Resolução do exercício 1 referente ao assunto de continuidade
Para determinarmos se uma função é contínua em um determinado ponto nós
precisamos saber se o limite da mesma é igual ao valor da função naquele ponto.
lim ¿
(
x , y
)
→
(
x0, y 0
)
f
(
x , y
)
=f(x0, y 0)¿
Então vamos calcular
xy
x
2
+y
2
no ponto (0,0), ou seja, na origem:
lim ¿
(x , y)→(0,0)
xy
x
2
+y
2
¿
Vamos ver se o limite existe primeiro verificando por dois caminhos diferentes
1º caminho: y=x
lim ¿
(x ,x )→(0,0)
x ∙ x
x
2
+x
2
¿
lim ¿
(x ,x )→(0,0)
x
2
2x
2
¿
lim ¿
(x ,x )→(0,0)
x
2
2x
2
=1
2¿
2º caminho: y=0
lim ¿
(x ,0)→(0,0)
x ∙0
x
2
+0
2
¿
lim ¿
(x ,0)→(0,0)
0
x
2
=0¿
O limite não existe, pois ele resulta em números diferentes pelos dois caminhos.
Desse modo, a função não é contínua em (x,y) = (0,0), pois o limite quando tende a
esse ponto não existe, por consequência não pode ser igual ao valor que ela possui na
origem.
