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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ATICA EM REDE NACIONAL´
ENQ – 2022.1 – Gabarito
Quest˜ao 01 [ 1,25 ::: (a)=0,25; (b)=0,25; (c)=0,75 ]
As equa¸c˜oes x^4 + bx^2 + c = 0 e x^3 + x^2 − 37 x + 35 = 0 possuem duas ra´ızes distintas comuns.
(a) Determine as ra´ızes da segunda equa¸c˜ao.
(b) Mostre que se α ´e raiz da primeira equa¸c˜ao ent˜ao −α tamb´em o ´e.
(c) Determine todos os poss´ıveis valores de b e c na primeira equa¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
(a) Na segunda equa¸c˜ao, come¸camos observando que uma das ra´ızes ´e igual `a 1:
1 + 1 − 37 + 35 = 0
Escrevendo x^3 + x^2 − 37 x + 35 = (x − 1)(x^2 + 2x − 35) tem-se que x^3 + x^2 − 37 x + 35 = 0 ⇐⇒ x = 1 ou x^2 + 2x − 35 = 0
Portanto, as ra´ızes s˜ao x = 1, 5 , −7.
(b) Suponha α raiz da primeira equa¸c˜ao, isto ´e, α^4 + bα^2 + c = 0.
Como (−α)^4 + b(−α)^2 + c = α^4 + bα^2 + c = 0, conclu´ımos que −α tamb´em ´e uma raiz.
(c) Como as equa¸c˜oes possuem duas ra´ızes comuns, vamos analisar as trˆes possibilidades:
(1) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e 5. Neste caso, usando o item (b) as ra´ızes da primeira equa¸c˜ao s˜ao: 1, − 1 , 5 , −5 e assim
x^4 + bx^2 + c = 0 = (x − 1)(x + 1)(x − 5)(x + 5) = (x^2 − 1)(x^2 − 25) = x^4 − 26 x^2 + 25
Portanto, b = −26 e c = 25.
(2) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e −7. Neste caso,
x^4 + bx^2 + c = 0 = (x − 1)(x + 1)(x − 7)(x + 7) = (x^2 − 1)(x^2 − 49) = x^4 − 50 x^2 + 49
Portanto, b = −50 e c = 49.
(3) As ra´ızes comuns s˜ao 5 e −7. Neste caso,
x^4 + bx^2 + c = 0 = (x − 5)(x + 5)(x − 7)(x + 7) = (x^2 − 25)(x^2 − 49) = x^4 − 74 x^2 + 1225 Portanto, b = −74 e c = 1225.
Soluc˜ao alternativa – item (c)
(1) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e 5. Neste caso tem-se que { 1 + b + c = 0 54 + 52 b + c = 0 Resolvendo o sistema, segue que 624 + 24b = 0, logo b = −26 e da´ı c = 25.
(2) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e −7. Neste caso tem-se que { 1 + b + c = 0 74 + 72 b + c = 0
Resolvendo o sistema, segue que 2400 + 48b = 0, logo b = −50 e da´ı c = 49.
(3) As ra´ızes comuns s˜ao 5 e −7. Neste caso tem-se que { 54 + 52 b + c = 0 74 + 72 b + c = 0
Resolvendo o sistema, segue que (2401 − 625) + (49 − 25)b = 0, logo b = −74 e da´ı c = 1225.
Solu¸c˜ao Alternativa – item (c)
(1) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e 5. Neste caso tem-se que 1 e 25 s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao y^2 + by + c = 0, ou seja, b = −26 e c = 25.
(2) As ra´ızes comuns s˜ao 1 e −7. Assim tem-se que 1 e 49 s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao y^2 + by + c = 0, ou seja, b = −50 e c = 49.
(3) As ra´ızes comuns s˜ao 5 e −7. Logo tem-se que 25 e 49 s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao y^2 + by + c = 0, ou seja, b = −74 e c = 1225.
