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PROGRAMAÇÃO LINEAR - PL
1 INTRODUÇÃO
Programação Linear é uma técnica de Otimização bastante utilizada na resolução de problemas quantitativos que tenham seus modelos representados por expressões lineares, sendo elas equações e/ou inequações. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido.
Em um modelo de Programação Linear, existe uma combinação de variáveis, cujo objetivo é ser maximizada ou minimizada. Para essa combinação de variáveis de decisão chamaremos de Função Objetivo. Em todo modelo de Programação Linear, existem restrições , representadas por equações e/ou inequações, que indicam uma limitação na situação real, tal como, escassez de recursos, limitações de mercado, etc. Dado um modelo em PL, identificamos sempre um Parâmetro , que são valores fixos e independentes e também as Variáveis de Decisão , sendo elas que poderão assumir diversos valores, de forma a maximizar ou minimizar a função objetivo.
Podemos assim resumir a técnica de Programação Linear:
- Conjunto de restrições Problema RESOLUÇÃO
- Função Objetivo
Quanto à resolução de um problema de PL, temos os seguintes casos:
a) Para problema com duas variáveis
- Solução Gráfica
- Solução Análise matemática - Através de um Algorítmo (Método Simplex).
b) Para problema com um número qualquer de variáveis
- Solução via Análise matemática - Através de um Algorítmo (Método Simplex)
Veremos que ao buscarmos a solução de um problema, iremos nos deparar com diversas soluções, que neste caso estarão dentro do que chamaremos de Região Permissível , compondo assim, o conjunto de Soluções Viáveis, porém para nós só será cabível aquela que ao mesmo tempo satisfaz dos as restrições e maximiza (ou minimiza) a função objetivo, nos auxiliando assim, durante a tomada de decisão. Logo, dentro de cada técnica para solucionar nosso problema em PL, sempre buscaremos determinar a Solução Ótima , bem como, analisaremos quão sensível é tal solução. Para tal análise, partiremos para o processo de A nálise de Sensibilidade.
Sendo assim, iniciaremos mostraremos um problema dentro de uma visão geral, ou seja, partindo do enunciado, montamos as restrições, a função objetivo e em seguida processamos as técnicas de resolução, que aqui serão por método gráfico (apenas com duas variáveis) e o Método Simplex.
Áreas de Aplicação:
a) Administração de Produção b) Análise de investimentos c) Alocação de recursos limitados d) Planejamento Regional e) Logística: custo de transporte, localização de rede de distribuição f) Alocação de recursos em marketing em diversos ramos
1.1 MODELAGEM DO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Os problemas de Programação Linear estão entre as aplicações mais bem-sucedidas comercialmente da Pesquisa Operacional; de fato, há considerável evidência de que eles estão entre as aplicações de maior impacto econômico. Ao estruturar problema sob a forma de um modelo matemático, o intuito é de nos ajudar no processo de decisão: que atividades empreender e quanto de cada uma, a fim de satisfazer um dado objetivo. Programação Linear é uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar que atividades (variáveis de decisão) empreender, dado que essas alternativas (diversas alternativas) competem entre si pela utilização de recursos escassos (restrições) ou então precisam satisfazer certos requisitos mínimos. O objetivo será maximizar (minimizar) uma função das atividades, geralmente lucros (perdas). O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função linear, a função objetiva, sujeita a restrições também lineares. A seguir são apresentados exemplos de modelagem do problema de programação linear.
Exemplo 1: Uma fábrica produz dois produtos A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada máquina M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80,00 e cada unidade vendida do produto B gera um lucro de R$ 60,00. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto a demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidade de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições.
Resolução: a) Reconhecer as variáveis de decisão. Aqui as variáveis de decisão serão os produtos A e B, pois depende destes a quantidade a ser produzida para que o lucro seja máximo.
b) Formular uma tabela.
