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1.. Revisão direcionada sobre Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é fundamental para o estudo dos sistemas de controle lineares e invariantes no tempo. As dinâmicas desses sistemas podem ser representadas por equações diferenciais no domínio do tempo que, em muitas das vezes, possuem difícil e penosa resolução no domínio do tempo. Por exemplo, integração e diferenciação, são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma vez resolvida a expressão algébrica no domínio “s”, a resposta da equação diferencial no domínio do tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão em frações parciais. Um exemplo de aplicação pode ser mostrado através de um sistema massa-mola-amortecedor. Esse sistema pode ser representado pela seguinte equação diferencial , tirada da segunda lei de Newton , onde: M é a massa, B é o coeficiente de atrito e K a constante da mola e (a) é a aceleração resultante do sistema, x(t) é o deslocamento que o sistema sofre em função de t, devido à aplicação da força F(t), ou seja,. A resolução desta equação no domínio s ou também conhecido como domínio da frequência, (Laplace – plano complexo) se resume à resolução de uma equação simultânea do segundo grau da seguinte forma (esse procedimento será visto adiante). Portanto, a relação entre o deslocamento sofrido pela massa X(s) devido à força aplicada F(s) é dada por , ou melhor,. Dada uma força aplicada F(s) obtemos um deslocamento X(s) em função dos parâmetros M (massa), B (atrito) e K (constante da mola). A resolução desse problema no domínio do tempo como resposta x(t) à força f(t) aplicada será a transformada inversa de Laplace de X(s), ou seja, que pode ser resolvido facilmente através do método de decomposição em frações parciais como será visto mais adiante.
1...1... Definição geral
A transformada de Laplace é determinada através da multiplicação de uma função ou sinal linear f(t) pela função e integrando o produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +F 0 A 5), ou seja:
Obs. Consideraremos letras minúsculas para as funções no domínio do tempo e letras maiúsculas para as suas transformadas de Laplace (domínio da frequência)
Esse procedimento fará com que uma função f(t), com t uma variável real positiva no domínio do tempo, seja convertida em uma função no domínio complexo com s uma variável complexa (a + jb) com -F 0 A 5<a<F 0 A 5e -F 0 A 5<b<F 0 A 5. O operador, transformada de Laplace, é dado pelo símbolo L e o operador transformada inversa de Laplace é dado pelo operador L -
A transformada de Laplace é uma transformação linear. Dadas as funções f(t), f1(t) e f2(t) e se elas apresentam transformada de Laplace, então:
A seguir serão desenvolvidas as transformadas de Laplace de apenas algumas funções bastante usadas na teoria de controle.
1...2... Função exponencial e sua transformada
A função exponencial é definida da seguinte forma: onde k eF 0 B 5são constantes reais.
Lembrando da teoria de cálculo, podemos fazer uma troca simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos. Devido à mudança de variáveis, os limites de integração também mudarão passando a ser; Para t = 0F 0 D Eu = 0 e para t =F 0 A 5F 0 D Eu = -F 0 A 5
Fazendo a troca de variáveis temos:
Portanto, Para a transformação efetuada, K é um ganho e o inverso de , ou seja, é uma constante de tempo. O gráfico da função é mostrado a seguir: Observe que quando t=0 f(t) = 4 e quando t =F 0 A 5f(t) = 0. Observe também queF 0 B 5= 2 e o seu inverso é 0,5 que é a sua constante de tempo. Veja que para t igual a 5 valores de constante de tempo, ou seja, t = 2,5 seg, o valor da função é praticamente o valor que ela teria em t =F 0 A 5, ou seja, f(F 0 A 5) = 0. Em geral podemos dizer que uma exponencial ao atingir um tempo em torno de quatro a cinco vezes a sua constante de tempo, o valor atingido é praticamente o valor que ela teria para t =F 0 A 5.
Gráfico traçado pelo software MATLAB.
1...3... Função degrau e sua transformada
A função degrau é definida da seguinte forma: onde k é uma constante real e u(t) = 1 para tF 0 B 30. A transformada de Laplace de k.u(t) (tF 0 B 30) fica: (observe que a transformada de Laplace é definida no intervalo (0,F 0 A 5) uma vez que a conversão é feita para funções no tempo e pelo que sabemos até o momento, não existe tempo negativo).
