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11 INTRODUÇÃO VR 1.2 O PRINCÍPIO BÁSICO DA CONTAGEM 1 | 1.3 PERMUTAÇÕES 4 na tos 1.4 “COMBINAÇÕES agr. + | 1.5. COEFICIENTES MULTINOMIAIS + 1.6 O NÚMERO DE SOLUÇÕES INTEIRAS DE EQUAÇÕES PA ni O princípio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possíveis € se, para cada um dos resultados do ex- perimento 1, houver n resultados possíveis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possíveis. Generalização do princípio básico da contagem Se r experimentos são tais que o primeiro experimento pode levar a qual- quer um de n, resultados possíveis; e se, para cada um desses n, resultados houver n, resultados possíveis para o segundo experimento; e se, para cada um dos possíveis resultados dos dois primeiros experimentos houver n, resultados possíveis para o terceiro experimento; e se..., então haverá um total dem, :n,*- -n, resultados possíveis para Os r experimentos. Notação e terminologia Detinimos (! ) parar =n,como ny nt (1)-m nt , n . aca uai E dizemos que + ) representa o número de combinações possíveis de n objetos em grupos de r elementos de cada vez. * O teorema binomial n +y=5 (x Jr (42) k=0 Notação Semtm tu tn =", definimos n )como sM2s cs dly n ApAzos ) representa o número de divisões possíveis de n Assim, nas e objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos nn, ,...., A, especti- vamente. O teorema multinomial Gra + a) = BD ( ” Jara x Misa, str Us ct): mt tn=n Isto é, faz-se a soma de todos os vetores com valores inteiros não negativos (mao. 1,) de forma que n, + nm; +... +n,=n. RESUMO O princípio básico da contagem diz que se um experimento constituído por duas fases for tal que existam n possíveis resultados na fase 1 e, para cada um desses n resultados, existam m possíveis resultados na fase 2, então o experi- mento terá nm resultados possíveis. Existema! = n(n-1)- 3-2 - 1 ordenações lincares possíveis de n itens. À grandeza O! é por definição igual a 1. Seja )- na! if dd quando O = i <=n,e 0 do contrário. Essa grandeza representa o número de di- ferentes subgrupos de tamanho i que podem ser formados em um conjunto de tamanho n. Ela é frequentemente chamada de coeficiente binomial por causa de seu destaque no teorema binomial, que diz que n u+yt= (ur i=0 Para inteiros não negativos n,...., 1, cuja soma é n, n n! maes PO nylnatoen! 1 corresponde ao número de divisões de n itens em r subgrupos não superpostos de tamanhos n1,, Ay..." 21 /IN TRODUÇÃO “is Es Cu 2.2 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS E : 2.3 AXIOMAS DA PROBABILIDADE E 2.47 ALGUMAS PROPOSIÇÕES SIMPLES 2,5: ESPAÇOS AMOSTRAIS COM RESULTADOS IGUALMENTE PROVÁVEIS 2.6 « PROBABILIDADE COMO UMA FUNÇÃO CONTÍNUA DE UM CONJUNTO 2.7. PROBABILIDADE como UMA MEDIDA DE CRENÇA Lt. Pa” á é * ” 31 INTRODUÇÃO * po fps” staZaço,º “3,2 4PROBABILIDADES coRDicio as Ce lg ts Crgtetor s : po +33 “FÓRMULA DEBAVES É :£s triste geç tels +34 EVENTOS INDEPENDENTES 4 2! EA, PA > La gts talos : DA ; 4 -35 “PCP É UMA PR SABILIDADE EPT A A Er Definição Se P(F) > 0, então P(EF) PE = (21) PIE) po=PX=ij=e i=0,1,2,... RESUMO Uma função real definida a partir do resultado de um experimento probabilis- tico é chamada de variável aleatória. Se X é uma variável aleatória, então a função F(x) definida como FO) =P|X=x| é chamada de função distribuição de X. Todas as probabilidades relacionadas a X podem ser escritas em termos de F. Uma variável aleatória cujo conjunto de valores possíveis é finito ou con- tavelmente finito é chamada de discreta. Se X é uma variável aleatória discreta, então a função pla)= PI =2] é chamada de função discreta de probabilidade (ou simplesmente função de probabilidade) de X, Além disso, a grandeza E[X] definida como ElI= 55 api xp()>0 é chamada de valor esperado de X, E[X] é comumente chamada de média ou esperança de X. Uma útil identidade mostra que, para