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) Determinar as trˆes ra´ızes. [0,25] (b) Provar o resultado. [0,25] (c) • Escrever as trˆes possibilidades para as ra´ızes da primeira equa¸c˜ao. [0,25]
- Determinar os valores de b e c. [0,5]
Quest˜ao 03 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
(a) Sejam x e y n´umeros reais.
Prove que
x^2 + y^2 >
|x + y|
e que a igualdade ´e verificada se, e somente se, x = y.
(b) Sejam a e b reais tais que a + b = 1.
Determine os valores de a e b tais que
(a − 9)^2 + (b − 13)^2 tem o menor valor poss´ıvel.
Solu¸c˜ao
(a) As seguintes desigualdades s˜ao todas equivalentes: √ x^2 + y^2 > |x + y| √ 2
x^2 + y^2 > |x + y| ⇐⇒ 2(x^2 + y^2 ) > |x + y|^2 ⇐⇒ 2 x^2 + 2y^2 > x^2 + 2xy + y^2 ⇐⇒ x^2 − 2 xy + y^2 > 0 ⇐⇒ (x − y)^2 > 0.
Como a ´ultima ´e sempre satisfeita, quaisquer que sejam x e y reais, a primeira ´e verdadeira. Al´em disso, √ x^2 + y^2 = |x (^) √+ y| 2
⇐⇒ (x − y)^2 = 0 ⇐⇒ x = y.
(b) Sejam a, b tais que a + b = 1. Pelo item anterior, com x = a − 9 e y = b − 13, √ (a − 9)^2 + (b − 13)^2 > |(a^ −^ 9) + (√b^ −^ 13)| 2
= |a^ +^ √b^ −^22 | 2
= √^21
Ainda pelo item anterior, sabemos que h´a igualdade se, e somente se, a − 9 = b − 13, ou seja, a − b = −4. Da´ı, { a + b = 1 a − b = − 4
=⇒ a = − 3 2 , b =^5 2
Assim, para estes valores de a e b, a express˜ao atinge seu valor m´ınimo.
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Provar a desigualdade. [0,25]
- Provar a igualdade. [0,25] (b) • Mostrar que possui m´ınimo ou calcular o valor m´ınimo. [0,5]
- Determinar os valores de a e b. [0,25]
Quest˜ao 04 [ 1,25 ::: (a)=0,75; (b)=0,50 ]
Nos dois casos abaixo, demonstre a conhecida rela¸c˜ao m´etrica P A · P B = P C · P D, tamb´em chamada de “potˆencia
de ponto no c´ırculo”:
(a) P exterior ao c´ırculo (Figura 1).
(b) P interior ao c´ırculo (Figura 2).
Solu¸c˜ao
(a) Tra¸cando os segmentos AD e BC, conforme a figura abaixo, obtemos os triˆangulos AP D e CP B, os quais s˜ao semelhantes pelo caso de semelhan¸ca AA (ˆangulo-ˆangulo), j´a que o ˆangulo de medida α ´e comum e os ˆangulos de medida β s˜ao congruentes, j´a que ambos s˜ao ˆangulos inscritos na circunferˆencia e subtendem o mesmo arco AC.
Logo,
P A
P C
P D
P B
e assim P A · P B = P C · P D, como quer´ıamos demonstrar.
(b) Tra¸cando os segmentos AC e BD, conforme a figura abaixo, obtemos os triˆangulos AP C e DP B, os quais s˜ao semelhantes pelo caso de semelhan¸ca AA (ˆangulo-ˆangulo), j´a que os ˆangulos de medida α s˜ao congruentes, j´a que s˜ao opostos pelo v´ertice, e os ˆangulos de medida β s˜ao congruentes, j´a que ambos s˜ao ˆangulos inscritos na circunferˆencia e subtendem o mesmo arco BC.
