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Prova-modelo 1
(Estrutura baseada naInformação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017)
CPEN-MA12 © Porto Editora
Cotações
Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre-
sente sempre o valor exato.
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
- Quantos números naturais pares, com quatro algarismos diferentes, se podem escrever?
(A)
(B)
(C)
(D)
2. Seja E um conjunto finito, P uma probabilidade em 𝒫 (E) e A , B ∈ 𝒫 (E) com P (A) > 0 e
P (B) > 0.
Sabe-se que P (A) = 5 P (A ∩ B) e P (A ∪ B) = 2 P (B).
Qual é o valor da probabilidade condicionada P (
A | B
)
(A)
__
(B)
__
(C)
__
(D)
__
3. Seja (u
n
) a sucessão definida por recorrência do modo seguinte:
⎧
⎨
⎩
u
1
u
n + 1
n
, ∀n ∈ ℕ
A soma dos k primeiros termos de
u
n
é igual a 0.
O valor de k é:
(A)
(B)
(C)
(D)
- Num saco estão seis bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
4.1. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as dez bolas do saco.
Determine a probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas (sair pelo
menos uma bola branca entre duas bolas pretas).
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
4.2. Admita agora que, tomando como ponto de partida a constituição inicial, se colocaram mais
algumas bolas pretas no saco.
Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente e sem reposição,
duas bolas do saco e em registar a cor das bolas extraídas.
Relativamente a esta experiência aleatória considere os acontecimentos:
A : “A primeira bola retirada é branca” B : “A segunda bola retirada é preta”
Sabendo que o valor da probabilidade condicionada P (
B | A
)
é
__
, determine o número de
bolas pretas que foram posteriormente colocadas no saco.
Prova-modelo 1
CPEN-MA12 © Porto Editora 331
- Seja f a função, de domínio ℝ , definida por:
f (x) =
⎪
⎪
x
2
e
x + 1
se x ⩽ 0
x ln
x + 1
x
5.1. Determine f '(− 1 ) recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.
5.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa − 1.
Mostre que existe um ponto do gráfico da função f , cuja abcissa pertence ao intervalo
]
__
__
[
, em que a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela à reta t.
Sugestão: Recorra ao Teorema de Bolzano -Cauchy.
5.3. O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x → + ∞.
Determine a equação reduzida dessa assíntota.
- Considere a função f , de domínio ℝ , definida por f
x
= e
x
Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o triân-
gulo [ABC].
x O
y
C
A
B
f
D
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (0 , 1) ;
- o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ]0 , 2 [ ;
- o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B ;
- [CD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AB] e é tal que
CD = 1.
Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida-
mente identificados;
- indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Fim do Caderno 1
Prova-modelo 1
CPEN-MA12 © Porto Editora 333
- Na figura está representado um referencial ortonormado Oxyz.
Os pontos A e B têm coordenadas (6 , 6 , 0) e (0 , 0 , 3) ,
respetivamente.
O ponto P desloca-se sobre a reta AB de tal modo
que é sempre vértice de uma pirâmide em que a base é
um quadrado contido no plano xOy.
A medida do lado do quadrado é igual à abcissa do
ponto P e a cota de P varia entre 0 e 3.
11.1. Mostre que o volume da pirâmide, em função da abcissa x do ponto P , é dado por:
V (x) = x
2
x
3
___
, com x ∈ ]
[
11.2. Determine a altura da pirâmide de volume máximo.
- Na figura estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos: z , z
1
z
2
, z
3
e z
4
O 1 Re( z)
Im(z)
z
z
z
z
z
Qual é o número complexo que pode ser igual a z + z
3
(A)
z
1
(B)
z
2
(C)
z
3
(D)
z
4
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z =
√
__
3 − i
11
_________
√
__
2 e
i
π __
4
Determine o menor número natural n tal que z
n
é um número real negativo.
