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Ótimo resumo sobre vetores (produto interno, ortogonalidade e projeções)
Tipologia: Resumos
1 / 20
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Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005
. Se x ∈ R
2 ,
x 2
x 1
x
norma x, ‖x‖ =
x
2 1 +^ x
2
. Se x ∈ R
3 ,
x
x 2
q x 2 (^1) + (^) x 2 2
x 1
x 3 norma x, ‖x‖ =
x
2 1 +^ x
2 2 )
(^2) + x^2 3 =
x
2 1 +^ x
2 2 +^ x
2
Def. Se x = (x 1 , x 2 ,... , xm) ∈ R
m , a norma de x ´e ‖x‖ =
x
2 1 +^ x
2 2 +^ · · ·^ +^ x
2 m.
Ex. ‖(0, 1 , 2)‖ =
Props. ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖ = 0 sse x = ~0,
‖λx‖ = |λ|‖x‖, ∀λ ∈ R.
Def. Vector unit´ario ´e um vector de norma 1.
Obs. Cada um dos m vectores da base can´onica de R
m ´e unit´ario.
Def. Se x ´e um vector n˜ao nulo,
x ‖x‖
´e um vector unit´ario, colinear
e com o mesmo sentido do que x. Chama-se a
x ‖x‖
o versor do vector
x.
Ex. (0, √^1 5
√^2 5
) ´e o versor de (0, 1 , 2),
√^1 2
√^1 2
) ´e o versor de (
1 2 ,^
1 2 ).
. Se x, y ∈ R
2 ,
x
y
x − y
x − y
distˆancia entre x e y, d(x, y) = ‖x − y‖.
Def. Se x = (x 1 , x 2 ,... , xm), y = (y 1 , y 2 ,... , ym) ∈ R
m , a distˆancia
entre x e y ´e ‖x−y‖ =
(x 1 − y 1 )^2 + (x 2 − y 2 )^2 + · · · + (xm − ym)^2.
Ex. A distˆancia entre (0, 2 , − 2 , 1) e (− 2 , 0 − 2 , 2) ´e ‖(2, 2 , 0 , −1)‖ =
Obs. ‖x‖ = ‖x − ~ 0 ‖ ´e a distˆancia do vector x `a origem.
. Se x = (x 1 , x 2 , x 3 ) e y = (y 1 , y 2 , y 3 ) s˜ao vectores n˜ao nulos perpen-
. x|y = y|x, . x|(y + z) = x|y + x|z, . λ(x|y) = λx|y = x|λy, . x|x = ‖x‖
2 ,
. x|x = 0 sse x = ~ 0 (~0 ´e o ´unico vector ortogonal a si mesmo).
Obs. (Teorema de Pit´agoras em R
m .)
x, y ∈ R
m , ‖x + y‖
2 = (x + y)|(x + y) = ‖x‖
2
2 .
.
. ‖x + y‖
2 = ‖x‖
2
2 sse x|y = 0,
i.e., o quadrado da norma da “hipotenusa” ´e igual `a soma dos
quadrados das normas dos lados sse os lados s˜ao ortogonais.
Def. Um conj. {v 1 , v 2 ,... , vk} de vectores de R
m ´e ortogonal se
vi|vj = 0, com i 6 = j = 1,... , k. Se adicionalmente ‖vi‖ = 1, para
i = 1,... , k, o conj. diz-se ortonormal.
Obs. A base can´onica de R
m ´e um conj. ortonormal de m vectores.
Se {v 1 , v 2 ,... , vk} ´e um conj. ortogonal de vectores n˜ao nulos,
v 1 ‖v 1 ‖
v 2 ‖v 2 ‖
vk ‖vk‖
} ´e ortonormal.
Teor. Um conj. {v 1 , v 2 ,... , vk} ortogonal de vectores n˜ao nulos ´e
linearmente independente.
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λkvk = ~ 0
. v 1 |(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λkvk) = v 1 |~ 0 ⇔
λ 1 (v 1 |v 1 ) ︸ ︷︷ ︸ 6 =
+λ 2 (v 1 |v 2 ) ︸ ︷︷ ︸ 0
⇒ λ 1 = 0.
. v 2 |(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λkvk) = v 2 |~ 0 ⇔
λ 1 (v 2 |v 1 ) ︸ ︷︷ ︸ 0
+λ 2 (v 2 |v 2 ) ︸ ︷︷ ︸ 6 =
⇒ λ 2 = 0.
Corol. Um conj. ortogonal de vectores n˜ao nulos de R
m n˜ao inclui
mais do que m vectores.
Teor. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz.)