Da mesma forma feita no item 1.3.2, podemos fazer uma troca também simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos:. Os limites de integração também mudarão passando a ser: para t = 0F 0 D Eu = 0 e para t =F 0 A 5F 0 D Eu = -F 0 A 5
Fazendo a troca de variáveis temos:
Portanto, Para a transformação efetuada, K é um ganho e, se for igual a um, denominados de degrau unitário. Esta função e ostensivamente utilizada na teoria de controle. Observa-se também que para a função degrau, =0, ou seja, a constante de tempo é infinita, ou seja, a função não parte de 0 e vai a 1 num determinado tempo ela já parte de 1 para tF 0 B 30. Para descrevermos melhor a aplicação dessa função nos sistemas, imagine uma balança de prato com indicação analógica e desejamos medir a massa de um certo material. Imagine que o instante em que o material é colocado na balança seja t = 0, obviamente, a massa medida pela balança num tempo anterior à colocação do tijolo no prato da balança será 0. Veja que a partir de t = 0 o valor de massa colocado no prato da balança vale K e não modificará para todo tF 0 B 30. Esse é um exemplo de aplicação da função u(t). A resposta da balança (considerada o sistema) será a movimentação do ponteiro analógico em sua régua graduada. Esse ponteiro saíra de 0 (massa = 0) e a partir de t =
Como Portanto,
Função Pulso A função pulso é definida como sendo e pode ser desenvolvida analiticamente como sendo a subtração de dois degraus unitários de valor K defasados no tempo de um tempo t (^) 0, ou seja,
Gráfico da função pulso.
A transformada de Laplace da função pulso será dada por:
1...6... Função impulso e sua transformada
Se fizermos o tempo t 0 da função pulso tender a zero mantendo a sua área, a sua amplitude tenderá ao infinito e dessa forma definimos a função impulso.
A função impulso só existe no instante t = 0, portanto, terá valores iguais a zero para instantes de tempo maiores que zero. Pode-se dizer que é um caso particular da função pulso. A transformada de Laplace desta função pode ser feita da seguinte forma: se fizermos t 0 tender a zero verificaremos que haverá uma divisão de 0 por 0, ou seja, haverá uma indeterminação.
Para eliminarmos essa indeterminação utilizamos do cálculo a regra de L´Hopital. Derivaremos a expressão tanto no numerador quanto no denominador em relação à t (^) 0.
Quando k = 1, esta função é chamada de FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO ou FUNÇÃO DELTA DE DIRAC e é representada por. A exemplo da função degrau unitário, a função também tem grande importância no estudo da teoria de controle.
Imagine o exemplo dado na seção 1.3.3, ao invés de colocarmos o material na balança e deixarmos ele lá, colocamos o material e no espaço mais curto de tempo possível, retiramos esse material do prato da balança. Observa-se que ao colocarmos o material no prato e depois o retiramos, o ponteiro da balança atinge um determinado valor e depois
retorna ao ponto de onde partiu. É como se desse um “murro rápido” na balança e o ponteiro irá mais longe, na escala da balança, quanto maior for esse “murro rápido”. O gráfico da aplicação do material na balança com f(t) = K.F 0 6 4(t) e da resposta da balança são vistos a seguir: As oscilações no gráfico de resposta da balança poderão alterar dependendo dos valores de K. No caso, K = 5 o mesmo considerado na seção 1.3.3.
1...7... Funções seno e co-seno e suas transformadas
Função Seno A transformada de Laplace da função seno é dada por Como já visto, podemos substituir por , substituindo temos:
Para a primeira parcela da expressão acima, se fizermos então E os limites de integração passam a ser parae para , substituindo temos:
Fazendo para a segunda parcela procedimento idêntico obtemos. Logo a expressão da transformada de Laplace para a função seno fica:
Exercício proposto Determinar a transformada de Laplace da função co-seno, sabendo-se que. O procedimento é idêntico ao utilizado para determinar. Resposta:
1...8... Propriedades básicas da transformada de Laplace (TL)
As propriedades das transformadas de Laplace mostradas a seguir são de grande importância na teoria de controle.
1...8....1.... Deslocamento no tempo
Esta propriedade obtida pela inserção de um retardo de tempo na função temporal, já foi mostrada para que pudéssemos calcular a transformada de Laplace da função pulso no item 1.3.4.
1...8....2.... Multiplicação de f(t) por
, observa-se que a transformada de Laplace de função nada mais é do que substituir s por (s +F 0 B 5) na definição da transformada de Laplace, portanto, se , então Esta propriedade é importante em controle quando precisamos determinar as transformadas de Laplace de funções do tipo utilizadas nas respostas de sistemas oscilantes com decaimento exponencial que tendem para um determinado valor. As transformadas de Laplace destas funções são dadas por:
Exercício resolvido Na equação diferencial a seguir ache a relação no domínio da frequência entre X(s) e U(s) considerando as condições iniciais nulas.
Resolução:
Esta expressão tem o nome de função de transferência e será vista mais adiante.