- Considere a função f definida em ℝ
por f (x) =
1 − 2 ln x
4 x
14.1. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão
do seu gráfico.
14.2. Resolva a inequação f (x) > f ( 2 x).
Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
15. Sejam f e g funções diferenciáveis em ℝ tais que g (x) = x × f (x).
Sabe-se que, para determinado a ∈ ℝ , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é
paralela à reta tangente ao gráfico de g no ponto com a mesma abcissa a.
Mostre que f
a
1 − a
× f
a
Fim do Caderno 2
y
x
O
P
A
B
z
Sugestão de resolução
CPEN-MA12 © Porto Editora
Caderno 1
1. 1.° A 2.° A 3.° A 4.° A
9 8 7 1 Números cujo algarismo das unidades é 0.
8 8 7 4 Números cujo algarismo das unidades é 2 , 4 , 6 ou 8.
9 × 8 × 7 × 1 + 8 × 8 × 7 × 4 = 504 + 1792 = 2296
Resposta: (A)
2. P
A ∪ B
= P
A
+ P
B
− P
A ∩ B
⇔ 2 P (B) = 5 P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B) ⇔
⇔ 2 P (B) − P (B) = 5 P (A ∩ B) − P (A ∩ B) ⇔
⇔ P (B) = 4 P (A ∩ B) ⇔
P (A ∩ B)
________
P
B
__
⇔ P
(
A | B
)
__
Resposta: (C)
⎧
⎨
⎩
u
1
u
n + 1
n
, ∀n ∈ ℕ
⎧
⎨
⎩
u
1
u
n + 1
− u
n
= − 1 , ∀n ∈ ℕ
(
u
n)
é uma progressão aritmética de razão - 1 sendo u
1
u
n
= 100 + (n − 1 ) × (− 1 ) ⇔
⇔ u
n
= 100 − n + 1 ⇔
⇔ u
n
= 101 − n
S
k
u
1
k
× k =
100 + 101 − k
× k =
( 201 − k)k
________
S
k
201 − k
k
= 0 ⇔ ( 201 − k)k = 0 ⇔
⇔ 201 − k = 0 ∨ k = 0 ⇔
k ∈ ℕ
k = 201
Resposta: (D)
4.1. Começamos por calcular a probabilidade do acontecimento contrário (as quatro bolas pretas saírem
todas seguidas).
Número de casos possíveis: 10!
Número de casos favoráveis: 4! × 6! × 7
P =
4! × 6! × 7
_________
___
A probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas é:
1 − P = 1 −
___
___
4.2. Seja n o número de bolas pretas posteriormente colocadas no saco.
Bolas brancas: 6
Bolas pretas: 4 + n
Total: 6 + 4 + n = 10 + n
P (A) = 5 P (A ∩ B) e P (A ∪ B) = 2 P (B)
S
N
=
u
1
N
2
× N
Sugestão de resolução
CPEN-MA12 © Porto Editora
6. A (0 , 1)
B
x , e
x
com x ∈ ]
[
C
0 , e
x
CD = 1
AC =
|
e
x
|
= e
x
− 1 , porque se x > 0 , e
x
BC =
|
x − 0 |
= x , porque x > 0.
AB =
√
____________
x
2
x
2
A área do triângulo [ABC] pode ser calculada por dois processos:
A
[ABC]
BC ×
AC
_______
x (e
x
_________
A
[ABC]
AB ×
CD
________
√
____________
x
2
x
2
× 1
_________________
√
____________
x
2
x
2
______________
A abcissa do ponto B terá de ser solução da equação
x (e
x
_________
√
____________
x
2
x
2
_____________
no intervalo ] 0 , 2[.
x (e
x
_________
√
____________
x
2
x
2
_____________
⇔ x (e
x
√
____________
x
2
x
2
Na calculadora gráfica, fazendo:
• Y
1
= x (e
x
• Y
2
√
____________
x
2
x
2
determinou-se a abcissa do ponto de interseção dos respetivos gráficos.
x O 1,14 2
y
Y
Y
A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 1,.
