Raízes de equações mat compt, Notas de aula de Matemática Computacional

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Raízes Reais de Equações

Prof.º Jorge Danilo Rodrigues Moreira

6 de outubro de 2025

f (x) = 0

Introdução

Como obter as raízes reais de uma equação qualquer? Encontrar soluções de problemas reais e solucionar equações é um dos problemas centrais do Cálculo Numérico. Sabemos que para polinômios de grau 2 temos uma fórmula reso- lutiva em função dos coeficientes. Entretanto, para polinômios de grau mais alto e no caso de funções transcendentes é impossível encontrar raízes exatas. Para contornar tal situação, utilizamos mé- todos numéricos de aproximação de raízes.

Introdução

Como obter as raízes reais de uma equação qualquer? Encontrar soluções de problemas reais e solucionar equações é um dos problemas centrais do Cálculo Numérico. Sabemos que para polinômios de grau 2 temos uma fórmula reso- lutiva em função dos coeficientes. Entretanto, para polinômios de grau mais alto e no caso de funções transcendentes é impossível encontrar raízes exatas. Para contornar tal situação, utilizamos mé- todos numéricos de aproximação de raízes.

Introdução

A ideia central dos métodos de aproximação de raízes é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação por um processo iterativo. (^1) Fase I: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz; (^2) Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproxi- mações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão desejada.

Introdução

A ideia central dos métodos de aproximação de raízes é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação por um processo iterativo. (^1) Fase I: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz; (^2) Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproxi- mações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão desejada.

Teorema 1 Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a)f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f (x). (Esse Teorema também é conhecido como Teorema de Bolzano, ou do Valor Intermediário)

x

f (x)

a ξ^ b

Exemplo 1. Considere a função f (x) = x^3 − 9 x + 3. Considerando somente os sinais de valores para f tabulados teremos:

x −∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5 f (x) - - - - + + + - - + + +

Portanto, podemos, pelo Teorema 1, que f (x) possui raízes nos in- tervalos [− 5 , − 3 ], [ 0 , − 1 ], [ 2 , 3 ],

Gráfico Exemplo 1.

x

f (x) (^) f (x) = x (^3) − 9 x + 3

Exemplo 3. Considere a função f (x) = x ln x − 2. Verifique se existe uma raiz no intervalo [ 1 , 4 ]. Solução: Calculando valores no intervalo dado, teremos:

f ( 1 ) = 1 ln( 1 ) − 2 = − 2 f ( 2 ) = 2 ln( 2 ) − 2 ≈ − 0 , 6137 f ( 3 ) = 3 ln( 3 ) − 2 ≈ 1 , 2958 f ( 4 ) = 4 ln( 4 ) − 2 ≈ 3 , 5452

Portanto, podemos afirmar que no intervalo [ 2 , 3 ] f (x) = x ln x − 2 possui pelo menos uma raiz.

Exemplo 3. Considere a função f (x) = x ln x − 2. Verifique se existe uma raiz no intervalo [ 1 , 4 ]. Solução: Calculando valores no intervalo dado, teremos:

f ( 1 ) = 1 ln( 1 ) − 2 = − 2 f ( 2 ) = 2 ln( 2 ) − 2 ≈ − 0 , 6137 f ( 3 ) = 3 ln( 3 ) − 2 ≈ 1 , 2958 f ( 4 ) = 4 ln( 4 ) − 2 ≈ 3 , 5452

Portanto, podemos afirmar que no intervalo [ 2 , 3 ] f (x) = x ln x − 2 possui pelo menos uma raiz.

Exemplo 4. Considere a função f (x) = sen( 10 x) − cos( 3 x).

x

f (x) (^) f (x) = sin( 10 x) − cos( 3 x)

Observa-se que f (x) possui diversas raízes entre 0 e 5.

Método da Bissecção

Método da Bissecção (Refinamento)

Método da Bissecção

Algoritmo Bissecção Passo 1: Escolha as aproximações inferior a e superior b para a raiz de modo que a função mude de sinal no intervalo. Isso pode ser verificado garantindo que f (a)f (b) < 0. Passo 2: Estima-se a raiz por x 0 = a^ + 2 b Passo 3: Faça o seguintes cálculo para determinar em qual subintervalo a raiz está: a) se f (a)f (b) < 0, a raiz está no subintervalo inferior. Portanto, faça x 0 = b e volte ao passo 2. b) se f (a)f (b) > 0, a raiz está no subintervalo superior. Portanto, faça x 0 = a e volte ao passo 2. c) se f (a)f (b) = 0, a raiz é igual a x 0 ; pare os cálculos.

Método da Bissecção

Exemplo 1. Considere a função f (x) = x^3 − 9 x + 3. A raiz de f é dada no gráfico a seguir. Encontre uma aproximação para essa raiz utilizando o método da bissecção com uma precisão de ϵ = 10 −^3.

Raiz: x ≈ 0. 337

x

y