PROFMAT - Elementos de Aritmética, Notas de aula de Teoria dos Números

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T E X T O S

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A. Hefez

p-i q-i

SOCIEDADE í BRASILEIRA < DE MATEMÁTICA j

índice

1 Os Números Naturais l

Prefácio

O nosso objetivo aqui é estudar as propriedades dos números naturais junto com as suas operações de adição e de multiplicação, enfatizando as questões relacionadas com a divisibilidade. Este livro cobre o material para um primeiro curso de Aritmética e destina-se à formação básica dos alunos de graduação em Matemática, e, à formação complementar daqueles que estão no exercício da docência no ensino fundamental e médio. Apesar deste material não ser ensinado neste grau de detalhe e de profundidade nas escolas, ele deve, obrigatoriamente, fazer parte da bagagem mínima de todo professor de Matemática. A Aritmética, como usualmente é chamada a parte elementar da Teoria dos Números, teve como principal marco inicial a obra Os Elementos, de Euclides (aprox. 300 AC), encontrando o seu auge nos trabalhos de Pierre de Fermat (1601-1665) e Leonhard Euler (1707-1783), o que a levou a se tornar um dos principais pilares da Matemática. A partir do início do século 19, graças à obra de Cari Friedrich Gauss (1777-1855), a Aritmética transforma-se em Teoria dos Números e começa a ter um desenvolvimento extraordinário. Estes são os quatro principais protagonistas da história que iremos contar aqui. A Gauss deve-se a fecunda ideia, entre muitas outras, de efetuar a fatoração de números naturais em anéis de números algébricos. Esta ideia foi grandemente desenvolvida nos trabalhos de Ernsí Kummer, Richard Dedekind e Leopold Kronecker, iniciando o que se chama atualmente a Teoria Algébrica dos Números. Por outro lado, com os trabalhos de Lejeune Dirichlet e Bernhard Riemann, também no século 19, foram utilizadas técnicas de Análise Real e Complexa para se compreender melhor a distribuição dos números pri- mos, iniciando, assim, uma outra maneira de se tratar os problemas da Aritmética, a Teoria Analítica dos Números. Hoje, há uma terceira abordagem, a Geometria Aritmética, cu- jos métodos são tomados da Geometria Algébrica e cujos precursores foram Emil Artin, Helmut Hasse, Louis Joel Mordell e André Weil. Esta última abordagem tem se mostrado extremamente fecunda, permitindo provar profundos teoremas em Teoria dos Números, e culminando com a publicação, em 1995, da demonstração, por Andrew Wiles, do chamado Último Teorema de Fermat. O livro é organizado como segue: são onze capítulos, divididos em seções. Cada seção contém inúmeros exemplos e, ao seu final, uma lista de problemas numerados com três

IV

niímeros; o'primeiro indicando o capítulo, o segundo, a seção e o terceiro, o problema em si. Além disso, nó final da maioria dos capítulos, o leitor encontrará uma lista de problemas suplementares. Os problemas marcados com asterisco são aqueles que têm alguma sugestão para a sua resolução, ou mesmo, a própria, no final do livro. Para tornar possível a'utilização do -livro em um curso semestral, algumas seções, a critério do professor, poderão ser omitidas sem comprometer a compreensão do todo. Essas seções são as seguintes: 4.2, 62, 6.3, 8.2, 8.3, 9.3, 11.3 e 11.4. Este livro foi escrito com base em notas de aula de um curso semestral de Aritmética que ministrei em'2003, no âmbito do Projeto. de Melhoria de Ensino da Matemática no Estado do Rio de Janeiro, organizado pela SEM e patrocinado pela FAPERJ, aos quais agradeço pela oportunidade concedida..

2 1. Os Números Naturais

2. A adição e a multiplicação são comutativas:

V a, 6 € IN, a + b = b + a e a • b = b • a.

3. A adição e a multiplicação são associativas:

V a, 6, c € IN, (a + 6) + c = a + (6 + c) e (a • 6) • c = a • (6 • c).

4. A adição e a multiplicação possuem elementos neutros:

V á e IN, a + 0 = a e a - l = a.

5. A multiplicação é distributiva com relação à adição:

V a, 6, c e IN, a • (ò + c) = a • 6 + a • c.