Caderno 2
7. h (x) = f (x) × ln
[
f (x)
]
h
x
[
f
x
× ln [f
x
]
]
= f '(x) × ln
[
f (x)
]
+ f (x) ×
[
ln
[
f (x)
]]
= f
x
× ln [f
x
] + f
x
×
f '(x)
____
f (x)
= f '(x) × ln
[
f (x)
]
+ f '(x)
Como f
= f
= e , então:
h
( 1 ) = f '( 1 ) × ln
[
f ( 1 )
]
+ f '( 1 ) = e × ln e + e = e × 1 + e = 2 e
Resposta: (B)
Prova-modelo 1
CPEN-MA12 © Porto Editora 337
8. g
x
= π − 2 arcsin
x __
• D
g
x ∈ ℝ : − 1 ≤
x __
x
__
≤ 1 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2
D
g
= [ − 2 , 2 ]
Para − 1 ≤
x __
≤ 1 , temos:
π
__
≤ arcsin
x __
π
__
⇔ − π ≤ − 2 arcsin
x __
≤ π ⇔ π − π ≤ π − 2 arcsin
x __
≤ π + π
⇔ 0 ≤ π − 2 arcsin
x __
≤ 2 π
Logo, D
g
= [ 0 , 2 π ].
Resposta: (D)
9. Sejam
a , b
as coordenadas do ponto C.
a
__
= cos α ⇔ a = 2 cos α
b __
= sin α ⇔ b = 2 sin α
C ( 2 cos α , 2 sin α )
B (0 , 1)
BC =
_________________________
( 2 cos α − 0 )
2
+ ( 2 sin α − 1 )
2
__________________________
4 cos
2
α + 4 sin
2
α − 4 sin α + 1 =
√
__________________________
4 (cos
2
α + sin
2
α ) + 1 − 4 sin α =
√
________________
4 × 1 + 1 − 4 sin α =
√
__________
5 − 4 sin α
Resposta: (A)
10. r : (
x , y , z )
= (1 , 0 , 1) + k ( 4 − 3 a , 0 , 1) , k ∈ ℝ
r
➝
4 − 3 a , 0 , 1
é um vetor diretor da reta r.
β : x + az = 1
u
➝
(1 , 0 , a) é um vetor perpendicular ao plano β.
Se a reta r é paralela ao plano β , então r
➝
⊥ u
➝
, pelo que r
➝
u
➝
= 0.
r
➝ u
➝
= 0 ⇔ ( 4 − 3 a , 0 , 1) (1 , 0 , a) = 0 ⇔ ( 4 − 3 a) × 1 + 1 × a = 0 ⇔ 4 − 3 a + a = 0 ⇔
⇔ 4 − 2 a = 0 ⇔ 2 a = 4 ⇔ a = 2
Resposta: (A)
11. A (6 , 6 , 0) e B (0 , 0 , 3)
AB = B − A = (0 , 0 , 3) − (6 , 6 , 0) = (− 6 , − 6 , 3) = − 6
__
Reta AB : (
x , y , z )
= (0 , 0 , 3) + k
__
, k ∈ ℝ
Um ponto da reta AB é da forma (
x , y , z )
k , k , 3 −
k __
, k ∈ ℝ.
Se x é abcissa do ponto P , as coordenadas de P são
x , x , 3 −
x __
com x ∈ ] 0 , 6[.
