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Geometria (11.o^ ano)
Produto escalar de vetores
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura seguinte, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, o retˆangulo [OABC] e os segmentos de reta [CD] e [DB]. Sabe-se que: - o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox ; - o ponto C pertence ao semieixo positivo Oy ; - o ponto D pertence ao segmento de reta [OA] ; - OC = 8 e OA = 15; -
DC ·
DB = 50 ;
• OD < DA.
Determine as coordenadas do ponto D. x
y
O
C B
D A
Exame – 2025, Ep. especial´
- Na figura seguinte, est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, a pirˆamide regular de base quadrada [ABCD] e v´ertice V.
Sabe-se que:
- o centro da base da pirˆamide, M , tem coordenadas (2, − 1 , 3) ;
- o ponto V tem abcissa positiva;
- o plano ABC ´e definido pela equa¸c˜ao 2x − y + z − 8 = 0 ;
- o volume da pirˆamide ´e 4
Qual ´e o valor do produto escalar
AB ·
AC?
(A) − 6 (B) 0 (C) 2
6 (D) 6 x
O y
z
C
D
V
B
A
Exame – 2025, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia de centro C, definida pela equa¸c˜ao (x + 1)^2 + (y − 1)^2 = 4 triˆangulo [ABC] e o ˆangulo BAC, de amplitude α, em radianos, com α ∈
]
π 2
[
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
AB ·
AC = 6.
Determine, sem recorrer `a calculadora, o valor exato do com- primento do arco AB.
x
y
O
C
B
A
α
Exame – 2025, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia de equa¸c˜ao (x−1)^2 +y^2 = 9 e o triˆangulo [P QR], inscrito na circunferˆencia.
Seja α a amplitude, em radianos, do ˆangulo QP R.
Sabe-se que:
- [P Q] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
QR ·
QP = 27.
Determine o valor de α.
x
y
O
P
R
Q
α
Exame – 2024, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma reto [ABCDEF GH] , de bases [ABCD] e [EF GH].
Sabe-se que:
- as bases do prisma s˜ao trap´ezios retˆangulos;
- o ponto A tem coordenadas (4,− 4 ,−3) , e o ponto B tem a ordenada igual ao dobro da abcissa;
- uma equa¸c˜ao da reta BC ´e (x,y,z) = (3, 5 ,1) + k(2, 3 ,6), k ∈ R.
Determine, sem recorrer `a calculadora, a n˜ao ser para efetuar eventuais c´alculos num´ericos, a amplitude do ˆangulo convexo AOB.
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. x
O y
z
A
C
G
E
H
B
F
D
Exame – 2024, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia de equa¸c˜ao (x + 2)^2 + (y − 1)^2 = 9.
O ponto C ´e o centro da circunferˆencia.
A e B s˜ao dois pontos da circunferˆencia.
O arco de circunferˆencia AB tem comprimento 2π.
Determine o valor do produto escalar
CA ·
CB.
x
y
O
C
2 π
B
A
Exame – 2022, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um cubo [ABCDEF GH] em que cada aresta ´e paralela a um dos eixos coordenados.
Sabe-se que:
- o v´ertice B tem coordenadas (0, 2 ,4)
- o vetor
BE tem coordenadas (2, 2 , − 2)
- a aresta [BG] ´e paralela ao eixo Oz Determine a amplitude do ˆangulo OBE
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. (^) x
O y
z
A
F E
G
B
H
D
C
Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, trˆes casas decimais. Exame – 2020, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular [ABCDV ]
Os v´ertices A e C tˆem coordenadas (2, 1 ,0) e (0, − 1 ,2), respeti- vamente.
O v´ertice V tem coordenadas (3, − 1 ,2)
Determine a amplitude do ˆangulo V AC
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, duas casas decimais. x
O y
z
B
D
V
A
C
Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica de equa¸c˜ao x^2 + y^2 + z^2 = 3 e o ponto P de coordenadas (1, 1 ,1), pertencente a essa superf´ıcie esf´erica. Seja R o ponto de intersec¸c˜ao da superf´ıcie esf´erica com o semieixo negativo das ordenadas.