A Propriedade l é que permite somar, a ambos os lados de uma igualdade, um dado número, ou multiplicar ambos os membros por um mesmo número. Algumas vezes, trabalharemos com outros conjuntos, diferentes dos naturais, munidos de operações de adição e multiplicação que possuem as propriedades de (1) a (5) acima. Neste caso, diremos que os elementos de tais conjuntos, juntamente com as duas operações, estão sujeitos às leis básicas da aritmética. Por exemplo, sabemos que os números inteiros relativos, os números racionais, os números reais e os números complexos estão sujeitos às leis básicas da aritmética. Alertamos o leitor quanto ao fato de que estes números só serão utilizados nos exemplos e nos problemas; nunca, porém, em lugar essencial para o desenvolvimento da teoria.

Usaremos a notação IN* = {1,2,3,...}. Vamos admitir, também, que os números naturais possuam as propriedades a seguir:

6. Integridade: Dados a, 6 e IN, tem-se que a • b 6 IN.

Equivalentemente, pela formulação contrapositiva:

V a, & 6 IN, a-b = Q =^ a = 0 o u 6 = 0.

7. Trícoíomia: Dados a, ò € IN, uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades é verifi- cada:

i) a = b ii) 3 c € l N * , b = a + c iii) 3 c € IN*, a = b + c.

Diremos que a é menor do que b, simbolizado por a < ò, toda vez que a propriedade (ii) acima é verificada.

§1.1 Adição e Multiplicação 3

Com esta definição, temos que a propriedade (iii) acima equivale a afirmar que 6 < a. Assim, a tricoíomia nos diz que, dados a, b E M, uma, e somente uma, das seguintes condições é verificada: i) a = b ii) a < ò iii) ò < a. Utilizaremos a notação b > a, que se lê 6 é maior do que a, para representar a < b. Decorre, das definições, que O < a, para todo a € IN. De fato, para todo a 6 IN, temos que O + a = a, o que implica O < a. Temos, também, que se a + ò = O, então a = b — 0. De fato, se a ^ O teríamos b < O, o que é absurdo, logo a = 0. Analogamente, mostra-se que 6 = 0. Portanto, se a 6 IN* ou b e IN, então a + b 6 M.

Proposição 1.1.1. a • O = Q para todo a € IN.

DEMONSTRAÇÃO: Temos que

a • O = a (O + 0) = a • O + a • 0.

Se a • O 7^ O, então teríamos a • O 6 M* e, portanto, seguiria, da igualdade acima, que a • O > a • O, o que é absurdo. Logo a • O = 0.

D

Proposição 1.1.2. A relação "menor do que " é transitiva:

V a, b, c € IN, a < b e b < c => a < c.

DEMONSTRAÇÃO: Supondo a < b e b < c, temos que existem d, f E IN* tais que b = a + d e c = b + f. Logo, usando a associatividade da adição, temos que

com d + f e M*, o que implica que a < c.

D

Proposição 1.1.3. A adição é compatível e cancelativa com respeito à relação " menor do que ": V a, 6, c e M, a < b <=» a + c < b + c.

DEMONSTRAÇÃO: Suponha que a < b. Logo, existe d 6 IN*, tal que b = a+d. Somando c a ambos os lados desta última igualdade, pela comutatividade e associatividade da adição, temos

§1.1 Adição e Multiplicação *.. • • • • 5 ". DEMONSTRAÇÃO: A implicação 0 = 6 => a • c = b • c decorre imediatamente do fato da multiplicação ser bem definida (Propriedade l ).... Suponha agora que a- c — b- c. Temos três possibilidades: (i) a < b. Pela Proposição 1.1.4, temos que a • c < b --c, o que é um absurdo. (ii) b < a. Pelo mesmo argumento acima, b • c < a • c, o que é um absurdo. (iii) a — b. Está é a única alternativa válida.

• (^) i. D

Note que a relação < não é uma relação de ordem, pois não é reflexiva. Podemos, entretanto, através dela, obter uma relação de ordem, como descrevemos a seguir. Diremos que a é menor ou igual do que b, ou que 6 é maior ou igual do que a, escrevendo a < b ou b > a, se a < b ou a = b. •. Note que a < b se, e somente se, existe c e M, tal que b = a + c. Com isto, é fácil verificar que esta nova relação é efetivamente uma relação de ordem, pois possui as seguintes propriedades:

1. É reflexiva: V a, a < a. '. •
2. É anti-simétrica: V o, 6, a<b e b<a ==> a = b.
3. É transitiva: V a, 6, c, a < 6 e b < c =r> a < c.