A medida da aresta da base da pirâmide é x e a altura é 3 −
x __
. Logo, o volume é dado por:
V (x) =
__
× x
2
×
x __
= x
2
x
3
__
, com x ∈ ] 0 , 6 [
[- 1 , 1 ] →
[
π _
2
,
π _
2
]
x ⤻ arcsin x
x
y
A
C
b
a
2
B
a
O
CPEN-MA12-
Prova-modelo 1
CPEN-MA12 © Porto Editora 339
14. f
x
1 − 2 ln x
4 x
, D
f
14.1. f
x
( 1 − 2 ln x)
( 4 x) − ( 1 − 2 ln x) ( 4 x)
____________________________
4 x
2
0 − 2 ×
__
x
4 x
1 − 2 ln x
× 4
_________________________
16 x
2
− 8 − 4 + 8 ln x
16 x
2
− 12 + 8 ln x
16 x
2
4 × (− 3 + 2 ln x)
_____________
16 x
2
− 3 + 2 ln x
4 x
2
f "(x) =
(− 3 + 2 ln x)
( 4 x
2
) − (− 3 + 2 ln x)( 4 x
2
)
__________________________________
( 4 x
2
)
2
2 ×
__
x
× 4 x
2
− (− 3 + 2 ln x) × 8 x
_________________________
16 x
4
8 x + 24 x − 16 x ln x
16 x
4
32 x − 16 x ln x
16 x
4
16 x ( 2 − ln x)
___________
16 x
4
2 − ln x
x
3
f "(x) = 0 ⇔
2 − ln x
x
3
x > 0
2 − ln x = 0 ⇔ ln x = 2 ⇔ x = e
2
Dado que ∀ x ∈ ℝ
, x
3
0 , o sinal de f " depende apenas do sinal de 2 − ln x.
x
0 e
2
f " + 0 -
f
⌒
⌒
P.I.
O gráfico da função g tem a concavidade voltada para cima em ] 0 , e
2
[ e tem a concavidade vol-
tada para baixo em ] e
2
, + ∞[. O ponto de abcissa e
2
é um ponto de inflexão.
14.2. f (x) > f ( 2 x) ⇔
1 − 2 ln x
4 x
1 − 2 ln
2 x
__________
4 × ( 2 x)
∧ x > 0 ⇔
1 − 2 ln x
4 x
(× 2)
1 − 2 ln
2 x
__________
8 x
0 ∧ x > 0 ⇔
2 − 4 ln x − 1 + 2 ln
2 x
__________________
8 x
0 ∧ x > 0 ⇔
⇔ 1 − 4 ln x + 2 ln ( 2 x) > 0 ∧ x > 0 ⇔ − 4 ln x + 2 ln ( 2 x) > − 1 ∧ x > 0 ⇔
⇔ 2 ln x − ln
2 x
__
∧ x > 0 ⇔
⇔ lnx
2
− ln ( 2 x) <
__
∧ x > 0 ⇔
⇔ ln
x
2
___
2 x
__
∧ x > 0 ⇔ ln
x
__
__
∧ x > 0 ⇔
x __
< e
1 __
2
∧ x > 0 ⇔ x < 2 e
1 __
2
∧ x > 0 ⇔
⇔ x < 2
√
__
e ∧ x > 0 ⇔ x ∈ ] 0 , 2
√
__
e [
S =
]
√
__
e
[
15. g
x
= x × f
x
g'(x) =
[
x × f (x)
]
= x' × f (x) + x × f ' (x) = f (x) + x × f ' (x)
Se a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é paralela à reta tangente ao gráfico de g no
ponto de abcissa a , então as duas retas têm o mesmo declive, ou seja, f
(a) = g
(a).
Como g
x
= f
x
x
, então g
a
= f
a
a
f ' (a) = g'(a) ⇔ f ' (a) = f (a) + a × f ' (a) ⇔
⇔ f ' (a) − a × f ' (a) = f (a) ⇔
⇔ f
a
1 − a
= f
a
⇔ f (a) = ( 1 − a) × f ' (a)
CPEN-MA12 © Porto Editora
Prova-modelo 2
(Estrutura baseada naInformação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017)
Cotações
Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre-
sente sempre o valor exato.
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
- Considere os dois primeiros elementos e os dois últimos de uma certa linha do Triângulo de Pascal.
