UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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Glitch 1
Glitch 2
NOTA
Introdução a Teoria da Medida e Integração - Quarta Prova - 09/04/2019
Aluno(a):
Professor(a): Rafael Lucena
1. (4,0)
(a) Sejam
µ
e
ν
medidas
σ
-nitas em
(X, X)
. Suponha que
ν << µ
e seja
f:= dν
dµ
. Prove
que se
g∈M+(X, X)
, então
Rgdν =Rgf dµ;
(b) Suponha que
ν << λ
e
λ << µ
. Prove que,
dν
dµ =dν
dλ
dλ
dµ, µ −
qtp
.
(c) Suponha que
νi<< µ
,
i= 1,2
. Prove que
d(ν1+ν2)
dµ =dν1
dµ +dν2
dµ , µ −
qtp
.
2. (3,0) Enuncie e prove o Teorema de Extensão de Carathéodory.
3. (3,0)
(a) Denote por
F
a coleção de todos as uniões nitas de conjuntos da forma
(a, b]
,
(−∞, b]
,
(a, +∞)
e
(−∞,+∞)
e
l:F←→ R
a função comprimento. Mostre que
F
é uma
álgebra e
l
é uma medida nesta álgebra.
(b) Dena a Medida de Lebesgue.
Não quer resolver
uma
das duas últimas? Seja um bom Glitcher...
Glicth 1
(1,0) Mostre que se
RAgdµ =RAf dµ
vale para todo mensurável
A
, então
f=g µ
-qtp.
Glicth 2
(2,0) Sejam
(T, µ)
um sistema não-singular (
T∗µ << µ
) e
PT:L1−→ L1
o único
operador linear que satisfaz a seguinte relação: para toda
φ∈L1
e para toda
ψ∈L∞
Zψ·PT(φ)dµ =Zψ◦T·φdµ.
Mostre que, se
f∈L1
então
PT(f) := d(T∗(fµ))
dµ .
RAgdµ =RAf dµ
vale para todo mensurável
A
, então
f=g µ
-qtp.
Boa Prova!