. ∀x, y ∈ R
m , |x|y| ≤ ‖x‖‖y‖,
. |x|y| = ‖x‖‖y‖ sse y = λx.
Se x = ~0 ou y = ~0, tem-se x|y = ‖x‖‖y‖ = 0 e nada mais h´a a
provar.
Consideremos pois x e y 6 = ~0.
∀λ ∈ R, ‖x−λy‖
2 = (x−λy)|(x−λy) = ‖x‖
2 − 2 λx|y+λ
2 ‖y‖
2 ≥ 0.
Fazendo na desigualdade anterior λ =
x|y ‖y‖^2
, obtem-se
z
x
y
λx
θ
λx ´e a projec¸c˜ao de y sobre x
y = λx + z
cos θ =
λ‖x‖ ‖y‖
⇒ λ‖x‖ = ‖y‖ cos θ.
x|y = x|(λx + z) = x|λx + x|z ︸︷︷︸ 0
= λx|x = λ‖x‖
2 = ‖x‖‖y‖ cos θ.
.
. cos θ =
x|y ‖x‖‖y‖
Obs. Se x, y 6 = ~ 0 ∈ R
m , a 6 =Cauchy-Schwarz estabelece que
|x|y| ≤ ‖x‖‖y‖ ⇔ − 1 ≤
x|y ‖x‖ ‖y‖ ≤^ 1.
∃!θ ∈ [0, π] : cos θ =
x|y ‖x‖ ‖y‖
Pode-se pois definir
Def. Anguloˆ entre dois vectores x, y ∈ R
m ´e o ˆangulo θ : x|y =
‖x‖‖y‖ cos θ.
Obs. Se x, y 6 = ~ 0 , x|y = ‖x‖‖y‖ cos θ = 0 sse cos θ = 0, i.e., θ =
π 2
Ex. Determine o ˆangulo entre x = (1, 1 , 0 , 1) e y = (1, 1 , 1 , 1).
0
0
u
V V
u
Def. Um vector u ∈ R
m ´e ortogonal a um subespa¸co V de R
m
(u ⊥ V ) se u ´e ortogonal a todo o vector de V , i.e., u|v = 0, ∀v ∈ V.
Ex. (− 1 , 1 , 2) ´e ortogonal a {(x, y, z) ∈ R
3 : x − y − 2 z = 0}.
Obs. Se u ∈ R
m , u|x = 0, ∀x ∈ R
m sse u = ~0. (O vector nulo ´e o
´unico vector ortogonal a R
m .)
Lema Sejam u ∈ R
m e V o subespa¸co de R
m gerado por {v 1 , v 2 ,... , vn}.
u ⊥ V sse u ⊥ vi, i = 1,... , n.
⇒ ´e ´obvio.
∀v ∈ V, ∃λ 1 , λ 2 ,... , λn : v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λnvn
u|v = λ 1 u|v 1 ︸︷︷︸ 0
+λ 2 u|v 2 ︸︷︷︸ 0
.
.
. u|v = 0, ∀v ∈ V , i.e., u ⊥ V. 2
Obs. u ⊥ V sse u ´e ortogonal a uma base do subespa¸co V.
Ex. Mostre que o vector (2, 1 , 1 , −1) ´e ortogonal ao C(
Como obter o conj. dos vectores ortogonais a um subespa¸co?
Sejam V um subespa¸co de R
m e {v 1 , v 2 ,... , vn} um conj. gerador
de V.
Para provar o ´ultimo ponto, considere
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λrvr + α 1 w 1 + α 2 w 2 + · · · + αm−rwm−r = ~ 0 ⇔
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λrvr ︸ ︷︷ ︸
∈V
= −(α 1 w 1 + α 2 w 2 + · · · + αm−rwm−r) ︸ ︷︷ ︸ ∈V ⊥
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λrvr = ~ 0 ⇒ λ 1 = · · · = λr = 0
α 1 w 1 + α 2 w 2 + · · · + αm−rwm−r = ~ 0 ⇒ α 1 = · · · = αm−r = 0.
Obs. C
⊥ (A) = N (A
).
Em R
3 ,
. o complemento ortogonal de {~ 0 } ´e R
3 ;
. o complemento ortogonal de uma recta que passa na origem ´e o
plano que passa na origem e ´e perpendicular `a recta;
. o complemento ortogonal de um plano que passa na origem ´e a
recta que passa na origem e ´e perpendicular ao plano;
. o complemento ortogonal de R
3 ´e {~ 0 }.
Ex. Determine os complementos ortogonais dos subespa¸cos gera-
dos por {(1, 2 , 2 , 1), (1, 0 , 2 , 0)} e por {(1, 1 , 2 , −1)}.