Sabe-se que o produto desses quatro elementos é igual a 441.
Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?
(A)
(B)
(C)
(D)
- Um saco tem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Extraem-se, ao acaso, duas dessas bolas e
multiplicam-se os respetivos números.
Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 12?
(A)
___
(B)
___
(C)
___
(D)
___
- Numa escola secundária, relativamente aos alunos do 12.° ano que realizaram o exame de Mate-
mática A no ano letivo anterior, verificou-se que:
- 96 % dos alunos com classificação positiva no exame de Matemática A obtiveram colocação no
ensino superior, na 1.ª opção de candidatura;
- 90 % dos alunos colocados no ensino superior na 1.ª opção de candidatura obtiveram classifica-
ção positiva no exame de Matemática A;
- quatro em cada cinco alunos foram colocados no ensino superior, na 1.ª opção de candidatura.
3.1. Escolhido um desses alunos ao acaso, qual é a probabilidade de ter obtido classificação po-
sitiva no exame de Matemática A?
3.2. Admita que dos alunos dessa escola colocados no ensino superior na 1.ª opção de candida-
tura apenas 16 não obtiveram positiva no exame de Matemática A.
Quantos alunos do 12.° ano realizaram o exame de Matemática A nessa escola?
- No referencial ortonormado xOy da figura está represen-
tada a elipse de centro na origem e focos E e F pertencen-
tes ao eixo Ox.
Tal como a figura sugere, a elipse interseta o eixo Ox nos
pontos A e C e o eixo Oy nos pontos B e D.
Sabe-se que
ED = 3 e
EF = 4.
Na unidade considerada e com arredondamento às décimas,
o perímetro do triângulo [DEC] é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
O
y
A E C
D
B
F
x
Provas-modelo
CPEN-MA12 © Porto Editora
Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
- Na figura está representado, no plano complexo, um segmento de reta.
Qual das condições seguintes pode definir, no conjunto dos números complexos ℂ , esse con-
junto de pontos?
(A)
Arg (z − 2 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
(B)
Arg (z − 2 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
√
__
(C)
Arg (z − 1 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
(D)
Arg (z − 1 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
√
__
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z =
( 2 − i)
3
− 9 i
31
____________
√
__
2 i
Determine as raízes cúbicas de z.
- Seja
x
n
a sucessão de termo geral x
n
n + 1
√
__
n
Seja f uma função de domínio ℝ
Sabe-se que lim f (x
n
Em qual das opções seguintes pode estar definida a função f?
(A)
D
f
= ℝ \
{
}
e f (x) = x
( e
1 __
x
) (B)
D
f
= ℝ \
{
}
e f (x) =
e
x
______
x
(C)
D
f
e f (x) =
ln (x + 1 )
_______
x
(D)
D
f
e f (x) =
ln x
x
- Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy ,
parte do gráfico de uma função polinomial f.
Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico tem abcissa 0.
Seja f " a segunda derivada de f e a um número real positivo.
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A)
f "(a) + f "( 0 ) > 0
(B)
f "(− a) + f "(a) = 0
(C)
f "(a) × f ( 0 ) > 0
(D)
f "(− a) × f "(a) ≤ 0
- Qual das expressões seguintes é o termo geral de uma progressão aritmética decrescente?
(A)
a
n
= log
3
n
(B)
b
n
= log
3
__
n
(C)
c
n
= e
3 n
(D)
d
n
= e
−
n __
3
- Considere a função f , de domínio ℝ , definida por:
f (x) =
⎪
⎪
k −
x
e
x + 3
se x < 0
3 ln (x + 1 ) + 2 x − 1 se x ≥ 0
(k é um número real)
12.1. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa − 3 passa na
origem do referencial.
Determine o valor de k.
O Re(z)
Im(z)
f
x
y
O
CPEN-MA12 © Porto Editora 343
Prova-modelo 2
12.2. Verifique se o gráfico da função f admite uma assíntota quando x → + ∞.
12.3. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão
no intervalo ]0 , + ∞ [.
- Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro O e
raio 1.
Sabe-se que:
- o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox ;
- o ponto B tem coordenadas (− 1 , 0) ;
- o ponto C pertence à circunferência;
- α é a amplitude, em radianos, do ângulo ABC , com α ∈
]
π __
[
Qual das expressões seguintes representa, em função de α ,
a área do triângulo [OCB]?
(A)
sin α
(B)
sin α cos α
(C)
sin ( 2 α )
(D)
cos ( 2 α )
________
- Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , a circunferência de centro na
origem do referencial e raio 1.
x
y
A
B
P
a
O
d
(
a
)
O ponto A é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox.
O ponto B tem coordenadas (1 , 1).
Considere que o ponto P , partindo do ponto A , se desloca sobre a circunferência, dando uma
volta completa no sentido positivo.
Para cada posição do ponto P , seja α a amplitude, em radianos, do ângulo AOP (
α ∈ [
0 , 2π [)
Seja d a função que, a cada valor de α , associa a distância, d ( α ) , do ponto P ao ponto B.
14.1. Mostre que d ( α ) =
√
________________
3 − 2 cos α − 2 sin α.
14.2. Estude a função d quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
- Calcule o valor de lim
x→ 1
(x − 1 )
x
2
− 1
Fim do Caderno 2
x
y
B A
C
O
a
Prova-modelo 2
CPEN-MA12 © Porto Editora 345
DE +
DF = 2 a ⇔
DE +
DE = 2 a ⇔
⇔ 3 + 3 = 2 a ⇔ a = 3
EF = 4 ⇔ 2 c = 4 ⇔ c = 2
a
2
= b
2
2
2
= b
2
2
⇔ b
2
= 9 − 4 ⇔ b =
√
__
Portanto,
OD = b =
√
__
5 e
OC = a = 3.
DC
2
OD
2
OC
2
DC
2
√
__
2
2
DC
2
DC =
√
___
Perímetro
[DEC]
DE +
EO +
OC +
DC = 3 + 2 + 3 +
√
___
√
___
Resposta: (A)
5. A (1 , 1 , 0)
5.1. P
AO = O − A = ( 0 , 0 , 0 ) − ( 1 , 1 , 0 ) = ( − 1 , − 1 , 0 )
AP = P − A = ( 2 , − 1 , 2 ) − ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , − 2 , 2 )
cos (O
ˆ
AP) = cos (
AO ,
AP ) =
AO ⋅
AP
_____________
‖
AO
‖
×
‖
AP
‖
__________________________
√
_______
1 + 1 + 0 ×
√
_______
________
√
__
2 ×
√
__
___
√
__
Se cos (O
ˆ
AP) =
___
√
__
, então O
ˆ
AP ≈ 76,4°.
5.2. C (x , x , 0) , x > 0
Seja E o centro da base da pirâmide.
O ponto E é o ponto médio de [AC] :
E
x + 1
x + 1
A altura da pirâmide é h =
EV.
O vértice V tem abcissa e ordenada iguais às de E :
V
x + 1
x + 1
, h
AC = C − A = (x , x , 0) − (1 , 1 , 0) = (x − 1 , x − 1 , 0)
AV = V − A =
x + 1
x + 1
, h
x + 1
x + 1
− 1 , h
x − 1
x − 1
, h
AC
AV = (x − 1 , x − 1 , 0)
x − 1
x − 1
, h
(x − 1 )
2
_______
(x − 1 )
2
_______
= 2 ×
(x − 1 )
2
_______
x − 1
2
AC
AV = 16 ⇔ (x − 1 )
2
x − 1
2
2
⇔ x − 1 = 4 ∨ x − 1 = − 4 ⇔
⇔ x = 5 ∨ x = − 3
Como x > 0 , temos x = 5 , pelo que C (5 , 5 , 0).