Quest˜ao 06 [ 1,25 ::: (a)=0,75; (b)=0,50 ]
Consideremos o n´umero de Fermat Fn = 2(
n)
+ 1, onde n ´e um n´umero natural.
(a) Mostre que se m < n, ent˜ao Fm divide Fn − 2.
(b) Mostre que se m 6 = n, ent˜ao Fm e Fn s˜ao primos entre si.
Solu¸c˜ao
(a) Suponha m < n. Considere r = n − m > 0, logo n = m + r.
Segue que Fn = 2(
n)
r+m)
r 2 m)
m )^2
r
Fn − 2 = (2^2
m )^2
r − 1 onde 2r^ ´e um n´umero par.
Portanto, Fm = 2( m)
- 1 divide (2( m) )^2 r − 1 = Fn − 2.
(b) Suponha m 6 = n e, sem perda de generalidade, m < n.
Tem-se que (Fm, Fn) = (Fm, Fn − 2 + 2). Como Fm divide Fn − 2, segue que Fn − 2 = kFm, com k inteiro.
Portanto, (Fm, Fn) = (Fm, Fn − 2 + 2) = (Fm, kFm + 2) = (Fm, 2) = (2( m)
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Escrever Fn = (2^2 m )^2 r
- Escrever que Fn − 2 = (2^2 m )^2 r − 1 e concluir que Fm divide Fn − 2. [0,5] (b) • Escrever (Fm, Fn) = (Fm, Fn − 2 + 2) = (Fm, kFm + 2).[0,25]
- Concluir que (Fm, Fn) = (Fm, 2) = (2(
m)
Quest˜ao 07 [ 1,25 ]
Um s´olido ´e produzido a partir de um cubo de madeira com 2cm de aresta, retirando-se um tetraedro a partir de
cada v´ertice do cubo, como mostrado na figura abaixo. Seis faces do s´olido resultante s˜ao oct´ogonos regulares, e as
outras oito faces s˜ao triˆangulos equil´ateros.
Calcule o volume do s´olido.
Solu¸c˜ao
Na figura abaixo temos a vista frontal do s´olido. Nela, as partes pontilhadas correspondem aos cantos que foram retirados.
Chamando de a a medida dos lados do oct´ogono regular e de x a medida das arestas laterais dos tetraedros que foram retirados, conclu´ımos que a + 2x = 2, j´a que a aresta do cubo mede 2 cm.
Considerando os triˆangulos retˆangulos is´osceles de hipotenusa a e catetos x que aparecem na figura, conclu´ımos, a partir do teorema de Pit´agoras, que a^2 = 2x^2 , logo a = x
Como a + 2x = 2, temos ent˜ao x
2 + 2x = 2, logo x(2 +
- = 2 e ent˜ao
x =
Da forma como foram obtidos, os tetraedros tˆem como faces trˆes triˆangulos retˆangulos is´osceles de catetos medindo x e hipotenusa medindo a e um triˆangulo equil´atero de medida a. Se considerarmos um dos triˆangulos retˆangulos is´osceles como
base, a ´area da base do tetraedro ser´a dada por x
2 2
e a altura por x. Portanto, o volume deste tetraedro ´e x
3 6
Quest˜ao 08 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
Um prˆemio ´e oferecido a um jogador pelo lan¸camento de um dado n˜ao viciado, com as seguintes regras:
- Se o resultado for 1, o jogador ganha 1 ponto.
- Se o resultado for 2 ou 3, o jogador ganha 2 pontos.
- Se o resultado for 4, 5 ou 6, n˜ao obt´em pontua¸c˜ao.
- Os pontos v˜ao se somando a cada jogada.
- O prˆemio ´e entregue assim que o jogador conseguir obter exatamente 3 pontos e o jogo ´e encerrado.
(a) Determine a probabilidade de se ganhar o prˆemio na segunda jogada.
(b) Determine a probabilidade de se ganhar o prˆemio apenas na terceira jogada.