Determine a amplitude do ˆangulo ROP
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades.
Exame – 2018, Ep. especial´
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica de equa¸c˜ao
(x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z + 1)^2 = 10
Seja C o centro da superf´ıcie esf´erica e seja A o sim´etrico do ponto C relativamente ao plano xOy
Determine a amplitude do ˆangulo AOC
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, duas casas decimais. Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular.
Sabe-se que:
- [P Q] e [QR] s˜ao arestas de uma das bases do prisma;
- P Q = 4 Determine o produto escalar
QP ·
QR
x
O y
z
P
Q
R
S
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. xOy, dois pontos distintos, R e S
Seja A o conjunto dos pontos P desse plano que verificam a condi¸c˜ao
P R ·
P S = 0
P R ·
P S designa o produto escalar de
P R por
P S).
Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?
(A) O conjunto A ´e a mediatriz do segmento de reta [RS]
(B) O conjunto A ´e o segmento de reta [RS]
(C) O conjunto A ´e o triˆangulo [ROS]
(D) O conjunto A ´e a circunferˆencia de diˆametro [RS]
Exame – 2017, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OABCDEF G]
Sabe-se que:
- os pontos C, A e E pertencem aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respe- tivamente;
- o ponto A tem coordenadas (0, 2 ,0)
- o plano OF B ´e definido pela equa¸c˜ao 3x + 3y − z = 0
Seja P o ponto de cota igual a 1 que pertence a aresta [BG] Seja R o sim´etrico do ponto P relativamentea origem.
Determine a amplitude do ˆangulo RAP
Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, duas casas decimais. (^) x
O y
z
D
B
F
G
A
C
E
Exame – 2016, Ep. especial´
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equa¸c˜ao 3x + 2y + 4z − 12 = 0 Sejam A e B os pontos pertencentes ao plano α, tais que A pertence ao semieixo positivo Ox e B pertence ao semieixo positivo Oy Seja P um ponto com cota diferente de zero e que pertence ao eixo Oz
Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ˆangulo AP B ´e agudo. Exame – 2016, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo is´osceles [ABC]
Sabe-se que:
• B ACˆ = 75◦
Qual ´e o valor do produto escalar
BA ·
BC?
(A)
2 (B) 2
2 (C)
3 (D) 2
3 A
B
C
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Os segmentos de reta [AB] e [BC] s˜ao lados consecutivos de um hex´agono regular de per´ımetro 12
Qual ´e o valor do produto escalar
BA ·
BC?
(A) − 3 (B) − 2 (C) 2 (D) 3
Exame – 2015, Ep. especial´
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano β definido pela condi¸c˜ao 2x − y + z − 4 = 0 Considere o ponto A(1, 2 ,3) Seja B o ponto de intersec¸c˜ao do plano β com o eixo Ox Seja C o sim´etrico do ponto B relativamente ao plano yOz
Determine a amplitude do ˆangulo BAC Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades.
Exame – 2015, Ep. especial´
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o poliedro [N OP QRST U V ] que se pode decompor num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
Sabe-se que:
- o v´ertice P pertence ao eixo Ox
- o v´ertice N pertence ao eixo Oy
- o v´ertice T pertence ao eixo Oz
- o v´ertice R tem coordenadas (2, 2 ,2)
- o plano P QV ´e definido pela equa¸c˜ao 6x + z − 12 = 0
Seja A um ponto pertencente ao plano QRS
Sabe-se que:
- o ponto A tem cota igual ao cubo da abcissa;
- os vetores
OA e
T Q s˜ao perpendiculares. Determine a abcissa do ponto A, recorrendo `a calculadora gr´afica. x
O
y
z
P
Q
N
V
R
T S
U
Na sua resposta:
- equacione o problema;
- reproduza, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equa¸c˜ao, devidamente identificado(s) (sugere-se a utiliza¸c˜ao da janela de visualiza¸c˜ao em que x ∈ [− 4 ,4] e y ∈ [− 2 ,7]);
- apresente a abcissa do ponto A arredondada `as cent´esimas.