Problemas

1.1.1 Mostre que a relação < é uma relação de ordem em IN. ' 1.1.2 Mostre, V a, 6, c € IN, que ' • a) a < b =$• a <b. •. b ) a < 6 e ò < c ==> a < c. c ) a < 6 e ò < c ==> o < c. 1.1.3 Levando em conta a tricotomia,. a) mostre que a negação de a < b é a > 6. b) qual é a negação de a > 6?.. c) qual é a negação de a — 6? 1.1.4 Mostre q u e. -. ' -. a) V a, ò, c 6 IN, a < 6 <^=> a + c < 6 + c. .: - b) V a, 6 e IN, V c € IN*, a < ò <=> a - c < b -c.. 1.1.5 Mostre, V a, 6, c, d 6 IN, que

b ) a < 6 e c < d =í> a + c < 6 + d e a • c < b • d.

1. Os Números Naturais

1.1.6 Sejam a e b números naturais. a) Mostre que, se a + b = a, então 6 = 0. b) Mostre que, se a • b = a, então a = O ou 6 = 1. c) Mostre que, se a • a = a, então a = O ou a = 1.

1.2 Subtração

Dados dois números naturais a e 6 com a < 6, sabemos que existe um número natural c tal que b = a + c. Neste caso, definimos o número b menos a, denotado por b — a, como sendo o número c. Em símbolos: b — a = c.

Dizemos que c é o resultado da subtração de a de 6. Portanto, temos por definição

c = b — a <í=> 6 = a + c.

No universo dos números naturais, nem sempre existe a subtração de dois números; só existe b — a quando a < b. Note que a — a = O para todo a E IN, e que, por definição, (6 — a) + a = 6.

Exemplo 1.2.1. 8-5 = 3, 3-2 = 1, 8-3 = 5,

(8 -5) -2 = 3-2 = l, 8- (5 -2) = 8-3 = 5.

Os dois últimos exemplos mostram que a subtração não é associativa.

Proposição 1.2.1. Sejam a, b, c e IN. Se a < b, então

c • (b — a) = c • b — c • a.

DEMONSTRAÇÃO: Note que, se 6 > a, então c • 6 > c • a, o que nos diz que c •• b — c • a está bem definido. Suponha agora que 6 — a = d, logo 6 = a + d. Multiplicando por c ambos os membros desta última igualdade, obtemos c-b = c-(a + d) = c-a + c-d, o que implica

c- d = c- b — c- a.

Substituindo d por 6 — a na igualdade acima, obtemos

c • (6 — a) = c • b — c • a.

D

8 1. Os Números Naturais

É imediato verificar que

a + IN = {m E IN; m > a}.

Segue-se, do Axioma de Indução, o seguinte importante instrumento para provar teore- mas:

Teorema 1.3.1 (Princípio de Indução Matemática). Seja a e IN e sejap(ri) uma sentença aberta em n 1. Suponha que

(i) p(a) é verdade, e que (ii) V n > a , p(n) =$• p(n + 1) é verdade,

então, p(n) é verdade para todo n>a.

DEMONSTRAÇÃO: Seja V — {n e IN; p(n)}\u seja, V é o subconjunto dos elementos de IN para os quais p(n) é verdade. Considere o conjunto S = { m 6 l N ; a + m e V},

que verifica trivialmente a + 5 C V. Como, pela condição (i), temos que a + O = a € V, segue-se que 065. Por outro lado, se m E S, então a + m 6 V e, por (ii), temos que a + m + 1 € V; logo m + l 6 5. Assim, pelo Axioma de Indução, temos que S = M. Portanto,

{m € IN; m > a} = a + M C V,

o que prova o resultado.

D

É preciso que o leitor note que, para provar que p(n) ==> p(n + 1) é verdade para todo n, o que se faz é mostrar que, se p(n) é verdade para algum n, então p(n + 1) é verdade, já que a implicação é verdade sempre que p(ra) é falso. Isto pode gerar alguma confusão, pois poder-se-ia pensar que estamos usando a tese do teorema para provar o teorema, o que não é o caso, pois a tese é que p(n) é verdade para todo n > a.

Corolário 1. Não existe nenhum número natural n tal que O < n < 1.

DEMONSTRAÇÃO: O enunciado acima é equivalente a dizer que

p(n) : n > O =$- n > l

é verdade para todo n e M.