Se p ´e a projec¸c˜ao ortogonal do vector b sobre um subespa¸co
vectorial V ,
0
90
o 90
o
0
b − p b
b − p b
p p
V V
p ∈ V e b − p ∈ V
⊥ .
Pode-se provar que
Teor. se V ´e um subespa¸co vectorial de R
m ,
. para todo o vector b ∈ R
m , existe um e um s´o vector p ∈ V , tal
que b − p ∈ V
⊥ ;
. como b = p + (b − p), os vectores p e b − p d˜ao uma decomposi¸c˜ao
unica de´ b como soma de um vector em V com outro em V
⊥ .
Sejam {v 1 , v 2 ,... , vr} uma base de V e {w 1 , w 2 ,... , wm−r} uma
base de V
⊥
. Como {v 1 , v 2 ,... , vr, w 1 , w 2 ,... , wm−r} ´e uma base de
m , existem escalares λ 1 , λ 2 ,... , λr, α 1 , α 2 ,... , αm−r tais que
b = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λrvr ︸ ︷︷ ︸ p∈V
b − p
Suponha que, para al´em de p, existe q ∈ V tal que b − q ∈ V
⊥ .
(x 1 = 1, x 2 = 2 ´e a solu¸c˜ao. De facto,
. Em seguida vai-se verificar que b − p = (3, − 3 , 6) ∈ V
⊥ .
(3, − 3 , 6)|(2, 0 , −1) = 0 e (3, − 3 , 6)|(1, 1 , 0) = 0, i.e., b − p =
(3, − 3 , 6) ´e ortogonal a cada uma das colunas de A e.
.
. b − p ⊥
C(A) ⇔ b − p ∈ C
⊥ (A).
Obs. Se p ´e a projec¸c˜ao de b sobre V , b − p ´e a projec¸c˜ao de b
sobre V
⊥
. (b − p ∈ V
⊥ e b − (b − p) = p ∈ V = (V
⊥ )
⊥ .)
Teor. Sejam V um subespa¸co vectorial de R
m e b ∈ R
m
. A
projec¸c˜ao de b sobre V ´e o vector de V a menor distˆancia de b.
Sejam p a projec¸c˜ao de b sobre V e q um qualquer vector de V.
Como V ´e um subespa¸co vectorial, p−q ∈ V e.
.
. tem-se p−q ⊥ b−p.
Pelo teorema de Pit´agoras (se x ⊥ y ⇒ ‖x + y‖
2 = ‖x‖
2
2 ),
‖(b − p) + (p − q)‖
2
︸ ︷︷ ︸
= ‖b − p‖
2
2
︸ ︷︷ ︸ ∨ 6
‖b − q‖
2 ≥ ‖b − p‖
2
. 2
Algoritmo para determinar a proj. de b sobre o subesp. V de R
m
. Construir uma base {v 1 , v 2 ,... , vn} de V ; . definir a matriz A :=
v 1 v 2... vn
. construir uma base {w 1 , w 2 ,... , wm−n} de N (A
) = V
⊥ ;
. resolver o sistema (determinado)
v 1... vn w 1... wm−n b
Seja (λ 1 ,... , λn, α 1 ,... , αm−n) a solu¸c˜ao do sistema. Tem-se,
b = λ 1 v 1 + · · · + λnvn ︸ ︷︷ ︸ p ∈V
|| ||
projV b projV ⊥ b
Ex. Determine a projec¸c˜ao do vector (7, − 1 , 5) sobre o subespa¸co
gerado por {(2, 0 , −1), (1, 1 , 0)}.
V =< {(2, 0 , −1), (1, 1 , 0)} >. Como {(2, 0 , −1), (1, 1 , 0)} ´e li-
nearmente independente, ´e uma base de V. Seja A =
Ax¯ = A
b.
Tem-se pois a seguinte forma alternativa de determinar a pro-
jec¸c˜ao de b sobre C(A).
. Resolva o sistema A
Ax = A
b (equa¸c˜oes normais). Seja ¯x uma
solu¸c˜ao.
. p = projC(A)b = Ax¯.
Ex. Determine a projec¸c˜ao do vector (4, − 1 , 1) sobre V =<
Obs. A projec¸c˜ao de b sobre um vector v 6 = ~0 ´e a projec¸c˜ao de b
sobre o subespa¸co (a recta) gerado por v.
Tem-se pois, A :=
v
︸ ︷︷ ︸A v|v
x = A
︸︷︷︸b v|b
⇒ x¯ =
v|b v|v
e.
.