uma função g, EgA]= 5 emp) xpG)=0 A variância de uma variável aleatória X, escrita Var(X), é definida por Var(X) = BMX — Epx] A variância, que é igual ao valor esperado do quadrado da diferença entre Xe seu valor esperado, é uma medida da dispersão dos possíveis valores de X. Uma identidade útil é a seguinte Var(X) = EE] (E1X]? A grandeza /Var(X) é chamada de desvio padrão de X. r r Uma variável aleatória hipergeométrica X com parâmetros n, N e m representa o número de bolas brancas selecionadas quando n bolas são escolhidas aleato- riamente de uma urna que contém N bolas das quais m são brancas. À função de probabilidade dessa variável aleatória é dada por CG qa pl) = N cost n Com p = miN,sua média e variância são E ]="p Var) = 5 ni -p) Uma propriedade importante do valor esperado é a de que o valor esperado de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma de seus respectivos valores esperados. Isto é, Dx|=Daz] i=1 il ed STE TT em a a rm 1º 5.17 INTRODUÇÃO “sz ESPERANÇA EVARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÉRIAS CONTÍNUAS ' [15.3 AVARIÁVEL ALEATÓRIA UNIFORME «oo | 5.4, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NORMAIS. 0 000,0 a v5.5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS EXPONENCIAIS . 1: 5.6 OUTRAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS * 15.70 A DISTRIBUIÇÃO DE De UBÁ ALEATÓRIA E aii a metes Dl ala SA a cs RESUMO Uma variável aleatória X é contínua se existir uma função não negativa f chama- da de função densidade de probabilidade de X, tal que, para qualquer conjunto B, PiX e Bj= [ Fix) dx 'B Se X é contínua, então sua função distribuição F é derivável e & Fx) = f(x) O valor esperado de uma variável aleatória contínua é E[X] = [ af) dx -o0 Uma identidade útil é a de que, para qualquer função g, oo ElgO0]= | gtoftodr =20 Como no caso de uma variável aleatória discreta, a variância de X é definida como Var(X) = EUX — EX? Diz-se que uma variável aleatória X é uniforme ao longo do intervalo (a, b) se sua função densidade de probabilidade é dada por A fa) =4b— I) caso contrário asr=b Seu valor esperado e sua variância são a+b (ba? guj=25" vartã)= 55 Uma importante propriedade apresentada somente por variáveis aleatórias ex- ponenciais é a de que elas não possuem memória, no sentido de que, para s e ! positivos, PX>s+X>0)=PMX>s) Se X representa a vida de um item, então a propriedade da falta de memória diz que, para qualquer 4, à vida restante de um item com idade de 1 anos tem a mesma distribuição de probabilidade que a vida de um item novo. Assim, não é necessário conhecer a idade de um item para saber a distribuição de sua vida restante. Suponha que X seja uma variável não negativa contínua com função distri- buição Fe função densidade f. A função Fay MD =70 50 é chamada de função taxa de risco, ou taxa de falhas, de F. Se interpretarmos X como sendo a vida de um item, então, para valores pequenos de dt, Mtjdt é aproximadamente a probabilidade de que um item com idade de t unidades falhe em um tempo adicional dr, Se F é uma distribuição exponencial com pa- râmetro À, então Mj=A t=0 Vale notar que a distribuição exponencial é a única função distribuição que possui uma taxa de falhas constante. Uma variável aleatória possui uma distribuição gama com parâmetros a e à se sua função densidade de probabilidade é igual a eta fa) = T(e) =0 e O, caso contrário. A grandeza N(e) é chamada de função gama é é definida por a T(a) = f et dx o O valor esperado e a variância de uma variável aleatória gama são, respectiva- mente, e a ElX] = X Var) = 7 Uma variável aleatória possui distribuição beta com parâmetros (a, b) se sua função densidade de probabilidade é igual a = add gb 19= Gado 0=r=1 e éigual a 0, caso contrário. A constante B(a, b) é dada por B(a,b) 1 Í aa - b-ldr A média e a variância dessa variável aleatória são, respectivamente, a ab Mi = ta br 