Exercícios propostos Dada a equação diferencial a seguir, ache a relação no domínio da frequência, entre F(s) e U(s) considerando condições iniciais nulas.
Dada a equação diferencial , cujas condições iniciais são f(0) = 2 e f’(0) = 1. Determine a sua forma no domínio da frequência.
2.. Tabela de transformadas de Laplace
3.. Revisão direcionada sobre transformada inversa de Laplace (TIL)
Normalmente, em engenharia de controle clássico, é utilizado o método da decomposição em frações parciais devido às relações entre polinômios que normalmente são encontradas na teoria. Como já visto, as dinâmicas dos sistemas de controle, regidas por equações diferenciais, transforman-se em polinômios quando tratadas no domínio da frequência (Laplace) daí a grande utilização do método.
3...1... Método da decomposição em frações parciais
O método se resume em expandir uma relação entre polinômios de maior ordem, em uma soma de relações polinomiais, sendo o numerador uma constante e o denominador um polinômio do tipo (s+A) n^ , sendo (A) um número real ou complexo e (n) um inteiro positivo. Estas são as condições que normalmente encontramos em controle, obviamente, o rigor matemático faz com que o método seja muito mais abrangente. Para realizarmos a decomposição em frações parciais precisamos decompor o polinômio do denominador em um produto de monômios de suas raízes. Um problema seria a determinação dessas raízes dependendo do grau do polinômio do denominador (para acharmos as raízes igualamos o polinômio a zero). Para isso existem calculadoras científicas que podem fazer esse trabalho. Entra-se com os coeficientes do polinômio e como resposta da calculadora, nos fornece as suas raízes, reais ou complexas. Existem softwares como o MATLAB que também pode fazer isso. Por exemplo, o comando roots(A) do MATLAB sendo A um vetor definido pelo usuário com os coeficientes de um dado polinômio, nos retornará as raízes desse polinômio complexas ou reais.
Exemplo: Para o polinômio (Observe que o coeficiente de grau dois deste polinômio é zero) A = [1 3 5 0 7 8] (Os coeficientes são separados por espaço em branco e o polinômio entre colchetes) roots(A)
O MATLAB nos dará como resposta o seguinte resultado ans = -1.7217 + 1.7761i -1.7217 - 1.7761i 0.6506 + 1.0493i 0.6506 - 1.0493i -0.
Divertimento para quando fizer um sábado chuvoso. Dado o produto de monômios das raízes acima: Tente chegar no polinômio dado como exemplo. Obs. Se necessário, use uma calculadora e não precisa ser, necessariamente, em um sábado chuvoso.
Observa-se que nunca teremos uma raiz complexa isoladamente, ela sempre aparecerá aos pares conjugados (mesma parte real, porém as partes imaginárias são iguais em módulo e com sinais trocados) como pode ser observado no exemplo dado. Como o polinômio dado é de grau cinco, obviamente, teremos cinco raízes sendo quatro complexas (dois pares complexos conjugados) e uma raiz real.
Exercícios propostos Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções Lembre-se de que o cálculo das raízes é somente para o denominador, ou seja, determinação dos polos. a) b)
3...1....2.... Raízes reais e iguais (raízes múltiplas)
Seja a função sendo n < m (inteiros positivos) kF 0 A Euma constante real. zF 0 A Ezeros pF 0 A Epolos
Se os polos de F(s) são múltiplos, então F(s) pode ser expandido em:
Os resíduos são obtidos da seguinte expressão: sendo a (^) i = 1, 2, ..., n
Exercício resolvido Dada a função , determine a sua dada pela sua transformada inversa de Laplace (TIL).
A transformada inversa de Laplace de é obtida diretamente da tabela de transformadas fornecida (par número 8 da tabela ).
Exercícios propostos Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções a) b) (Observe que neste exercício teremos uma combinação de raízes distintas e raízes múltiplas. O procedimento é o mesmo)
3...1....3.... Raízes complexas conjugadas
Seja a função Suponhamos que um par de raízes seja complexas conjugadas. É bom relembrar que as raízes complexas só aparecem aos pares, sendo uma conjugada da outra. Os procedimentos de cálculo são idênticos aos dois processos anteriores, porém, as raízes serão complexas conjugadas ao invés de reais. A visualização através de exemplos tornará mais fácil o entendimento.
Exercícios resolvidos Seja a função. Determine a sua transformada inversa de Laplace. A sua transformada inversa é dada por: Os polos da função são: ficando: Como os polos são complexos conjugados, as constantes a 1 e a 2 também serão complexas conjugadas, vamos
calcular a 1 e a 2 e mostrar essa afirmação. As raízes são diferentes e não são múltiplas, então, utiliza-se o método para raízes diferentes, só que agora as raízes são complexas e não reais.