Solu¸c˜ao
(a) H´a duas maneiras de obter 3 pontos na segunda jogada:
- fazer 1 ponto na primeira e 2 pontos na segunda jogada cuja probabilidade ´e
- fazer 2 pontos na primeira e 1 ponto na segunda jogada cuja probabilidade ´e
Logo a probabilidade de se ganhar o prˆemio na segunda jogada ´e igual a
(b) Para facilitar a escrita considere a terna (a, b, c), onde a indica a pontua¸c˜ao na primeira jogada, b na segunda e c na terceira.
H´a cinco maneiras de obter 3 pontos exatamente na terceira jogada:
- (0, 1 , 2) cuja probabilidade ´e^3 6
- (0, 2 , 1) cuja probabilidade ´e
- (1, 0 , 2) cuja probabilidade ´e
- (2, 0 , 1) cuja probabilidade ´e
- (1, 1 , 1) cuja probabilidade ´e
Portanto a probabilidade de se ganhar o prˆemio exatamente na terceira jogada ´e igual a 4 ·
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Determinar as duas probabilidades para se obter 3 pontos. [0,25]
- Calcular a probabilidade para se obter 3 pontos na segunda jogada. [0,25] (b) • Determinar as cinco possibilidades para se obter 3 pontos exatamente na terceira jogada. [0,50]
- Calcular a probabilidade para se obter 3 pontos exatamente na terceira jogada. [0,25]
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ATICA EM REDE NACIONAL´
ENQ – 2021.2 – Gabarito
Quest˜ao 01 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
(a) Prove que 10n^ − 1 ´e divis´ıvel por 9, para todo n > 1.
(b) Use o item (a) para provar o seguinte crit´erio de divisibilidade por 9: “Um n´umero natural ´e divis´ıvel por 9 se,
e somente se, a soma dos seus algarismos for divis´ıvel por 9”.
Observa¸c˜ao: Lembre-se que todo n´umero natural a pode ser representado no sistema decimal por
a = am · 10 m^ + · · · + a 2 · 102 + a 1 · 10 + a 0 , em que m ∈ N e am 6 = 0.
Solu¸c˜ao
(a) O resultado vale ser´a provado por indu¸c˜ao em n. Para n = 1, pois 10^1 − 1 = 9 ´e divis´ıvel por 9. Suponha que o resultado vale para k > 1, ou seja, que existe inteiro tal que 10k^ − 1 = 9. Assim, 10k^ = 9+ 1. Para k + 1 temos que 10k+1^ − 1 = 10 · 10 k^ − 1 = 10 · (9 + 1) − 1 = 9 · (10` + 1) e, assim, segue o resultado pelo princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica.
(b) Sejam a = am · 10 m^ + · · · + a 1 · 10 + a 0 e S = am + · · · + a 1 + a 0 a soma dos algarismos de a. Note que a−S = a−(am +· · ·+a 1 +a 0 ) = am · 10 m^ +· · ·+a 1 ·10+a 0 −(am +· · ·+a 1 +a 0 ) = am ·(10m^ −1)+· · ·+a 1 ·(10^1 −1). Pelo item (a), sabemos que que 10k^ − 1 ´e m´ultiplo de 9, para todo k > 1. Da´ı, conclu´ımos que a − S = 9q. Desta igualdade segue o crit´erio de divisibilidade por 9:
Se a = 9r, ent˜ao S = 9r − 9 q = 9(r − q). Reciprocamente, se S = 9p, ent˜ao a = 9p + 9q = 9(p + q).
