos da turma da Marta, ou seja o n´umero de casos poss´ıveis de observar, quando se escolhe ao acaso um aluno da turma da Marta: 9 + 12 + 6 + 3 = 30
O n´umero de casos favor´aveis, ou seja o n´umero de alunos que n˜ao foi de autocarro pode ser calcu- lado subtraindo ao total de alunos o n´umero daqueles que foi de autocarro: 30 − 6 = 24
Assim, temos que a probabilidade de escolher ao acaso, um aluno da turma da Marta, e esse aluno n˜ao ter ido de autocarro ´e: p =
Este valor corresponde, em percentagem, a uma probabilidade de 80%
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2006, 1.a^ Chamada
- Como cada face tem a mesma probabilidade de sair em qualquer lan¸camento de um dado equilibrado, no terceiro lan¸camento desta s´erie de lan¸camentos (como em qualquer outro lan¸camento) a face com o s´ımbolo tem igual probabilidade de sair - a sua ocorrˆencia n˜ao ´e mais prov´avel.
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2005, 2.a^ Chamada
- Organizando todas as escolhas poss´ıveis que as duas amigas podem fazer, com recurso a uma tabela, temos: aa aa aa aa amiga aaa
Ana Queijo Fiambre Presunto
Queijo QQ QF QP Fiambre FQ FF FP Presunto PQ PF PP
Assim, ´e poss´ıvel verificar que existem 9 escolhas poss´ıveis das duas amigas, (ou seja 9 casos poss´ıveis), e que apenas uma delas corresponde a que ambas escolham sandu´ıches de queijo (ou seja 1 caso favor´avel). Assim, recorrendo `a Regra de Laplace, temos que a probabilidade de ambas escolherem uma sandu´ıche de queijo, ´e: p =
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2005, 2.a^ Chamada
- Fazendo a contagem dos alunos que se enquadram em cada uma das op¸c˜oes apresentadas, temos:
- Ter lido menos do que um livro, ou seja zero livros: 20 alunos
- Ter lido mais do que dois livros, ou seja, trˆes, quatro ou cinco livros: 11 + 20 + 24 = 55 alunos
- Ter lido menos do que trˆes livros, ou seja zero, um ou dois livros: 20 + 16 + 9 = 45 alunos
- Ter lido mais do que quatro livros, ou seja, cinco livros: 24 alunos
Assim, de entre as op¸c˜oes apresentadas, conclu´ımos que o acontecimento mais prov´avel ´e que um aluno escolhido ao acaso tenha lido mais do que dois livros.
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2005, 1.a^ Chamada
- De acordo com a figura, podemos observar que:
- Depois de cortado o prisma, existem 4 × 3 = 12 cubos
- Existem 8 cubos com trˆes faces pintadas (4 na camada superior e 4 na camada inferior - esta camada tamb´em foi pintada porque ´e explicitado que foram pintadas as seis faces do prisma antes de o cortar)
- Existem 4 cubos com duas faces pintadas (na camada central)
Assim, escolhendo, ao acaso, um dos cubos, existem 12 casos poss´ıveis, dos quais apenas 4 s˜ao favor´aveis `a observa¸c˜ao de que o cubo escolhido tenha s´o duas faces pintadas, pelo que, calculando a probabilidade e escrevendo o resultado na forma de uma fra¸c˜ao irredut´ıvel, temos:
p =
Exame Nacional 3.o^ Ciclo – 2005, 1.a^ Chamada