PRODUTO M1 – (horas) M2 – (horas) LUCRO – (R$) DEMANDA A 4 4 80 - B 6 2 60 3 TOTAL
c) Montar a Função Objetivo e as Restrições
de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas média e 28 toneladas de lâminas grossa. Devido á quantidade dos produtos da Alumilâminas S.A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 lâminas finas, 1 lâmina média e 2 de lâmina grossa por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 lâminas finas, 1 de lâmina média e 7 de lâmina grossa. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
Resolução: d) Reconhecer as variáveis de decisão. Aqui as variáveis de decisão serão os dias nos quais as fábricas de São Paulo e do Rio de Janeiro deverão funcionar, pois depende da quantidade de dias, o custo será minimizado.
e) Formular uma tabela.
LÂMINAS Fabrica: SP Fábrica: RJ Demanda Placa Fina 8 2 16 Placa Média 1 1 06 Placa Grossa 2 7 28 CUSTO 100.000 200.
f) Montar a Função Objetivo e as Restrições
Função Objetivo: É minimizar o custo em função da quantidade de dias nos quais as fábricas de São Paulo e do Rio de Janeiro produzirem a encomenda. Logo, assumo a quantidade de dias de funcionamento da fábrica de São Paulo, sendo x e a quantidade de dias de funcionamento da fábrica do Rio de Janeiro, sendo y. Assim, Maximizar: 100x + 200y
Restrições:
- Limitação para a produção de cada tipo de placa em cada fábrica, juntamente com a quantidade a ser produzida exigida a pela demanda.
Note que, a demanda exigida em contrato para as placas finas, médias e grossas, são respectivamente de 16, 6 e 28, mas como a industria tem uma demanda extra para cada tipo de lâmina, teremos: PF ≥ 16 PM ≥ 06 PG ≥ 28
Agora precisamos relacionar a demanda exigida, com as variáveis de decisão, caso contrário, nossa restrição não terá ligação nenhuma com a tomada de decisão. Sendo assim, uma forma de relacionar, é verificar que cada fábrica comporta uma quantidade de produto a ser produzido, que somados, não deverão ultrapassar a demanda exigida, dependo do prazo de produção em cada fábrica. Verificando na tabela dos dados, temos:
A quantidade de PF com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação: PF = 8x + 2y
A quantidade de PM com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação:
PM = 1x + 1y
A quantidade de PG com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação: PG = 2x + 7y
Ou seja,
8x + 2y ≥ 16 1x + 1y ≥ 06 2x + 7y ≥ 28
- Condição de não-negatividade
Essa condição será sempre assumida as variáveis de decisão, pois as mesmas tratam-se de quantidade, não havendo assim, valor negativo. Logo, representamos tal restrição por:
x ≥ 0 e y ≥ 0
PROBLEMA COMPLETO
Maximizar: 100x + 200y Sujeito a, 8x + 2y ≥ 16 1x + 1y ≥ 06 2x + 7y ≥ 28 x ≥ 0, y ≥ 0
f) A Picolé Lelé Ltda. é a marca local preferida pelos habitantes das Ilhas Calorânicas, que consomem todos os picolés cremosos que a empresa consegue fabricar. No entanto, por se localizar no meio do oceano, a Picolé Lelé Ltda. tem algumas restrições de fabricação, devido à escassez de matéria-prima fresca. Preocupados em maximizar o lucro da firma, seus dirigentes elaboraram o seguinte quadro informativo, para que possamos ajudá-los, por meio do método de PL, descobrir quantos picolés de cada sabor devem ser produzidos diariamente de forma a maximizar o lucro da companhia.
SABOR LUCRO (POR UNIDADE) R$
QUANTIDADE DE LEITE POR PICOLÉ (Litros)
QUANTIDADE DE AÇUCAR POR PICOLÉ ( por 100 gramas )
POLPA DE FRUTA EM CADA PICOLÉ (Litros)
Morango 1,00 0,45 0,50 0, Uva 0,90 0,50 0,40 0, Limão 0,40 0,40 0,40 0, MÁXIMO DISPONÍVEL 200 150 80
