UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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NOTA
Introdução a Teoria da Medida e Integração - Primeira Prova - 20/12/2018
Aluno(a):
Professor(a): Rafael Lucena
Lembre que estamos denotando a
σ
-álgebra gerada pelos intervalos abertos,
(a, b)
, de
R
por
B
e estamos chamando esta coleção de
σ
-álgebra de Borel de
R
.
1. (a) Dena
σ
-álgebra;
(b) Dê um exemplo não trivial (conjunto das partes e
{∅, X}
) de
σ
-álgebra, provando
cada item da denição;
(c) Dena
σ
-álgebra gerada por uma coleção de subconjuntos
A 6=∅
de um conjunto
X
.
Neste caso, mostre que a
σ
-álgebra gerada é uma coleção não vazia e que este conceito
é um caso particular de
σ
-álgebra.
2. Seja
C
a
σ
-álgebra gerada pelos intervalos fechados
[a, b]⊂R
. Mostre que
B=C
.
3. Suponha que
f:X−→ R
é uma função
X
-mensurável. Dena a função
fc:X−→ R
por
fc(x) = f(x)
se
|f(x)| ≤ c
,
fc(x) = c
se
f(x)> c
e
fc(x) = −c
se
f(x)<−c
. Prove que
fc
é
X
-mensurável.
4. Suponha que
f:X−→ R
é uma função
X
-mensurável e
φ:R−→ R
uma função
B
-
mensurável. Mostre que
φ◦f
é
X
-mensurável.
5. Prove que se
f:X−→ R
é uma função
X
-mensurável não-negativa. Então existe uma
sequência de funções
{φn}nX
-mensuráveis e não-negativas tais que:
(a)
0≤φn≤φn+1 ∀n
;
(b)
f(x) = limnφn(x)∀x
;
(c) Cada
φn
assume apenas um número nito de valores.
Boa Prova!