'Uma sentença aberta em n é uma frase de conteúdo matemático onde figura a letra n como palavra e que se torna uma sentença verdadeira ou falsa quando n é substituído por um número natural bem determinado.

§1.3 Axioma de Indução 9

Sendo O > O falso, segue-se que p(0) : O > O => O > l é verdade. Por outro lado, note que p(n + 1) : n + l > O =» n + l > l é verdade para todo n e IN. De fato, n + l > l ê verdade para todo n 6 IN, pois é equivalente, por cancelamento, a n > O, o que é sempre verdade. Logo, sendo p(n + 1) verdade para todo n, segue-se que p(n) ==> p(n + 1) é verdade para todo n € IN. Portanto, o resultado decorre do Princípio de Indução Matemática.

D

Corolário 2. Dado um número natural n qualquer, não existe nenhum número natural m tal que n < m < n + 1. DEMONSTRAÇÃO: Suponha, por absurdo, que exista um número natural m com n < m < n + 1. Logo, existiria um número /c € IN* tal que n + fc = m < n - í - l , que, pela Proposição 1.1.3, implicaria que O < k < l, o que é uma contradição, tendo em vista o Corolário l acima.

D

Corolário 3. Sejam a, b 6 IN. Se a • b = l, então a = b = l.

DEMONSTRAÇÃO: Inicialmente, note que a ^ O e b ^ O, pois, caso contrário, a • b = 0. Agora, se a ^ l e ò ^ l, então, pelo Corolário l, segue-se que a > l e b > l. Logo, a • b > b > 1; contradição. Portanto, a = l ou b = 1. Qualquer uma dessas possibilidades implica a = b = 1.

D

É necessário que o leitor não confunda Indução Matemática com indução empírica. Nas ciências naturais, é comum, após um certo número (sempre finito) de experimentos, enun- ciar leis gerais que governam o fenómeno em estudo. Essas leis são tidas como verdades, até prova em contrário. A Indução Matemática serve para estabelecer verdades matemáticas válidas sobre subconjuntos infinitos de IN. Não se trata de mostrar que determinada sentença aberta é verdade para um grande número de casos, mas, trata-se de provar que tal sentença é verdade para todo número natural maior ou igual do que um certo a G IN. Por exemplo, considere a sentença aberta 2

p(n) : n = n + (n - l)(n - 2) • • • (n - IO 6 ).

2 Nos exemplos, bem como nos problemas, usaremos livremente números reais, supondo conhecidas suas propriedades. No entanto, no desenvolvimento da teoria, faremos apenas uso de conceitos previamente definidos.

§1.3 Axioma de Indução 11

Pelo Princípio de Indução Matemática, p(n) é verdade para todo n G M*. Exemplo 1.3.2. Vamos determinar uma fórmula para a soma dos n primeiros números naturais não nulos. Seja Sn = l + 2 + • • • + n. Somando a igualdade acima, membro a membro, com ela mesma, porém com as parce- las do segundo membro em ordem invertida, temos que Sn = l + 2 + - • • + n Sn = n + (n-1) + • • • + l

1Sn = (n + 1) + (n + 1) + • • • + (n + 1) Daí segue-se que 2Sn = n(n + 1), e, portanto, _ n(n + 1) bn ~ 2 ' Conta-se a seguinte história sobre Cari Friederich Gauss quando ainda garoto. Na es- cola, o professor, para aquietar a turma de Gauss, mandou os alunos calcularem a soma de todos os números naturais de l a 100. Qual não foi a surpresa quando, pouco tempo depois, o menino deu a resposta: 5050. Indagado como tinha descoberto tão rapidamente o resultado, Gauss, então com nove anos de idade, descreveu o método acima. Pelas suas contribuições à Matemática, Gauss é considerado um dos maiores matemá- ticos de todos os tempos, tendo dedicado boa parte de seu talento à aritmética, sua área de interesse preferida. Vamos agora verificar a validade da fórmula acima por indução. Note que

Suponha agora que Sn = n(n + l)/2. Somando n + l a ambos os membros desta igualdade, obtemos:

< "(" + 1 ) , „ , i+ n + l = n(n + l) + 2(n + l) (n + l)(n + 2),

o que mostra que a fórmula vale para todo n 6 IN*.