3
5
y
A E 2
O E C
D
B
F
3
x
Definição de elipse
‾ DF =
‾ DE
‾ ED = 3
y
x
B C
A D
V
O
z
h
E
Sugestão de resolução
CPEN-MA12 © Porto Editora
6. Seja x a abcissa do ponto B.
B (x , ln x) com x ∈
]
[
C pertence à reta de equação y = x e tem ordenada igual à de B porque, sendo [OABC] um paralelo-
gramo, a reta CB é paralela ao eixo Ox.
C (ln x , ln x)
BC =
|
x − ln x |
A altura do paralelogramo é igual a ln x , ordenada do ponto B.
A
[OABC]
= base × altura = |
x − ln x |
× ln x
Pretende-se resolver a equação: A
[
OABC ]
|
x − ln x
|
× ln x = 3.
Ao recorrer à calculadora gráfica obteve-se a abcissa do ponto de interseção do gráfico de
Y
1
|
x − ln x
|
× ln x com o gráfico de Y
2
x O
y
3,62 5
3
1
Y
Y
A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 3,.
Caderno 2
7. Arg (z − 2 ) =
3 π
|
z − 1 − i
|
⩽ 1 Arg (z − 2 ) =
3 π
|
z − 1 − i
|
√
__
0 1 x
y
0
1
x
y
Arg (z − 1 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
⩽ 1 Arg (z − 1 ) =
3 π
|
z − 1 − i |
√
__
0 1 x
y
0
1
x
y
Resposta: (A)
8. z =
( 2 − i)
3
− 9 i
31
____________
√
__
2 i
( 2 − i)
2
× ( 2 − i) − 9 i
4 × 7 + 3
_________________________
√
__
2 i
( 4 − 4 i + i
2
) ×
2 − i
− 9 i
3
_______________________
√
__
2 i
3 − 4 i
2 − i
_______________
√
__
2 i
6 − 3 i − 8 i − 4 + 9 i
√
__
2 i
2 − 2 i
√
__
2 i
2 ( 1 − i)
________
√
__
2 i
( 1 − i ) (−
√
__
2 i)
____________
√
__
2 i (−
√
__
2 i)
√
__
2 i −
√
__
_______
√
__
__
√
__
__
i = e
i
(
−
3 π
4
)
Sugestão de resolução
CPEN-MA12 © Porto Editora
10. Sabe-se que f é uma função duas vezes diferenciável em ℝ (função polinomial) e que o seu gráfico tem
a concavidade voltada para baixo em ] − ∞ , 0 [ e a concavidade voltada para cima em ] 0 , + ∞ [.
Logo, ∀ x ∈ ]
[
, f "(x) ≤ 0 e ∀ x ∈
]
[
, f "(x) ≥ 0.
Então, f "(− a) ≤ 0 , f "( 0 ) = 0 e f "(a) ≥ 0.
Da observação do gráfico também se pode concluir que f
Assim:
- Se f "( 0 ) = 0 e f "(a) ≥ 0 , então f "(a) + f "( 0 ) ≥ 0. (a opção (A) é falsa)
- f
a
≤ 0 e f
a
≥ 0 não garante que f
a
a
= 0 (a opção (B) é falsa)
- Como f ( 0 ) > 0 e f "(a) ≥ 0 , então f "(a) × f ( 0 ) ≥ 0. (a opção (C) é falsa)
- Se f "(− a) ≤ 0 e f "(a) ≥ 0 , então f "(− a) × f "(a) ≤ 0. (a opção (D) é verdadeira)
Resposta: (D)
11. a
n
= log
3
n
a
n + 1
− a
n
= log
3
n + 1
− log
3
n
= log
3
n + 1
______
n
= log
3
(
a
n)
é uma progressão aritmética de razão r = log
3
- Como r > 0 , a
n + 1
n
0 , ∀ n ∈ ℕ , pelo que a
progressão aritmética é crescente.
b
n
= log
3
(
__
n
= log
3
− n
b
n + 1
− b
n
= log
3
− (n + 1 )
− log
3
− n
= log
3
− n − 1
______
− n
= log
3
− 1
= − log
3
(
b
n
)
é uma progressão aritmética de razão r = − log
3
- Como r < 0 , b
n + 1
n
< 0 , ∀ n ∈ ℕ , pelo que
a progressão aritmética é decrescente.