. p = projvb = Ax¯ =
v|b v|v
v =
v|b ‖v‖ ‖v‖
v = ‖b‖
v|b ‖b‖ ‖v‖
v ‖v‖
‖b‖ cos θ
v ‖v‖
, em que θ ´e o ˆangulo entre b e v.
Ex. A projec¸c˜ao de b = (2, 1 , 6 , 3) sobre v = (1, 1 , 1 , 1) ´e
v|b v|v
v =
12 4
Lema Se a matriz Am×n tem caracter´ıstica n, A
A ´e invert´ıvel.
Considere x ∈ N (A
A), i.e., x tal que (A
A)x = ~ 0 ⇔ A
(Ax) =
~ 0 ⇒ Ax ∈ N (A>). Por outro lado, obviamente Ax ∈ C(A).
.
. Se x ∈ N (A
A), Ax ∈ N (A
) ∩ C(A) e como N (A
) = C
⊥ (A),
tem-se Ax = ~ 0
car(A)=n ⇒ x = ~0. A equivalˆencia N (A
A) = ~0 sse a
matriz A
A ´e invert´ıvel, completa a demonstra¸c˜ao. 2
Assim, se o conj. das colunas de A ´e linearmente independente, a
´unica solu¸c˜ao das equa¸c˜oes normais A
Ax = A
b ´e ¯x = (A
A)
− 1 A
b
e projC(A)b = A(A
A)
− 1 A
b.
Def. Se o conj. das colunas de A ´e linearmente independente
A ´e invert´ıvel), chama-se a A(A
A)
− 1 A
matriz de projec¸c˜ao
(ortogonal) sobre o espa¸co das colunas de A.
Obs. No caso em que o conj. das colunas de A =
w 1 w 2... wn
´e ortonormal,
A =
w 1 −−
w 2 −−
wn −−
w 1 w 2... wn
=^ I^ e^.
.
. a matriz de
projec¸c˜ao sobre C(A) ´e AA
.
Dado um vector arbitr´ario b ∈ R
m , projC(A)b = (AA
)b = A(A
b) =
p = projV b =
w 1 |b w 1 |w 1
w 1 +
w 2 |b w 2 |w 2
w 2 =
4 2
1 3
1 3
7 3
5 3
E pois importante identificar bases ortogonais dos subespa¸´ cos vec-
toriais. O m´etodo que a seguir se descreve tem esta finalidade.
Processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt
Seja V 6 = {~ 0 } um subespa¸co vectorial de R
m .
. Identifique v 1 6 = ~ 0 ∈ V. Se dim V > 1, ent˜ao . identifique u 2 ∈ V \ < {v 1 } > e defina v 2 := u 2 −
v 1 |u 2 v 1 |v 1
v 1. (Clara-
mente v 2 ∈ V e v 2 |v 1 = u 2 |v 1 −
v 1 |u 2 v 1 |v 1
v 1 |v 1 = 0.) Se dim V > 2,
ent˜ao
. identifique u 3 ∈ V \ < {v 1 , v 2 } > e defina v 3 := u 3 −
v 1 |u 3 v 1 |v 1
v 1 −
v 2 |u 3 v 2 |v 2
v 2.
(Claramente v 3 ∈ V e v 3 |v 1 = u 3 |v 1 −
v 1 |u 3 v 1 |v 1
v 1 |v 1 −
v 2 |u 3 v 2 |v 2
v 2 |v 1 = 0 ,
v 3 |v 2 = u 3 |v 2 −
v 1 |u 3 v 1 |v 1
v 1 |v 2 −
v 2 |u 3 v 2 |v 2
v 2 |v 2 = 0.) Se dim V > 3, ent˜ao
O conj. {v 1 , v 2 ,... , vdim V } assim obtido ´e uma base ortogonal de
Ex. Determine uma base ortogonal de R
3 que inclua o vector
. v 1 = (1, 1 , 1). . u 2 = (1, 0 , 0) ∈ R
3 \ < {(1, 1 , 1)} >.
v 2 := u 2 −
v 1 |u 2 v 1 |v 1
v 1 = (1, 0 , 0) −
1 3
1 3
. u 3 = (1, − 1 , 1) ∈ R
3 \ < {(1, 1 , 1), (2, − 1 , −1)} >.
v 3 := u 3 −
v 1 |u 3 v 1 |v 1
v 1 −
v 2 |u 3 v 2 |v 2
v 2 = (1, − 1 , 1)−
1 3
2 6
{(1, 1 , 1), (2, − 1 , −1), (0, − 1 , 1)} ´e uma base ortogonal de R
3 que
inclui o vector (1, 1 , 1).
