Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Cálculo 4 ECA-EMECA - 2022/01 Prova 1
Prof.
Rildo Soares
Nome completo:
Duração da prova: 2 horas. Data: 25/05/2022
O aluno deverá desenvolver
APENAS CINCO
questões da prova.
ATENÇÃO:
Todos os raciocínios, contas, resultados matemáticos usados na resolução
da prova, devem aparecer na prova! Sob pena da questão não ser considerada. Onde
estiver escrito MOSTRE ou PROVE, você deve mostrar ou provar. Onde estiver escrito
calcule, basta calcular. C-R :
ux=vy
e
uy=−vxf(z0) = 1
i2πHC
f(z)
z−z0dz
Nota
1.
[2.0 pt] Determine o domínio da função complexa:
a)(1,0)
f(z) = z2
z4+1
;b)(1,0)
f(z) = √z2−1
z4+(4−2i)z2−8i
.
2.
[2.0 pt] (Sem usar L'Hospital) Calcule os limites:
a)(1,0)
lim
z→2i
z2+ (1 −2i)z−2i
z4+ (4 −2i)z2−8i
;b)(1,0)
lim
z→π
2
eiz +e−iz
sen(2z)
;
3.
[2.0 pt] Diga se as funções abaixo são harmônicas:
a)(1,0)
u(x, y) = ecos(x2+y2)
b)(1,0)
v(x, y) = −y
x2+y2
4.
[2.0pt] Verique onde as funções abaixo são analíticas.
a)(1,0)
f(z) = sen(¯z)
; b)(1,0)
f(x+iy) = x3+i(1 −y)3
5.
[2.0pt] Para a função complexa a seguir determine seu domínio e encontre
f0(i)
.
f(z) = 4z+ 1
z3−z
6.
[2.0pt] Para as funções abaixo verique se são harmônicas e, em caso positivo encontre suas
conjugadas harmônicas.
a)(1,0)
u(x, y)=3x2y+ 2x2−y3−2y2
b)(1,0)
v(x, y) = ln(x2+y2)
7.
[2.0pt] Calcule as integrais abaixo:
a)(1,0)
IC
z2+ 3
z−idz
onde
C
é o caminho
z(t) = i+eit
com
0≤t≤2π
b)(1,0)
IC
z
z2+ 1dz
onde
C
é o caminho
z(t)=2eit
com
0≤t≤2π
1