Resposta: (B)
12. f (x) =
⎪
⎪
k −
x
e
x + 3
se x < 0
3 ln
x + 1
12.1. Seja y = mx + b a equação reduzida da reta t , tangente ao gráfico da função f , no ponto de
abcissa − 3.
Sabemos que m = f
e b = 0 , dado que a reta t passa na origem do referencial.
Em ]
[
f '(x) =
k −
x
e
x + 3
x
e
x + 3
− x (e
x + 3
_______________
(e
x + 3
2
e
x + 3
− x e
x + 3
___________
(e
x + 3
2
e
x + 3
( 1 − x)
__________
(e
x + 3
2
x − 1
e
x + 3
m = f
_______
e
− 3 + 3
____
e
0
f
= k −
_____
e
− 3 + 3
= k +
__
e
0
= k + 3
Ponto de tangência: (− 3 , k + 3 )
Equação reduzida da reta t : y = − 4 x ( m = − 4 e b = 0 )
O ponto de tangência de coordenadas (− 3 , k + 3 ) pertence à reta de equação y = − 4 x.
Portanto:
k + 3 = − 4 ×
⇔ k = 12 − 3 ⇔ k = 9
Prova-modelo 2
CPEN-MA12 © Porto Editora 349
12.2. Seja y = mx + b a equação reduzida da assíntota ao gráfico da função f quando x → + ∞ , caso
exista.
m = lim
x → + ∞
f (x)
____
x
= lim
x → + ∞
3 ln (x + 1 ) + 2 x − 1
______________
x
= lim
x → + ∞
(
3 ln (x + 1 )
________
x
2 x
x
__
x
)
= lim
x → + ∞
3 ln (x + 1 )
________
x
x→ + ∞
__
x
= 3 lim
x→ + ∞
ln (x + 1 )
_______
x
(
∞__
∞
)
= 3 lim
x→ + ∞
ln
[
x
__
x
)]
____________
x
= 3 lim
x→ + ∞
ln x + ln
__
x
_____________
x
[
lim
x → + ∞
ln x
x
x→ + ∞
ln
__
x
_________
x
]
= 3 ×
ln 1
b = lim
x → + ∞
[f
x
− mx] = lim
x → + ∞
[ 3 ln
x + 1
+ 2 x − 1 − 2 x] =
= lim
x → + ∞
[
3 ln (x + 1 ) − 1
]
Como b ∉ ℝ , o gráfico da função f não admite assíntota quando x → + ∞.
12.3. Em ]
[
, temos:
f
x
= [ 3 ln
x + 1
+ 2 x − 1 ]
= 3 [ln
x + 1
]
2 x − 1
= 3 ×
(x + 1 )
______
x + 1
____
x + 1
f
x
____
x + 1
_______
x + 1
2
_______
x + 1
2
_______
x + 1
2
< 0 , ∀x ∈ ] 0 , + ∞[
Como f "(x) < 0 , ∀x ∈
]
[
, podemos concluir que o gráfico da função f tem a concavidade
voltada para baixo em ]
[
. Logo, o gráfico da função f não tem pontos de inflexão neste
intervalo.
13. Se A B
C = α , então AO
C = 2 α.
CD = sin ( 2 α )
A
[OCB]
BO ×
CD
________
1 × sin
2 α
___________
2 sin α cos α
= sin α cos α
Resposta: (B)
x
y
B D A
C
O
a
2 a