Exame – 2015, 2.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(0, 0 ,2) e B(4, 0 ,0)
Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que:
- a sua abcissa ´e igual `a abcissa do ponto B
- a sua ordenada ´e positiva;
- B APˆ =
π 3 Determine a ordenada do ponto P Exame – 2015, 1.a^ Fase
- No referencial o.n. xOy da figura ao lado, est˜ao representados o quadrado [OABC] e o retˆangulo [OP QR]
Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy
O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC]
Sabe-se que:
Prove que as retas QB e RP s˜ao perpendiculares.
x
y
O
C
R
A
B
P
Q
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 09.02.
- De um triˆangulo is´osceles [ABC] sabe-se que:
- os lados iguais s˜ao [AB] e [AC], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento;
- cada um dos dois ˆangulos iguais tem 30◦^ de amplitude.
Qual ´e o valor do produto escalar
AB ·
AC?
(A) − 32
3 (B) − 32 (C) 64 (D) 64
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura ao lado, est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, o poliedro [V N OP QU RST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
Sabe-se que:
- a base da pirˆamide coincide com a face superior do cubo e est´a contida no plano xOy ;
- o ponto P pertence ao eixo Ox ;
- o ponto U tem coordenadas (4, − 4 , −4). Considere um ponto A , com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U.
Sabe-se que
OT ·
OA = 8.
Determine a cota do ponto A.
x
O y
z
V
P
S
U T
R
Q
N
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura ao lado, est´a representado o quadrado [ABCD]
Sabe-se que:
- o ponto I ´e o ponto m´edio do lado [DC]
- o ponto J ´e o ponto m´edio do lado [BC]
Prove que
AI ·
AJ =
AB
2 D C
A B
I
J
Sugest˜ao: comece por exprimir cada um dos vectores − AI→ e − AJ→ como soma de dois vectores. Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Seja [AB] um diˆametro de uma esfera de centro C e raio 4
Qual ´e o valor do produto escalar
CA ·
CB?
(A) 16 (B) − 16 (C) 4
2 (D) − 4
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 06.05. Teste Interm´edio 11.o^ ano – 07.05.2009 (adaptado)
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de equa¸c˜ao
(x − 4)^2 + (y − 1)^2 = 25
O ponto C ´e o centro da circunferˆencia.
P e Q s˜ao dois pontos da circunferˆencia. A ´area da regi˜ao sombreada ´e
25 π 6 Determine o valor do produto escalar
CP ·
CQ
x
y
O
C
Q
P
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo [OP QRST U V ] de aresta 5
O v´ertice O do cubo coincide com a origem do referen- cial.
Os v´ertices P , R e S do cubo pertencem aos semieixos po- sitivos Ox, Oy e Oz, respetivamente.
O triˆangulo escaleno [M N Q] ´e a sec¸c˜ao produzida no cubo pelo plano α de equa¸c˜ao
10 x + 15y + 6z = 125
Seja β a amplitude, em graus, do ˆangulo M QN. Determine β x
O (^) y
z
U
T
Q
P
R
S
V
M
N
Apresente o resultado arredondado `as unidades. Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, trˆes casas decimais. Sugest˜ao: comece por determinar as coordenadas dos pontos M e N Teste Interm´edio 11.o^ ano – 24.01.
- Na figura ao lado est˜ao representados dois vetores,
AD e −→ AE, de normas 12 e 15, respetivamente. No segmento de reta [AD] est´a assinalado um ponto B No segmento de reta [AE] est´a assinalado um ponto C
O triˆangulo ´e retˆangulo [ABC] e os seus lados tˆem 3 , 4 e 5 unidades de comprimento.
Indique o valor do produto escalar
AD ·
AE
B
A
4 C
5
E
D
(A) 108 (B) 128 (C) 134 (D) 144
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 10.05.