Seja A um conjunto qualquer. Uma sequência em A é uma função s: IN* — )• A n t— > s(n)

Ê praxe denotar o número s (n) por sn. Uma sequência s também será denotada por

12 1. Os Números Naturais

Problemas

1.3.1 Mostre as seguintes fórmulas por indução;

a)l 2 + 22 +... + n 2 = ^ 6 + n 3 = 2 1 1 I n c) T^T + TrrH1.2 2.3 +n ( n + l ) n + 1

l n(n + 3)

• ••• + 7 1.2.3 2.3.4 n(n + l}(n + 1] 4(n + l)(n + 2)

1.3.2 Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais (an) tal que a\ dado e, pa

: r =

onde r é um número real fixo chamado razão. a) Mostre que an = ai + (n — l)r.

b) Se S^ „n^ = ai H ----- 1- an, mostre que S„n^ — na\ — —n(n ~ £ & 1.3.3 Uma progressão geométrica (PG) é uma seqiíência de números reais (an) tal que a\ dado e, pa

an+l — «ra • Ç;

onde ç é um número real fixo, diferente de O e de l, chamado razão. a) Mostre que an = ai • qn~ 1. qn - l b) Se Sn = a- h an, mostre que Sn = ai - —. q-

1.3.4 Uma progressão aritmético-geométrica é uma sequência de números reais (an) tal que a\ dado e, para todo n e IN*, tem-se que

= qan + r,

onde ç e r são números reais dados, com q ^ 1. flfí-l _ J a) Mostre que an = a\ qn~^ + r -. q- b) Se Sn = ai -- h an, mostre que

jn~l - l qn -l n - 1 (l — ç) 2 l — q l — q'

2

Aplicações da Indução

Neste capítulo, exploraremos o Princípio de Indução Matemática, mostrando algumas de suas inúmeras aplicações. •.;íi» 2.1 Definição por Recorrência?

O que realmente significa uma expressão da forma

que consideramos no Exemplo 1.3.1? Apesar de intuirmos o que quer dizer, isso formalmente ainda não faz sentido, pois só sabemos somar números aos pares. Para dar um sentido preciso a este tipo de expressão, vamos utilizar o Princípio de Indução Matemática como descrito a seguir. Para definir uma expressão En, para todo n € a + IN, basta definirmos Ea e mostrar como obter En+\ partir de En, para todo n E a + ISf. De fato, consideremos a sentença aberta p(n) : En está definido e provemos, por Indução Matemática, que p(n) é verdade para todo n € a + IN. Temos, por construção dos En, que p(a) é verdade e que, para todo n € IN, p(ri) =$• p(n + 1) é também verdade. Logo, pelo Princípio de Indução Matemática, temos que p(n) é verdade para todo n E a + IN. Neste caso, dizemos que En foi definido por recorrência. Por exemplo, usamos recorrência para definir progressões aritméticas (Problema 1.3.2) e progressões geométricas (Problema 1.3.3). Algumas vezes, definiremos uma expressão En por recorrência através de uma dada função avaliada em vários termos anteriores, En-,En-z,... , En-T. Isto definirá, sem ambiguidade, En, desde que se conheçam as expressões de EI,... , Er.

§2.1 Definição por Recorrência 15

Exemplo 2.1.1. Seja (an) uma sequência de elementos de um conjunto munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. Para dar sentido às somas

Sn — o-i + o-i H ---- + o,n,

basta pôr Si — ai e, supondo Sn definido, definir

Sn+i = Sn + an+i-

Somas como Sn serão também denotadas com a notação de somatórios:

Exemplo 2.1.2. Define-se ofatorial de um número natural n, denotado por n!, como:

0! = 1, (n + 1)! = n\ (n + 1).

Exemplo 2.1.3. Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. Vamos definir as potências an com n € IN por recorrência. Ponhamos a 1 = a e a° = l, se a ^ 0. Supondo a" definido, defina

an+1 = an • a.

É fácil, por meio de indução, provar as propriedades usuais das potências.

Proposição 2.1.1. Sejam a, 6 6 A e m, n E M*. Então, i) a™ • an = an+m. ii) (am}n = amn. iii) (a • b)n = an • bn.

DEMONSTRAÇÃO: Provaremos (i), deixando o restante como exercício. Fixemos a em arbitrariamente e demonstremos a relação por indução sobre n. Temos claramente, pelas definições, que

Por outro lado, supondo que am • an = àm+n, temos que

am • an+l = am • (an • a) = (am • a") • a = am+n • a = am+n+l.

Isto, pelo Princípio de Indução Matemática, prova a nossa propriedade.

D