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PSI.2212 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II
2 o^ Teste – ( 01.10.10 ) – Com consulta – Duração: 60 minutos
No^ USP: ______________ NOME: _______________________________________________
- Um circuito pode ser descrito pela equação diferencial av(t)ɺɺ + bv(t)ɺ + cv(t) =6e −tH(t),
sendo a, b e c constantes reais. Assumindo condições iniciais nulas, a transformada de Laplace
de v(t) é igual a V(s) 3 26 s 3s s 3
Os valores de a, b e c são respectivamente iguais a:
a) 1, 2, 3 b) 1, 3, - c) 1, 2, - d) 2, -1, 2 e) n.d.a.
Resolução:
A transformada de Laplace da equação diferencial com condições iniciais nulas é dada por 2
2 3 2 3 2
as V(s) bsV(s) cV(s) 6 s 1 V(s) 6 6 6 (as +bs+c)(s 1) as +(a+b)s +(b+c)s+c s 3s s 3
Da igualdade anterior, obtêm-se a 1 a b 3 b 2 b c 1 c 3
- A transformada de Laplace da função f(t) é dada por F(s) 2 2s eπ^ s / 2 s 4
. A função f(t) é
igual a:
a) 2cos 2t( π (^) ) H t π 2
− ^ −
b) 2sen 2 t π^ H t π 2 2
c) 2cos 2t π H t( π) 2
d) cos 2t( −π) H t( ) e) n.d.a.
G A B A R I T O
Resolução: Usando uma tabela com pares de transformadas e a propriedade de translação no real chega-se a
( (^ )) (^ )
2 2
2 π s/ 2
Acos(ωt) As s ω 2cos(2t) 2s s 4 2cos 2 t π 2 H t π 2 2s e s 4
−
Dessa forma, a antitransformada de F(s) é igual a
f(t) 2cos 2t 2 π^ H t π^ 2cos 2t ( π )H t π 2 2 2
= ^ − ^ ^ − ^ = − ^ −
- A transformada de Laplace de uma função f(t) é igual a
2 2 F(s) 10s^ 85s^95 s 6s 5
= +^ +
A função f(t) é dada por:
a) − 80e −^ t^ H(t) +20e −5tH(t)
b) 20e −^ t^ H(t) −80e −5tH(t)
c) 10 δ(t) + e −^ t^ H(t) +e −5tH(t)
d) 10 δ(t) + 5e −^ t^ H(t) +20e −5tH(t)
e) n.d.a.
Resolução: Fazendo inicialmente divisão de polinômios, obtém-se
2 F(s) 10 25s^45 10 25s^45. s 6s 5 (s 1)(s 5)
= + +^ = + +
Decompondo a segunda parcela em frações parciais, chega-se a:
F(s) 10 5 20 , s 1 s 5
cuja antitransformada é igual a f (t) = 10 δ(t) + 5e −^ t^ H(t) +20e −5tH(t).
- Um circuito pode ser descrito pela seguinte equação diferencial
2 2 5 d v(t)^ dv(t) 3v(t) 10 δ(t) dt dt
s C dv(t)^ v(t) i (t) dt R
Calculando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas, obtém-se
s s
(^1) I (s) sV(s) 1 V(s) 1 I (s) V(s) C RC C (^) s 1 RC
Substituindo os valores de R, C e sabendo que I(s) 2 2 s s 4
, chega-se a
2 3 2
4 s V(s) s^4 4s s 1 s s 4s 4
- A transformada de Laplace da função f (t) = t e^2 −atH(t)com a sendo um número real é igual a:
a) ( )^3
s +a
b) ( )^2
s +a
c) e^ 2as s a
−
d) ( )^3
s +a
e) n.d.a.
Resolução: Usando a propriedade da derivada em relação à variável complexa s, chega-se a:
( )
( ) ( )
at 2
2 at 2 3
Laplace[te ] d^1 ds s a (^) s a
Laplace[t e ] d^1 ds (^) s a s a
−
−
- A transformada de Laplace da função mostrada na Figura 2 é dada por
2 F(s) 1 G(s) s
sendo G(s) a transformada de Laplace da função g(t). Assinale o item cuja figura representa a função g(t).
Resolução: A função f(t) pode ser escrita como f (t) = t[H(t) − H(t −T)].
Escrevendo a transformada de Laplace de f(t) como F(s) 12 G(s) s
= + e sabendo que
2 Laplace[tH(t)] 1 s
= , então a função G(s) corresponde à transformada de Laplace de g(t) = − t H(t − T),cujo gráfico está mostrado na figura seguinte.
T
t
f(t)
Figura 2
T
t
-T
g(t)
T
a)
T
t
g(t) T
b)
T
t
g(t) T
c)
T t
g(t)
-T
d)
e) n.d.a.
-T
g(t)
T t
9 – A transformada inversa de Laplace de F s s^ b s a
b g b g
é :
a) t e ( a – b ) t^ H(t)
b) [ e b t^ + a t ea t^ ] H(t)
c) [ 1 + ( a – b ) t ] e a t^ H(t)
d) e ( b + 2 a ) t^ H(t) e) e ( b – 2 a ) t^ H(t)
10 – A transformada de f 1 (t) é F 1 (s) = F ( s + a ) sendo que F(s) é dada no teste anterior.
A função f 1 (t) é :
a) t e ( a – b ) t^ H(t)
b) [ e b t^ + t e a t^ ] H(t)
c) [ 1 + ( b – a ) t ] e a t^ H(t)
d) [ 1 + ( a – b ) t ] H(t)
e) n.d.a.
Para os testes 11 e 12 , considere o circuito da Figura 3 com R = 2 Ω, L = 2 H e i(0 (^) – ) = 1A.
11 – Com es(t) = 5 H(t) ( V,s), a corrente i(t) no circuito é:
a) 5 2
L − NM^
O QP
e −t^ H tb g
b) 1 3 2
L N
M
O Q
P t e− t^ H tb g
c) e – t^ H(t)
d) 1 2
L + NM^
O QP
e −t^ H tb g
e) n.d.a.
Figura 3
R = 2 Ω, L = 2 H e i(0 (^) – ) = 1A
es(t)
R
L (^) vL(t)
i(t)
12 – Sendo conhecida a transformada de Laplace I(s) da corrente i(t), a transformada VL(s)
da tensão vL(t) sobre o indutor é:
a) 2 I^ s 2 s
b g −
b) 1 2
s I b sg +
c) 2 s I(s) – 2
d) 1 2
s I b sg −
e) 2 s I(s) + 2
13 – A anti-transformada de Laplace de F s
s b e K s b
a s
b g
= b^ +^ g +
− para t ≥ 0 é igual a :
a) δ t a s b
b g +^
b) δ(t) e – b t^ + K e – a t c) δ ( t – a ) + K e – b t d) e – a t^ + ( K + a ) e – b t e) n.d.a.
14 – A função racional F s s s s
b g
b g c h
pode ser escrita na forma:
F s A s
G s
b g s 2
= b^ g
Os valores de A e G(s) são, respectivamente:
a) – 1, 2s + 1 b) 2, – 2s + 1 c) – 1, – 2s + 1 d) 2, 2s + 1 e) n.d.a.
Resolução: F s^ e^
K
s b
b g =^ a s +^
−
f(t) = δ ( t – a ) + K e – b t
Resolução: A é o resíduo do pólo s = 1
A = F s b g b s − 1 gs= 1 = 2
2 ( s^2 + 1 ) + G(s) ( s – 1 ) = 3 s + 1
G s s^ s s
b g = −^ +^ − s
2