- Na figura ao lado est´a representado um retˆangulo [ABCD]
Mostre que o produto escalar
AB ·
AC ´e igual a AB 2
A^ B
D C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 19.05.
- Na figura ao lado est˜ao representados, em referencial o. n. Oxyz, um prisma e uma pirˆamide quadrangulares regulares, com a mesma altura.
A base do prisma, que coincide com a base da pirˆamide, est´a contida no plano xOy.
O v´ertice P pertence ao eixo Ox.
O v´ertice R pertence ao eixo Oy.
O v´ertice S pertence ao eixo Oz.
O v´ertice U tem coordenadas (2, 2 ,4).
Calcule a amplitude do ˆangulo W QV. Apresente o resultado em graus, arredondado `as unidades. Nota: sempre que, nos c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
P
R
x
O (^) y
z
Q
T
W
S
U
V
Exame – 2001, Ep. especial (c´´ od. 135)
- Na figura ao lado est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular.
- A base da pirˆamide ´e paralela ao plano xOy
- O ponto A tem coordenadas (8, 8 ,7)
- O ponto B pertence ao plano yOz
- O ponto C pertence ao eixo Oz
- O ponto D pertence ao plano xOz
- O ponto E ´e o centro da base da pirˆamide
- O v´ertice V da pirˆamide pertence ao plano xOy
Determine a amplitude do ˆangulo DV B Apresente o resultado em graus, com aproxima¸c˜ao `a d´ecima de grau.
x
O y
z
D
V
C
A
B
E
Exame – 2000, Ep. Especial (setembro) (c´´ od. 135) Exame – 1999, Prova de reserva (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular.
Sabe-se que:
- O v´ertice O coincide com a origem do referencial
- O v´ertice P pertence ao semieixo positivo Ox
- O v´ertice R pertence ao semieixo positivo Oy
- O segmento [QR] tem comprimento 6
Indique, justificando, o valor do produto escalar
T S ·
T R (^) x
O y
z
S
T
P
Q
R
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura seguinte est˜ao representados trˆes pontos, em referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (0, 5 ,2)
- o ponto B pertence ao plano (3, 0 ,1)
- o ponto C pertence ao plano (4, 2 ,0)
Mostre que o triˆangulo [ABC] ´e retˆangulo em C x
y
O
z
A
B
C
Exame – 1999, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado um paralelep´ıpedo retˆangulo [P QRST U V X]
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A)
T P ·
QU = 0 (B)
U Q ·
T X = 0
(C)
P Q ·
T U = 0 (D)
P Q ·
P V = 0
X
R
U
Q
T
P
S
V
Exame – 1999, 1.a^ Fase - 2.a^ Chamada (c´od. 135)
- De dois vetores ~p e ~q sabe-se que tˆem ambos norma igual a 3 e que ~p · ~q = −9 (~p · ~q designa o produto escalar de ~p por ~q).
Indique qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira.
(A) p~ + ~q = ~ 0 (B) ~p − ~q = ~ 0 (C) ~p ⊥ ~q (D) O ˆangulo dos vetores p~ e ~q ´e agudo Exame – 1998, Prova para militares (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide triangular n˜ao regular [OP QV ]
Tem-se que:
- O v´ertice O da pirˆamide ´e a origem do referencial
- O v´ertice V tem coordenadas (0, 4 ,2)
- O ponto P tem coordenadas (2, 2 ,2)
- O ponto Q tem coordenadas (3, 3 ,0)
- Uma equa¸c˜ao do plano OP Q ´e x − y = 0
- Uma equa¸c˜ao do plano P QV ´e x + y + z = 6
- Uma equa¸c˜ao do plano OP V ´e x + y − 2 z = 0
Mostre que o ˆangulo OP Q ´e reto.
x
O y
z
Q
V
P
Exame – 1998, Prova de reserva (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(5, 0 ,0) e B(0, 3 ,1)
Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triˆangulo [ABC] seja retˆangulo em C
x
O y
z
A
B
Exame – 1998, 2.a^ fase (c´od. 135)