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Fazer o caso n = 1 e/ou escrever/citar a hip´otese de indu¸c˜ao. [0,25]
- Fazer o passo indutivo e concluir o resultado. [0,25] (b) • Desenvolver a diferen¸ca a − S. [0,25]
- Usar o item (a) para concluir que a − S ´e m´ultiplo de 9. [0,25]
- Mostrar que o fato anterior implica o crit´erio pedido. [0,25] Solu¸c˜ao Alternativa (a) Sabemos que 10 ≡ 1 mod 9. Logo, para qualquer n > 1, temos 10n^ ≡ 1 mod 9, ou seja, 10n^ − 1 ´e divis´ıvel por 9. (b) Seja a = am · 10 m^ + · · · + a 1 · 10 + a 0. Para cada k = 0, ..., m temos
10 k^ ≡ 1 mod 9 ⇐⇒ ak · 10 k^ ≡ ak mod 9
Somando as congruˆencias acima para todo k = 0, ..., m:
am · 10 m^ + · · · + a 1 · 10 + a 0 ≡ am + · · · + a 1 + a 0 mod 9 Ou seja, a ≡ am + · · · + a 1 + a 0 mod 9 o que ´e equivalente a dizer que a e am + · · · + a 0 deixam o mesmo resto na divis˜ao por 9. Da´ı, um deles ´e m´ultiplo de 9 (congruente a 0 mod 9) se, e somente se, ou outro for.
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) Usar que 10 ≡ 1 mod 9 para concluir o item. [0,5] (b) • Usar o item (a) e deduzir que ak · 10 k^ ≡ ak mod 9. [0,25]
- Concluir que a e am + · · · + a 1 + a 0 s˜ao congruentes m´odulo 9. [0,25]
- Mostrar que o fato anterior ´e equivalente ao crit´erio enunciado. [0,25]
Quest˜ao 03 [ 1,25 ]
Considere um triˆangulo ABC de lados a, b e c, conforme a figura, e seja r o raio do c´ırculo circunscrito a este triˆangulo.
Prove a lei dos senos:
a
sen Aˆ
b
sen Bˆ
c
sen Cˆ
= 2r
Solu¸c˜ao Considere o triˆangulo BCD, constru´ıdo de tal modo que BD seja um diˆametro, conforme a figura. Evidentemente os ˆangulos Aˆ e Dˆ s˜ao congruentes, j´a que ambos est˜ao inscritos na circunferˆencia e determinam o mesmo arco. Como o triˆangulo BCD ´e reto em C, j´a que est´a inscrito em uma semicircunferˆencia, ent˜ao
sen Aˆ = sen Dˆ = a 2 r
Procedendo do mesmo modo com rela¸c˜ao aos ˆangulos Bˆ e Cˆ conclu´ımos que
sen Bˆ = b 2 r e sen Cˆ = c 2 r
Isolando 2r nas trˆes equa¸c˜oes obtidas anteriormente chegamos a
a sen Aˆ
b sen Bˆ
c sen Cˆ
= 2r,
provando assim a lei dos senos, como era nossa inten¸c˜ao.
Pauta de Corre¸c˜ao:
- Construir o triˆangulo inscrito na semicircunferˆencia. [0, 25]
- Argumentar que ˆangulos inscritos que determinam o mesmo arco s˜ao congruentes. [0, 25]
- Argumentar que todo triˆangulo inscrito em uma semicircunferˆencia ´e retˆangulo. [0, 25]
- Encontrar a rela¸c˜ao sen Aˆ = a 2 r ou uma de suas equivalentes para Bˆ ou Cˆ. [0, 25]
- Argumentar que o procedimento para os outros dois ˆangulos ´e an´alogo e finalizar a prova. [0, 25]
Quest˜ao 04 [ 1,25 ]
Sabendo que cos(3x) = 4 cos^3 x − 3 cos x e que 54◦^ + 36◦^ = 90◦, calcule sen (18◦).