Logo, É um pouco trabalhoso, mas é fácil. É só fazer com atenção para não errar nas contas. Confirmando o cálculo para a (^) 2.
Confirmando que a 2 é o complexo conjugado de a 1.
Agora colocando a 1 e a 2 na forma polar temos: ou e Substituindo os valores de a 1 e a 2 temos:
Nota-se, portanto, que o procedimento é idêntico ao de raízes reais, exceto pela quantidade de cálculos que, naturalmente, é um pouco maior. Podemos adotar uma forma padrão como se segue: Dada a função expandida em frações parciais com polos complexos, então:
Substituindo os valores de k 1 e k 2 na expressão de F(s) acima e trabalhando-a, como feito no exercício anterior,
então, chega-se na seguinte expressão para.
Outra maneira de resolver este tipo de transformada inversa de Laplace é visualizar, na expressão dada, uma transformada de Laplace conhecida. Se conseguir “enxergar” é importante pois evita muitas contas. Veja o exemplo a seguir: Encontre a transformada inversa de Laplace de. Se observarmos que então podemos colocar a expressão na forma:
Se verificarmos a tabela de pares de transformadas de Laplace, veremos que a primeira parcela é a transformada de Laplace de (par nº 21 da tabela) e a segunda parcela é a transformada de Laplace de (par nº 20 da tabela). Portanto, a função
**r = -0.0732 + 0.0070i -0.0732 - 0.0070i -0.
-0. 0.**
p = -2.0000 + 3.0000i -2.0000 - 3.0000i -2. -1. -1. -1.
k =[ ]
A decomposição em frações parciais fica:
Obs. O MATLAB considera a seqüência fornecida dos resíduos, igual à seqüência crescente dos expoentes do denominador. Achando a transformada inversa de Laplace de cada fração parcial obtemos a seguinte expressão no tempo:
A título de curiosidade, o gráfico desta função calculado pelo MATLAB é:
4.. Teorema do valor final
É um teorema muito importante para a teoria de controle e relaciona o comportamento em regime estacionário da função no tempo ao comportamento de s.F(s) [lembre-se que s.F(s) é a transformada de Laplace de com condições iniciais nulas] nas proximidades de s = 0. Este teorema somente existirá se existir limite da função quando tF 0 A EF 0 A 5, ou seja, somente se tender para um valor constante ou valor final ou valor de regime permanente, o teorema existirá e será válido. Se todos os polos de estiverem no semiplano esquerdo do plano s (plano complexo), ou seja, somente se os polos de tiverem parte real negativa, a função no tempo convergirá para um determinado valor (as exponenciais serão decrescentes). Como observado na expressão , a sua transformada de Laplace possui polos em s =. Se a parte real fosse positiva a exponencial seria crescente e a função divergiria não sendo aplicado o teorema do valor final. A demonstração desse teorema é feita fazendo a transformada de Laplace de tender a zero, quando sF 0 A E0. então:
Como (obs. Isso pode ser feito pois a integral é em relação à t e o limite em relação à s) Portanto, Logo,
(este teorema será bastante utilizado durante o curso)
Exercícios resolvidos Seja a função dada por. Sabemos que essa função possui polos em s = 2, s = -3 e um polo em s = 0, portanto, possui um polo (s = 2) no semiplano direito do plano s. A transformada inversa de F(s), ou seja, a função f(t) associada, irá divergir e não convergir para um determinado ponto, para que seja válido o teorema do valor final (TVF). Se calcularmos o TVF, teremos:
A transformada inversa de Laplace de F(s) é. Como vemos, a exponencial fará com que a função divirja paraF 0 A 5e não convirja para como calculado pelo TVF. Portanto, quando a função possui pelo menos um polo no semiplano direito do plano s (funções divergentes) o TVF fornecerá valores incoerentes e sem qualquer fundamento. O gráfico de fica:
Veja agora este exemplo. Seja a função. Esta função possui polos em s = -2 e s = -3 e um polo em s = 0, portanto, todos no semiplano esquerdo do plano s. Se calcularmos o TVF, teremos para esta função:
e a transformada inversa de Laplace de F(s) é. Fazendo tF 0 A EF 0 A 5percebemos que tenderá a , como previsto pelo TVF (as duas exponenciais tenderão a zero). O gráfico de fica:
Exercícios propostos Verifique nas funções a seguir, a possibilidade de se calcular o valor em regime permanente (valor final) das seguintes funções no domínio s e, se for possível, fazer o cálculo do TVF e achar a transformada inversa de Laplace para conferir os valores em regime permanente quando tF 0 A EF 0 A 5. a) b) c)