Solu¸c˜ao Tomando x = 18◦^ e usando o fato de que cos (54◦) = sen (36◦),
cos (54◦) = 4 cos^3 (18◦) − 3 cos (18◦),
sen (36◦) = 4 cos^3 (18◦) − 3 cos (18◦). como sen (36◦) = 2sen (18◦) cos (18◦), teremos
2 sen (18◦) = 4 cos^2 (18◦) − 3. Seja y = sen (18◦), temos ent˜ao que,
4 y^2 + 2y − 1 = 0, donde y =
ou seja sen (18◦) =
Pauta de Corre¸c˜ao:
- Escrever que cos (54◦) = sen (36◦). [0,25]
- Concluir que sen (36◦) = 4 cos^3 (18◦) − 3 cos (18◦). [0,25]
- Escrever que sen (36◦) = 2sen (18◦) cos (18◦). [0,25]
- Concluir que 2 sen (18◦) = 4 cos^2 (18◦) − 3 , ou equivalente. [0,25]
- Concluir que sen (18◦) =
. [0,25]
Quest˜ao 06 [ 1,25 ]
Dois triˆangulos ABC e BCD s˜ao is´osceles, retˆangulos em B e contidos em planos perpendiculares, conforme figura.
Determine o volume do s´olido ABCD em fun¸c˜ao da medida a do segmento AB.
Solu¸c˜ao O s´olido ABCD ´e uma pirˆamide, conforme figura abaixo.
As retas BA e BD s˜ao perpendiculares `a reta BC de interse¸c˜ao entre os planos, assim, o ˆangulo A BDˆ entre essas retas define o ˆangulo entre os planos. Como ´e dito que os planos s˜ao perpendiculares, temos ent˜ao que A BDˆ = 90◦. Com isso, BD ´e perpendicular ao plano da base ABC.
Tomando ABC como base da pirˆamide, a altura da pirˆamide relativa `a base ABC ser´a o segmento BD.
Observe que o triˆangulo ABC ´e retˆangulo is´osceles, logo BC = AB = a e a ´area do triˆangulo ABC ´e dada por
S =
a · a 2
a^2 2
Como BD ´e congruente a AB, temos tamb´em BD = a, logo a altura da pirˆamide relativa `a face ABC ´e a. Assim, o volume da pirˆamide ABCD ´e dado por
V =^1 3 S · h =^1 3 · a
2 2 · a = a
3 6
Pauta de Corre¸c˜ao:
- Considerar (escrever ou esbo¸car) a base ABC e a altura BD (ou outra configura¸c˜ao equivalente) [0,25]
- Justificar o fato de BD ser altura relativa `a base ABC [0,25]
- Calcular a ´area da base [0,5]
- Obter o volume final correto [0,25]
Quest˜ao 07 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,50; (c)=0,25 ]
Um dado n˜ao viciado ´e lan¸cado duas vezes. Neste contexto, em cada item abaixo, calcule a probabilidade de:
(a) a soma dos n´umeros obtidos ser um n´umero ´ımpar.
(b) obter dois n´umeros menores do que 3.
(c) obter dois n´umeros pares.
Solu¸c˜ao O espa¸co amostral ´e formado por todos os pares de resultados poss´ıveis. Como em cada lan¸camento h´a 6 possibilidades, o n´umero de casos poss´ıveis ´e 6 · 6 = 36, todos com a mesma possibilidade de ocorrˆencia.
(a) No primeiro lan¸camento temos 6 possibilidades. Para cada escolha, como a paridade no segundo lan¸camento tem que ser diferente, temos 3 possibilidades, logo 18 casos favor´aveis. Portanto, a probabilidade, neste caso, ´e igual a
(b) No primeiro lan¸camento temos 2 possibilidades e no segundo tamb´em 2 possibilidades, logo 4 casos favor´aveis. Portanto, a probabilidade, neste caso, ´e igual a 4 36
=^1
(c) No primeiro lan¸camento temos 3 possibilidades e no segundo tamb´em 3 possibilidades, logo 9 casos favor´aveis. Portanto, a probabilidade, neste caso, ´e igual a 9 36
=^1
Pauta de Corre¸c˜ao:
- Responder o item (a). [0,5]
- Responder o item (b). [0,5]
- Responder o item (c). [0,25]
Quest˜ao 08 [ 1,25 ]
Determine o resto da divis˜ao por 19 do n´umero
S = 1^18 + 2^18 + 3^18 + · · · + 95^18.
Solu¸c˜ao
Pelo Pequeno Teorema de Fermat tem-se, para todo inteiro a tal que (a, 19) = 1, que
a^18 ≡ 1 mod 19
Por outro lado, se (a, 19) 6 = 1 ent˜ao 19|a e neste caso
a^18 ≡ 0 mod 19
Como temos cinco m´ultiplos de 19 entre 1 e 95: 1 · 19 , 2 · 19 , 3 · 19 , 4 · 19 e 5 · 19 = 95, concluimos que
S ≡ 1 + 1 + · · · + 1 = 90 mod 19
Portanto, S ≡ 14 mod 19
e o resto ´e igual a 14.
Pauta de Corre¸c˜ao:
- Usar o Pequeno Teorema de Fermat, no caso (a, 19) = 1. [0, 25]
- Observar o caso em que 19|a. [0, 25]
- Determinar a quantidade de m´ultiplos de 19.[0, 25]
- Concluir que S ≡ 90 mod 19. [0, 25]
- Determinar o resto. [0, 25]
[02] [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
O cubo ABCDEF GH da figura tem aresta igual a a. Os pontos M , N e P s˜ao os centros das faces AF ED, DEHC
e CBGH, respectivamente.
(a) Determine o ˆangulo entre as faces M P A e M P N do tetraedro AM P N.
(b) Determine o volume do tetraedro AM P N.
Solu¸c˜ao
(a) Como M , N e P s˜ao os centros das faces do quadrado em que est˜ao, o plano contendo a face M N P do tetraedro ´e paralelo `as faces ABCD e F GHE do cubo, cortando as arestas AF , BG, DE e CH em seus pontos m´edios.
Pelo mesmo motivo, o segmento P B ´e paralelo a AM e ent˜ao o plano contendo a face AM P cont´em tamb´em o ponto B. Mais do que isto, ele ´e o plano contendo as arestas AB e EH do cubo.
Estes dois planos est˜ao representados na figura abaixo, na qual I ´e o ponto m´edio de ED.
Como AM e M I s˜ao perpendiculares a M P , que ´e segmento comum aos planos contendo as faces AM P e M N P , o ˆangulo entre estas faces ´e o ˆangulo A M Iˆ. Como AM est´a na diagonal da face ADEF , e como M I ´e paralelo a AD, temos A M Iˆ = 135◦.
Assim, o ˆangulo entre as faces AM P e M N P ´e 135◦. Cabe observar, como informa¸c˜ao complementar, que este n˜ao ´e o menor ˆangulo entre os planos contendo as faces, que seria 45◦. (b) Como visto no item anterior, o plano contendo a face M N P do tetraedro ´e paralelo `a face ABCD do cubo. Assim, se pensarmos em M N P como base do tetraedro, a altura correspondente ser´a o segmento M J, onde J ´e o ponto m´edio de AD. De fato, M J ´e perpendicular ao plano contendo M N P , pois ´e perpendicular ao plano ABCD, paralelo a M N P.
Observando a figura do item (a), a ´area S da base M N P ´e dada por
S =
· M I · M P =
a 2 · a = a^2 4
e, como temos M J = a 2 , o volume do tetraedro ser´a dado por
V =
· S · M J =
a^2 4
a 2
a^3 24
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Mostrar que o plano contendo a face M N P do tetraedro ´e paralelo `as faces ABCD e F GHE. [0,25]
- Concluir que o ˆangulo entre as faces ´e de 135◦. Considerar mesmo que o aluno calcule o menor ˆangulo entre os planos contendo as faces, obtendo assim 45◦. [0,25] (b) • Escolher a face M P N como a base do tetraedro para o c´alculo do volume. [0,5]
- Determinar o volume. [0,25]
